Mavzu: Mulohazalar hisobining keltirib chiqariluvchi formulalari bilan mulohazalar algebrasining umumqiymatli formulalari orasidagi bog’lanish

MULOXAZALAR XISOBI AKSIOMALARINING ERKLILIGI.
Aksiomatik nazariyadagi aksiomalarning erklilik tushunchasi nazariya uchun tanlangan aksiomalar sistemasi ichidan xech qaysi aksioma qolgan aksiomalardan shu nazariyadagi keltirib chiqarish qoidalari buyicha keltirib chiqarilmasligini anglatadi.
Bizning L nazariyamiz-muloxazalar xisobining aksiomalari sistemasi uchun ushbu teorema urinli:
Teorema: Muloxazalar algebrasining aksiomalari sistemasi erklidir.
Aksiomatik nazariyada biror aksiomaning shu nazariyaning boshqa aksiomalaridan keltirib chiqarib bulmasligini nazariyaning keltirib chiqarish qoidalarining xususiyatlaridan kelib chiqqan xolda urnatish mumkin.
Masalan, Evklid geometriyasi aksiomalardan parallellik aksiomasining boshqa aksiomalardan keltirib chiqarib bulmasligini aniqlash masalasining echilishi uzoq tarixiy davrni, Lobachevskiy tomonidan noevklid geometriyani yaratilishigacha bulgan davrni, bosib utdi.
SHunday qilib biz keltirgan L muloxazalar xisobidan iborat formal aksiomatik nazariya ziddiyatsiz, tula, erkli aksiomalar sistemasi asosida qurilgan nazariya ekan.
Mulohazalar hisobi formulasi Mulohazalar hisobi. Mantiqiy bog'lovchilar, Simvollar. Formula, Qismly formata. Isbotlanuvchi formula. Aksioma,
Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobning tafsiri bu
hisobning simvollari tafsifidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta'rifidan iborat. Mulohazalar hisobida uch kategoriyali simvollardan iborat alifbo qabul qilinadi.Birinchi kategoriya simvollari: 1.y. Bu simvollarni o'zgaruvchilar deb ataymiz.Ikkinchi kategoriya simvollari: v, Bular mantiqiy bog'lovchilardir. Birinchisi diz'yunksiya yoki mantiqiy qo'shish belgisi, ikkinchisi kon'yunksiya yok mantiqiy ko'paytma belgisi, uchinchisi implikasiya belgisi va to'rtinchisi - inkor belgisi deb ataladi.
Uchinchi kategoriyaga qavalar deb ataladigan (.) simvollar kiritiladi,Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo'q.Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi. Mulohazalar hisobining formulasi deb mulohazalar hisobi alifbosi simvollarining muayyan ketma-ketligiga aytiladi. Formulalarni belgilash uchun lotin alifbosining bosh harflaridan foydalanamiz. Bu harflar mulohazalar hisobining simvollari qatoriga kirmaydi.Ular faqatgina formulalarning shartli belgilari bo'lib xizmat qiladi.Endi mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi ta'rifini keltiramiz.

1- ta'rif. Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi quyidagicha aniqlanadi:

1) har qanday x,y,... o'zgaruvchilarning istalgan biri formuladir; 2) agar A va B ning har biri formula bo'lsa, u holda (AB), (AB),
(A-B) va A ham formuladir,
3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo'la olmaydi.
O'zgaruvchilarni elementar deb ataymiz.
2.1-§. Matematikada aksiomatik metod.
Matematikada aksiomatik metod qadimgi yunoy matematiklarining ichlarida paydo bo‘ldi. Bu borada Evklidning «Negizlar» deb ataluvchi geometrik sistemasi alohida e’tiborga loyiqdir. Evklidning bu asari XIX asrgacha aksiomatik metodning yuksak namunasi sifatida xizmat qildi. Eramizdan 300 yil oldin yozilgan bu asarda Evk¬lid birinchi marta aksiomalar deb ataluvchi va rostligi shubha tug‘dirmaydigan bir qancha mulohaza (da’vo)lardan sof deduktiv yo‘l bilan, ya’ni sof logik (mantiqiy) mulohazalar yordamida geometrik nazariyaning butui mazmunini keltirib chiqarish mumkinligshsh ko‘rsatgan.
XIX asrda buyuk rus matematigi N. I. Lobachevskiy va venger matematigi Ya.Bolyai tomonidan noevklid geomet¬riyaning kashf etilishi aksiomatik metodning rnvojlanishida yangi pog’ona bo‘ldi.

