Mavzu. Matritsa ustida almashtirishlar


Download 423.49 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/3
Sana21.12.2019
Hajmi423.49 Kb.
  1   2   3

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

 

 



TOSHKENT ARXITEKTURA QURILISH INSTITUTI 

 

 



MATEMATIKA VA TABIIY FANLAR KAFEDRASI 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

REFERAT 

 

 

 

 

 

 

MAVZU. MATRITSA USTIDA 

ALMASHTIRISHLAR 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TOSHKENT 2016 

MATRITSA USTIDA 

ALMASHTIRISHLAR 

Reja: 

1.

 

Teskari matritsa 

2.

 



Teskari matritsani topish usullari  

3. Matritsaning rangi 

 

Matritsa  ustida  almashtirishlar  chiziqli  algebrada  muhim  ro‘l  o‘ynaydi. 



Jumladan,  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasining  umumiy  yechimini 

topishda,  teskari  matritsani  aniqlashda,  matritsaning  rangini  hisoblashda    matritsa 

ustidagi almashtirishlardan keng foydalaniladi 

1



Matritsa satri (ustuni) ustida elementar almashtirishlar

 uch tipda bo‘ladi 

2



I. ikkita satrning (ustunning) o‘rnini almashtirish; 



II. satrni (ustunni) noldan farqli songa ko‘paytirish; 

III. satrga (ustunga) noldan farqli songa ko‘paytirilgan boshqa  satrni (ustunni) 

qo‘shish.  

Biri ikkinchisidan elementar almashtirishlar  natijasida hosil qilingan 



 va    

matritsalarga 



ekvivalent matritsalar

 deyiladi va 



 ko‘rinishda yoziladi. 

 

3.1. Teskari matritsa 

Asosiy ushunchalar 

Matritsalarni qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish sonlar ustida bajariladigan mos 

amallarga  monand  (hamohang)  amallar  hisoblanadi.  Ushbu  bandda  matritsalar 

uchun sonlarni bo‘lish amaliga monand amal bilan tanishamiz. 

       Ma’lumki, agar  soni nolga teng bo‘lmasa, u holda har qanday   soni uchun 

m

kx

  tenglama  yagona 



m

k

k

m

x

1



  yechimga  ega  bo‘ladi,  bu  yerda 



1



  soni 



soniga teskari son deb ataladi.   

                                                 

1

 

E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 267-268 



2

 

Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169



 

 


Sonlar uchun keltirilgan bu tasdiq matritsali tenglamalarni sonli tenglamalarga 

monand  yechishda  muhim  ro‘l  o‘ynaydi.  Xususan,  sonli  tenglamalar  uchun 

1

1





kk

  va 


1

1





k

k

  shartlarining  bajarilishi  hal  qiluvchi  hisoblansa,    matritsali 

tenglamalar   uchun    

I

AA



1

    va    



I

A

A



1

   shartlarning   bajarilishi    muhim  

hisoblanadi, bu yerda 



I



A,

 bir xil o‘lchamli kvadrat matritsalar 

3

.  


Agar   

    va 

1



A

  kvadrat    matritsalar    uchun   



I

A

A

AA



1



1

  tenglik  

bajarilsa,            

1



A

 matritsa  



 matritsaga 

teskari matritsa

   deyiladi.   

 

Sonlarda, 



1



  mavjud  bo‘lishi  uchun 

0



k



  bo‘lishi  talab  etilgani  kabi, 

matritsalarda, 

1



A



 mavjud bo‘lishi uchun 

0

det





A

 bo‘lishi talab qilinadi.  

        Agar 

0

det





A

  bo‘lsa, 



  matritsaga   

singular    matritsa 

deyiladi.  Bunda 

singular  so‘ziga  sinonim  sifatida      «

xos

»  yoki  «



maxsus

»  terminlaridan  ham 

foydalaniladi.  Agar 

0

det





A

  bo‘lsa, 



  matritsa   

nosingular 

(yoki 


xosmas

  yoki  


maxsusmas

)

 matritsa

 deb ataladi.  

