Mavzu: monoton funksiyalar murakkab va teskari funksiyalar reja: monoton funksiyalari xaqida tushuncha monotonik o'zgarish

MAVZU: MONOTON FUNKSIYALAR MURAKKAB VA TESKARI FUNKSIYALAR

Reja:


1. MONOTON FUNKSIYALARI XAQIDA TUSHUNCHA
2. MONOTONIK O'ZGARISH
3. MONOTON FUNKSIYALAR MURAKKAB VA TESKARI FUNKSIYALAR

Monoton funksiya - oʻsuvchi yoki kamayuvchi funksiyalar. Berilgan funksiya biror oraliqda monoton boʻlishi uchun uning orttirmasi Af(x)=f(x+Ax)-f(x), Dx>0, oraliqda ishorasini oʻzgartirmasligi lozim. Agar Ax>0 boʻlganda D/(x) noldan qatʼiy katta yoki qatʼiy kichik boʻlsa, u holda f(x) qatʼiy monoton funksiya deyiladi. Biror oraliqda differensiyalanuvchi funksiya shu oraliqda monoton boʻlishi uchun uning hosilasi oʻzgarmas ishorani saqlashi zarur va yetarlidir.

"Bir xildagi" yo'naltirishlar. Bunga taalluqli monotonlik haqida ma'lumot olish uchun ovoz berish tizimlari, qarang monotonlik mezonlari. Mantiqiy tizimlarga taalluqli monotonlik haqida ma'lumot olish uchun qarang Maqsadning monotonligi.
"Monotonik" qayta yo'naltirishlar. Boshqa maqsadlar uchun qarang Monoton (ajralish).

Shakl 1. Monoton o'sib boruvchi funktsiya.

