Mavzu: mulohazalar hisobida yechilish, zidsizlik, to’liqlilik va erkinlik muomolari

nazariyaning asosiy keltirib chiqariladigan formulalari.

Teorema 3.5. nazariyaning ixtiyoriy formulalari uchun quyidagi formulalar ning teoremalaridir:

(a) ;

(b) ;

(c) ;

(d) ;

(e) ;

(f) ;

(g) ;

(h) .

Isbot.

(a) ├ .

(1) gipoteza

(2) aksioma sxemasi;

(3); (1) va (2) ga MR qo‘llandi;

(4) aksioma sxemasi;

(5) (3) va (4) ga MR qo‘llandi;

(6) sxemasi;

(7) (5) va (6) ga MR qo‘llandi;

(8) aksioma sxemasi;

(9) Natija 3.4. kelib chiqadi.

(10) (1) va (9) ga MR qo‘llandi;

Demak, ├ hosil bo‘ldi. Bunga deduksiya teoremasini qo‘llasak ├ hosil bo‘ladi.

(b) ├.

(1) (a) punkt;

(2)

aksioma sxemasi;

(3) (1) va (2) ga MR qo‘llandi;

Demak, ├ hosil bo‘ldi.

3. 
   ├.
   

(1) gipoteza;

(2) gipoteza.

(3) aksioma sxemasi;

(4)

(5) aksioma sxemasi;

(6) (4) va (5) ga MR qo‘llandi;

(7) (2) va (6) ga MR qo‘llandi;

SHunday qilib, ├, ga ikki marta deduksiya teoremasini qo‘llasak ├ hosil bo‘ladi.

(d)├.

(1) gipoteza.

(2) (b) punkt;

(3) (a) punkt;

(4) (1) va (3) ga Natija 3.4. (a);

(5) (2) va (4) ga Natija 3.4. (a);

(6) aksioma sxemasi;

(7)

Demak, ├ dan deduksiya teoremasiga asosan ├ ni hosil qilamiz:

1. 
   ├.
   

Ma’lumki ├ o‘rinlidir. Bunga ikki marta deduksiya teoremasini qo‘llasak: ├ ni hosil qilamiz..

(d) punkt sxemasi;

Oxirgi ikki ifodaga Natija 3.4. (a) ni qo‘llab ├ ni hosil qilamiz.

Xususan, bu ning o‘rniga ni, ning o‘rniga esa ni qo‘yib

├

ni ham hosil qilishimiz mumkin.

(f) ├.

1. punkt;

2. aksioma sxemasi;.

3. (1) va (2) ga MR qo‘llandi;.

(4) lemma 3.1. ga asosan;

(5) (3) va (4) ga MR qo‘llandi;

(6) aksioma sxemasi;

(7) (5) va (6) ga MR qo‘llandi;

(g). ├

(1) gipoteza;

(2) gipoteza;

(3) aksioma sxemasi;

(4) (1) va (3) ga MR qo‘llandi;

(5) (a) punkt;

(6) (f) punkt;

(7) (5) va (6) ga MR qo‘llandi;.

Endi esa, ├ ga ikki marta deduksiya teoremasini qo‘llasak.

├.

(h) ├.

(1) gipoteza

(2) gipoteza

(3) (d) punkt

(4) (1) va (3) ga MR qo‘llandi;

(5) (2) va (4) ga Natija 3.4. (a) qo‘llandi;

(6) (f) punkt

(7) (5) va (6) ga MR qo‘llandi;

SHunday qilib, ├, ni hosil qildik. Bunga ikki marta deduksiya teoremasini qo‘llasak:

├ kelib chiqadi.

Mashqlar. Quyidagi formulalar nazariyaning teoremalari bo‘lishini isbotlang.

1. .

2. .

3. ├.

4. .

5. .