Agar 


  matritsada  avval  elementlarni  mos  algebraik  to‘ldiruvchilar  bilan 

almashtirilsa   va   keyin   transponirlansa,  hosil   bo‘lgan   matritsa  



  matritsaga  

biriktirilgan matritsa

  deyiladi va 



A

adj


bilan belgilanadi 

4



.

adj


2

1

2



22

12

1



21

11















nn

n

n

n

n

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A







 



Teskari matritsa haqida teoremalar 

  

1- teorema.

 Xos matritsa teskari matritsaga ega bo‘lmaydi. 

  

Isboti.

   matritsa  uchun 

1



A



  mavjud  bo‘lsin deb faraz qilaylik.  U holda  

I

AA



1

  bo‘ladi.  Bundan 



I

AA

det


)

det(


1



  yoki   

I

A

A

det


det

det


1



  kelib 


chiqadi.    Bunda 

0

det





A

    va   

1

det




I

  ekanini  hisobga    olsak,   

1

0



    ziddiyat  

hosil  bo‘ladi.    Bu    ziddiyat    qilingan    faraz  noto‘g‘ri  ekanini  ko‘rsatadi,  ya’ni 

teoremani isbotlaydi. 

                                                 

3

 

Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169



 

4

 



Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 96-99

 


        2- teorema.

 Har qanday xosmas 



 matritsa uchun teskari matritsa mavjud va 

yagona bo‘ladi. 



Isboti.

 

  matritsa  xosmas,  ya’ni 

0

det




A

  bo‘lsin.  Avval   

1



A



  mavjud 

bo‘lishini   ko‘rsatamiz.   Buning    uchun   



   matritsani    

A

A

adj


det

1

  matritsaga  



ko‘paytiramiz va ko‘paytmaga determinantning  9- va 10- xossalarini qo‘llaymiz: 

































A



A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

adjA

A

A

nn

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

det


det

det


det

det


det

det


det

det


det

1

2



1

2

22



12

1

21



11

2

1



2

22

21



1

12

11











 



































A



A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

A

A

a

A

a

A

a

nn

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

nn

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

det


...

...


det

...


det

...


...

...


...

...


det

...


...

det


...

det


...

det


...

...


det

...


det

...


2

2

1



1

2

22



2

21

1



1

12

2



11

1

2



2

22

1



21

2

2



22

22

21



21

1

2



12

22

11



21

1

2



12

1

11



2

1

22



12

21

11



1

1

12



12

11

11



 

.

1



0

0

0



1

0

0



0

1

det



det

0

0



0

det


det

0

0



0

det


det

1































AA

I

A

A

A

A

A

A











 

Demak,  


 matritsaga teskari matritsa mavjud va bu matritsa 

    


adjA

A

A

det


1

1



                                          (1.3.1) 

formula bilan topiladi.  Bunda 

 

I



AA



1

 

tenglik



 

bajariladi.

 

        


I

A

A



1

 

tenglikning bajarilishi shu kabi ko‘rsatiladi.          



Endi 

1



A

  yagona  ekanini  ko‘rsatamiz.    Buning  uchun   

1



A



dan  boshqa           

  matritsaga  teskari    matritsa  mavjud  bo‘lsin  deb  faraz  qilamiz.    U  holda 

ta’rifga ko‘ra 



I

AC

 bo‘ladi. Bu tenglikning har ikkala tamonini  



1



A

 ga chapdan 

ko‘paytiramiz:  

.

1

1



I

A

AC

A



    


      

I

A

A



1

 bo‘lgani uchun 



I

A

IC

1



bo‘ladi. Endi 



C

IC

 va 



1

1





A



I

A

ekanini 


hisobga olsak, 

1





A

C

 kelib chiqadi. Teorema to‘liq isbot qilindi. 

3- teorema.

  Teskari matritsa uchun ushbu 



xossalar

  o‘rinli bo‘ladi 

5

: 

.

1

o



 

 matritsa 

1



A

 teskari matritsaga ega bo‘lsa, 



A

A

det


1

det


1



 bo‘ladi; 

.

2



o

 

 matritsa 

1



A



 teskari matritsaga ega bo‘lsa, 

A

A



1

1



)

(

 bo‘ladi; 



.