Ular Evklid geometriyasi aksiomalari sistemasiga kiruvchi (parallel to‘g‘ri chiziqlar haqidagi) V postulatni uning inkori bilan almashtirdilar va natijada hosil bo‘lgan aksiomalarning yangi sistemasi keng mazmunga ega bo‘lgan yangi geometriya tashkil etishini ko‘rsatdilar.

Shunday qilib, aksiomatik metod matematik nazariyalarni qurish va o‘rganishda kuchli apparat ekanligi XIX asr matematiklari tomonidan to‘la-to‘kis e’tirof etildi va bu apparat matematikada keng ko‘lamda qo‘llanila boshlandi.
Aksiomatik metodning mazmuni nimadan iborat?
Odatda, qandaydir predmetlar (ob’yektlar) sistemasini o‘rganishda bu predmetlarning xossalari va ular orasidagi munosabatlarni bildiruvchi terminlardan foydalanamiz. lar shunday xossa va munosabatlar bo‘lsin. Shu xossa va munosabatlarni o’z ichiga olgan bir necha mulohazalarni olamiz hamda ularni aksiomalar deb ataymiz.
Tabiiyki, shunday to‘plam mavjud bo‘lishi mumkinki, agar larni bu to‘plamda aniqlasak, u holda bu to‘plam elementlari yuqoridagi aksiomalar sistemasini qanoatlantiradilar. Ba’zi aksiomalar sistemasi uchun bunday (bo‘sh bo‘lmagan) to‘plamlarning topilmasligi ham tabiiydir.
Masalan, quyidagi munosabatni olaylik:
«dan oldin keladi».

Bu munosabatni har xil to‘plamlarda har xil aniqlash mumkin: Odamlar to‘plamida « dan baland», « dan yengil», « ning yoshi ning yoshidan kichik» va hokazo, natural sonlar to‘plamida esa

, , va hokazo.

Mazkur munosabatni o‘z ichiga olgan quyidagi aksiomalarni olaylik:

1.«Har qanday o‘z-o‘zidan oldin kelmaydi».
2.«Har qanday lar uchun agar dan oldin kelsa va dan oldin kelsa, u holda dan oldin keladi».Ravshanki, shunday bo‘sh bo‘lmagan to‘plam topish mum¬kinki, agar unda munosabatni yetarlicha «yaxshi» aniqlasak, bu to‘plamning elementlari yuqoridagi aksiomalarni qanoatlantiradi (masalan, yuqoridagi keltirilgan to‘plamlar va munosabatlar). Bundan tashqari, yuqoridagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi to‘plamlar yagona emasligini sezish qiyin emas. Shunday qilib, har birida bitta munosabat aniqlangan va elementlari 1) va 2) aksioma-larni qanoatlantiruvchi to‘plamlar ma’lum bir sinfni tashkil etadi. U holda bu aksiomalarni mazkur sinfga kirgan to‘plamlarning ta’rifi deb qarash mumkin. Barcha ob’yektlar (predmetlar) to‘plamidan 1) va 2) aksiomalar yordamida ajratib olingan bunday to‘plamlar berilgan aksiomalar sistemasining interpretatsiyasi deyiladi.
Biror matematik nazariyani aksiomatik qurish bu nazariyada o‘rganiladigan asosiy ob’yektlar va ular orasidagi munosabatlarni keltirishdan boshlanadi. Bu ob’yektlar va munosabatlar aksiomatik nazariyaning asosiy tushunchalari deyiladi. Aksiomatik nazariyaning qolgan tushunchalari esa asosiy tushunchalar orqali ta’riflanadi; so‘ngra aksiomatik nazariyaning to‘g‘ri tuzilgan formula (TT formula)lari to‘plami hosil qilinadi va bu to‘plamning ba’zi (odatda chekli sondagi) formulalari aksiomalar deb e’lon qilinadi. Aksiomatik nazariyaga uning aksiomalar sistemasidan yangi keltirib chiqariluvchi formulalar (teoremalar)ni hosil qilish vositasi bo‘lgan keltirib chiqarish qoidalari kiritilgach, bu nazariya deduktiv nazariyaga aylanadi. Aksiomalar sistemasidan hosil qilinadigan barcha formulalar to‘plami aksiomatik sistemaning mazmunini yoki tilini tashkil etadi.
http://fayllar.org