Shakl 2. Monoton kamayuvchi funksiya

Shakl 3. Monoton bo'lmagan funktsiya
Yilda matematika, a monotonik funktsiya (yoki monoton funktsiyasi) a funktsiya o'rtasida buyurtma qilingan to'plamlar berilganni saqlaydigan yoki o'zgartiradigan buyurtma. Ushbu tushuncha birinchi bo'lib paydo bo'lgan hisob-kitob, va keyinchalik mavhumroq holatiga umumlashtirildi tartib nazariyasi.
Hisoblash va tahlil qilishda monotonlik
Yilda hisob-kitob, funktsiya f a da aniqlangan kichik to'plam ning haqiqiy raqamlar haqiqiy qiymatlar bilan deyiladi monotonik agar u faqatgina umuman ko'paymasa yoki umuman kamaymasa. Ya'ni, 1-rasmga binoan, monotonik ravishda ko'payadigan funktsiya faqat ko'payishi shart emas, shunchaki kamaymasligi kerak.
Funktsiya deyiladi monoton o'sib boradi (shuningdek ortib bormoqda yoki kamaymaydigan[3]), agar hamma uchun bo'lsa x va y shu kabi x leq y bittasi bor f ! chap (x o'ng) leq f ! chap (y o'ng), shuning uchun f tartibni saqlaydi (1-rasmga qarang). Xuddi shunday, funktsiya deyiladi monotonik ravishda kamayadi (shuningdek kamayish yoki o'smaydigan[3]) agar, qachon bo'lsa x leq y, keyin f ! chap (x o'ng) geq f ! chap (y o'ng), shunday qilib teskari buyurtma (2-rasmga qarang).
Agar buyurtma bo'lsa leq monotonlik ta'rifida qat'iy tartib bilan almashtiriladi <, keyin kuchli talab talab qilinadi. Ushbu xususiyatga ega funktsiya chaqiriladi qat'iy ravishda ko'paymoqda. Shunga qaramay, buyurtma belgisini teskari aylantirish orqali, mos keladigan tushunchani topadi qat'iy ravishda kamayadi. Funktsiya chaqirilishi mumkin qat'iy monoton agar u qat'iy ravishda ko'payib yoki kamayib borayotgan bo'lsa. Qattiq monotonli funktsiyalar bittadan (chunki uchun x teng emas y, yoki x y va shuning uchun ham monotonlik bilan f ! chap (x o'ng) f ! chap (y o'ng), shunday qilib { displaystyle f ! chap (x o'ng) neq f ! chap (y o'ng)}.)
Agar ketma-ket argumentlarda bir xil qiymatni takrorlash imkoniyatini qo'shish uchun "o'sish" va "kamayish" qabul qilinganligi aniq bo'lmasa, bu atamalardan foydalanish mumkin zaif monoton, zaif o'sib bormoqda va zaif kamayadi ushbu imkoniyatni ta'kidlash uchun.
"Kamayib ketmaydigan" va "ko'paymaydigan" atamalarini ("zaiflashmagan" va "ko'paymayotgan") salbiy malakalari bilan (ancha kuchsizroq) aralashtirmaslik kerak. Masalan, 3-rasmning funktsiyasi avval tushadi, keyin ko'tariladi, keyin yana tushadi. Shuning uchun u kamaymaydi va ko'paymaydi, lekin kamaymaydi va ko'paymaydi.
Funktsiya f ! chap (x o'ng) deb aytilgan mutlaqo monotonik oraliqda chap (a, b o'ng) agar barcha buyruqlarning hosilalari bo'lsa f bor salbiy yoki barchasi ijobiy emas intervalning barcha nuqtalarida.
Funktsiya teskari
Monotonik, ammo qat'iy monotonik bo'lmagan va shu bilan intervalda doimiy bo'lgan funktsiya teskari emas. Buning sababi shundaki, funktsiya teskari bo'lishi uchun funktsiya doirasidan intervalgacha birma-bir xaritalash kerak. Monotonik funktsiya o'z domenida doimiy bo'lgan ba'zi bir qiymatlarga ega bo'lganligi sababli, bu doimiy qiymatga mos keladigan diapazonda bir nechta qiymat bo'lishini anglatadi.
Ammo y = g (x) funktsiya qat'iy monotonik bo'lib, teskari funktsiyaga ega, chunki x = h (y), chunki har doim funktsiya diapazonidan domenigacha birma-bir xaritalash mavjud. Bundan tashqari, funktsiyani bir qator qiymatlar bo'yicha qat'iy monoton deb aytish mumkin va shu bilan ushbu qiymat oralig'ida teskari bo'ladi. Masalan, [a, b] oralig'ida y = g (x) qat'iy monotonik bo'lsa, u [g (a), g (b)] oralig'ida teskari x = h (y) ga ega, ammo biz funktsiyaning butun diapazoni teskari deb ayta olmaydi.
E'tibor bering, ba'zi darsliklarda monotonik funktsiya uchun teskari mavjud deb noto'g'ri yozilgan, chunki ular haqiqatan ham teskari monotonik funktsiya uchun mavjudligini anglatadi.
Monotonik o'zgarish
Atama monotonik o'zgarish (yoki monotonli o'zgarish), ehtimol, biroz chalkashliklarni keltirib chiqarishi mumkin, chunki bu qat'iy ravishda ortib boruvchi funktsiya bilan o'zgarishni anglatadi. Iqtisodiyotda a ning tartib xususiyatlariga nisbatan shunday holat yordamchi funktsiya monotonik o'zgarishda saqlanib qolinadi (shuningdek qarang monotonli afzalliklar). Shu nuqtai nazardan, biz "monotonik transformatsiya" deb ataydigan narsa, aniqrog'i, raqamlarning tartibini o'zgartiradigan "salbiy monotonik transformatsiya" dan farqlash uchun "ijobiy monotonik o'zgarish" deb nomlanadi.
Ba'zi asosiy dasturlar va natijalar
Monotonik funktsiya uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri keladi f colon mathbb {R} dan mathbb {R}:
f bor chegaralar uning har bir nuqtasida o'ngdan va chapdan domen;
f cheksizning ijobiy yoki salbiy chegarasida ( pm infty ) yoki haqiqiy sonning, infty, yoki chap (- infty o'ng).
f faqat bo'lishi mumkin sakrashni to'xtatish;
f faqat bo'lishi mumkin hisoblash uchun ko'p uzilishlar uning domenida. Biroq, uzilishlar, albatta, ajratilgan nuqtalardan iborat emas va hatto intervalda zich bo'lishi mumkin (a,b).