3

o

 

n

n

 o‘lchamli 



 va    matritsalar 

1



A

 va 


1



B

 teskari matritsalarga ega 

bo‘lsa,


1

1

1



)

(





A

B

AB

 bo‘ladi;  

.

4

o



 

 matritsa 

1



A

 teskari matritsaga ega bo‘lsa,  



T

T

A

A

)

(



)

(

1



1



 bo‘ladi. 



Isboti. 

1) 


  matritsa    uchun 

1



A

    mavjud    bo‘lsin.    U  holda   



I

AA



1

  yoki   



I

AA

det


)

det(


1



  bo‘ladi.  Bundan 

1

det



det

1





A



A

  yoki 


A

A

det


1

det


1



  kelib 

chiqadi. 

2) 

 

  matritsa    uchun 



1



A

    mavjud    bo‘lsin.    U  holda   

A

A

I

AA

1

1





  

tengliklarga ko‘ra 



1



A

 matritsa  uchun teskari matritsa mavjud va u 

 dan iborat, 

ya’ni 


A

A



1

1



)

(

 bo‘ladi.    



3) 

n

n

  o‘lchamli 



  va    matritsalar 

1



A

  va 


1



B

  teskari  matritsalarga  ega 

bo‘lsin.  U holda  AB  va 

1

1





A

B

 matritsalar uchun  

,

)

(



)

)(

(



1

1

1



1

1

1



I

B

B

IB

B

B

A

A

B

AB

A

B







 



I

AA

AIA

A

BB

A

A

B

AB







1



1

1

1



1

1

)



(

)

)(



(

 

bo‘ladi.  Demak,   AB uchun teskari matritsa mavjud va 



1

1

1



)

(





A

B

AB

 bo‘ladi. 

4) 

 matritsa  uchun 

1



A

  mavjud  bo‘lsin.  U holda 



T

A

  va 


T

)

(

1



 matritsalar 

uchun  

,

)



(

)

(



1

1

I



I

A

A

A

A

T

T

T

T





 

I

I

AA

A

A

T

T

T

T





)

(

)



(

1

1



 

bo‘ladi. Demak,   



T

A

 uchun teskari matritsa mavjud va 



T

T

A

A

)

(



)

(

1



1



 bo‘ladi. 

                                                 

5

 Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 



      

 1-izoh.

 

o

3  xossani   ta 

n

n

 o‘lchamli  va teskari  matritsalarga ega bo‘lgan 



matritsalar uchun quyidagicha umumlashtirish mumkin:

 



.

...



...

1

1



1

2

1



1

1

1



1

2

1











A

A

A

A

A

A

A

A

k

k

k

k

 

Bu formula matematik induksiya metodi bilan isbotlanadi 



6



    3.1-misol.











2

1



4

3

A

 

matritsaga teskari matritsani toping va natijani tekshiring.



 

        Yechish. 

Berilgan matritsaning determinantini hisoblaymiz: 

.

2

4



6

2

1



4

3

det







A

 

0



det



A

va 

A

 matritsa uchun teskari matritsa mavjud. 

        Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz: 

   


,

2

2



)

1

(



1

1

11







A

               

,

1

1



)

1

(



2

1

12







A

 

,

4



4

)

1



(

1

2



21





A

               

.

3

3



)

1

(



2

2

22







A

  

 matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz: 

.

3

1



4

2

22



12

21

11























A

A

A

A

adjA

 

       Shunday qilib,  



.

2

3



2

1

2



1

3

1



4

2

2



1

3

1



4

2

det



1

1



































A



A

 

Tekshirish: 

.

1

0



0

1

2



3

2

1



2

1

2



1

4

3



1

I

AA

































 

        


  3.2-misol.

 











1

1



2

1

0



2

1

2



1

A

 

matritsaga teskari matritsani toping .   



         Yechish.

  Bu matritsa uchun:  

.

0

3



1

4

0



2

4

0



1

1

2



1

0

2



1

2

1



det











A

 

                                                 



6

 Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 



Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:        

      


,

1

1



1

1

0



11





A

             

,

3

1



1

1

2



21





A

         

,

2



1

0

1



2

31







A

   


        

,

0



1

2

1



2

12







A

        


,

3

1



2

1

1



22





A

           

,

3

1



2

1

1



32





A

 

        


,

2

1



2

0

2



13





A

             

,

3

1



2

2

1



23





A

      


.

4

0



2

2

1



33





A

 

       



 matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz: 

.

4



3

2

3



3

0

2



3

1

adj



33

23

13



32

22

12



31

21

11



















A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

 

        Demak,  





















3

4

1



3

2

1



1

0

3



2

1

3



1

4

3



2

3

3



0

2

3



1

det


1

1

A



A



Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usuli  



  xosmas  matritsaning 

1



A

  teskari  matritsasini  topishning  qulay  usullaridan 

biri  matritsa  satrlari  ustida  elementar  almashtirishlarga  asoslangan 

Gauss-Jordan 

usuli

 hisoblanadi.  

1



A



 matritsani topishning Gauss-Jordan usuli ushbu tartibda amalga oshiriladi 

7



                                                 

7

 



Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 96-99

 

Gauss-Jordan usulining algoritmi  



   .

1

o

 

 va   matritsalarni yonma-yon yozib,  

)

|



(

I

A

 kengaytirilgan 

matritsa tuziladi; 

  

.



2

o

  Elementar  almashtirishlar  yordamida 

)

|

(



I

A

  matritsa 

)

|

(



B

I

 

ko‘rinishga  keltiriladi.    Bunda 



  matritsa      matritsa  uchun  teskari 

matritsa bo‘ladi. 



        

 

3.3-misol.

 









3



1

1

2



A

 

matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli bilan toping 



va natijani tekshiring.

 

       Yechish.

   

2

1



1

)

2



(

1

0



0

1

2



1

1

3



)

|

(



r

r

r

I

A









~



1

2

2



)

1

(



1

0

2



1

2

1



3

1

r



r

r









~



5

:

3



1

2

1



5

0

3



1

2

2



r

r









~



5

:

5



3

5

1



2

1

1



0

3

1



2

2

r



r













~

).



|

(

5



3

5

1



5

1

5



2

1

0



0

1

1

















A



I

 

       Yuqorida  keltirilgan   



k

i

i

r

r

r



  belgilash 



-satr  bu  satrga 

  songa 



ko‘paytirilgan  -  satrni  qo‘shish  natijasida hosil  qilinganini, 

:



i

i

r

r

  belgi  esa 



- satr bu satrni 

 songa bo‘lish natijasida hosil qilinganini bildiradi.  



Demak,  

.

3



1

1

2



5

1

5



3

5

1



5

1

5



2

1



























A

 

Tekshirish: 

.

5

0



0

5

5



1

3

1



1

2

5



1

2

1



1

3

1



I

AA































 

  

3.4-misol.

 















4

1

2



0

3

1



2

1

1



A

 

matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli 



bilan toping.

 

       Yechish.

   


1

3

3



1

2

2



)

2

(



1

0

0



0

1

0



0

0

1



4

1

2



0

3

1



2

1

1



)

|

(



r

r

r

r

r

r

I

A

















~

2



:

1

0



2

0

1



1

0

0



1

0

3



0

2

2



0

2

1



1

2

2



r

r













~



2

3

3



2

1

1



)

3

(



1

0

2



0

2

1



2

1

0



0

1

0



3

0

1



1

0

2



1

1

r



r

r

r

r

r















~

)

3



(

:

1



2

3

2



7

0

2



1

2

1



0

2

1



2

3

3



0

0

1



1

0

3



0

1

3



3

















r

r

~

3



2

2

3



1

1

)



1

(

)



3

(

3



1

2

1



6

7

0



2

1

2



1

0

2



1

2

3



1

0

0



1

1

0



3

0

1



r

r

r

r

r

r

















~

).



|

(

3



1

2

1



6

7

3



1

0

3



2

1

1



2

1

0



0

0

1



0

0

0



1

1

















A

I

 

Demak,    



.

3

1



2

1

6



7

3

1



0

3

2



1

1

2



1

















A



Download 423.49 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling