Mavzu: Natural sonlarni o’qitish metodikasi. Kasrlarni kiritish, oddiy va o’nli

1-ma’ruza
Mavzu: Natural sonlarni o’qitish metodikasi. Kasrlarni kiritish, oddiy va o’nli
kasrlarni o’qitish metodikasi

Tayanch iboralar: son va hisoblashlar, natural son, oddiy kasr, o’nli kasr, ular ustida amallar, o’rganish uslublari.

1. Son – matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, dastlab buyumlarni sanashga bo’lgan va so’ngra matematik bilimlarning rivojlana borishi bilan takomillashgan.

Son tushunchasini hozirgi zamon matematikasi nutqai nzaridan qaraydigan bo’lsak, u g’oyat abstrakt tushunchadir. U sonlarning har xil tuplamlarini o’z ichiga oladi: natural sonlar (1,2,3,4,…) hamma natural sonlarni ham o’z ichiga oladigan butun sonlar (…..,-4, -3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, …..), butun sonlarga har xil kasr sonlarni birlashtirish natijasida hosil bo’ladigan ratsional sonlar; ratsional va irratsional sonlarni o’z ichiga oladigan xakikiy sonlar, hamma xakikiy va mavxum sonlarni o’z ichiga oladigan kompleks sonlar va xokazolar.
Maktabda dastlab natural sonlar tuplami o’rganiladi. Buning asosiy sabablari o’quvchilarning xayotiy faoliyatlarida ularning ko’p foydalanilishi hamda boshlang’ich sinflar va 5-6 sinflar matematika kurslarida sonlar sistemalarini o’rganishda o’zviylikning ta'minlanishi hisoblanadi.
Umuman olganda, har qanday sonli tuplamni o’rganish quyidagi metodikasiy masalalarni hal qilishni talab etadi:
1) bu sonlarni qanday kiritish mumkin va uning elementlari nimadan iborat?
2) Tuplamda qanday mo’nosabatlar o’rinli?
3) Qanday amallar bajariladi, ular qanday o’rgatiladi?
4) Bu amallar qanday qono’nyatlarga ega?
5) Qaysi masalalar echimga ega?
6) Amallarni bajarish texnologiyasi mohiyati nimaga asoslangan, ularni o’rganishning ahamiyati nimadan iborat?
Matematikada sonlar tuplamlarini ko’rishning turli xil nazariyalari mavjud. Natural sonlar arifmetikikasini ko’rish uchun ko’pincha Peano aksiomalar sistemasiga asoslaniladi. Shu bilan birga natural sonlar arifmetikasini ko’rishning Kantor nomi bilan bog’liq bo’lgan tuplamlar nazariyasiga asoslangan va xususiy holda ixtiyoriy tuplamning kuvvati tushunchasiga asoslangan nazariyalari ham mavjud. Maktab matematika kursida natural sonlar arifmetikasini o’rganish ko’rgazmalilikka asoslangan. Natural sonlarni o’rganish predmetlarni sanashdan mustaqil ravishda keltirib chiqariladi. Natural son tushunchasi boshlang’ich sinflardan boshlab shakllantiriladi.
Boshlang’ich sinflarda natural son haqida olingan bilimlar 5 sinfda sistemalashtiriladi va kengaytiriladi. 5 sinfda natural sonlarni o’rganish matematikaning muhim tushunchalari bo’lgan «son o’qi», «tenglama» va «tengsizlik» tushunchalarini shakllantirish bilan bog’langandir.
O’quvchilar ixtiyoriy natural son o’qida nuqta bilan tasvirlanishini po’xshashta bilishlari zarur.
Son o’qini ko’rish jarayonida o’quvchilar har birnatural songa son o’qida faqat bitta nuqta mos kelishini, lekin son o’qining har bir nuqtasiga natural son mos kelavermasligiga ishonch hosil qilish qiladilar.
5-sinf matematika kursida natural songa quyidagicha ta'rif beriladi: «Sanashda foydalaniladigan sonlar natural sonlar deyiladi».
Natural sonlar tuplami quyidagi xossalarga ega:
1. natural sonlar tuplamining birinchi elementi1 ga teng.
2. natural sonlar tuplamida ixtiyoriy natural sondan keyin keladigan va undan bitta ortik bo’lgan birgina natural son mavjuddir.
3. natural sonlar tuplamida 1 sonlidan boka har bir natural sondan bitta kam bo’lgan va bu sondan oldin keladigan birgina natural son mavjuddir.
Umumiy o’rta ta'limning davlat ta'lim standarti va o’quv dasturi bo’yicha 5-6 sinflarda quyidagi mavzularni ajratilgan soatlar hisobida o’rganish tavsiya etiladi:
5-sinf
Natural sonlar –(83 soat)
Natural sonlar va nol -11 soat
Natural sonlarni kushish va ayirish -14 soat
Natural sonlarni ko’paytirish va bo’lish -35 soat
Natural sonlarning bulinishi – 23 soat
Kasr sonlar (79 soat)
Oddiy kasrlar-28 soat
Kasrlarni kushish va ayirish -18 soat
Kasrlarni ko’paytirish va bo’lish -19 soat
Nisbat va propotsiya -14 soat
6- sinf
O’nli kasrlar (85 soat)
O’nli kasrlar haqida dastlabki ma'lumotlar -7 soat
O’nli kasrlarni kushish va ayirish – 9 soat
O’nli kasrlarni ko’paytirish va bo’lish -40 soat
Protsentlar -17 soat
Takribiy hisoblashlar -12 soat
Ratsional sonlar va ular ustida amallar (60 soat)
Musbatva manfiy sonlar -16 soat
Simmetriya -7 soat
Ratsional sonlarni kushish va ayirish -11 soat
Ratsional sonlarni ko’paytirish va bo’lish -26 soat

2. Natural sonlar va ular ustida amallar V sinfda o’quvchilarga natural sonlarni og’zaki va yozma nomerlash ishlari o’rgatiladi. Buning natijasida o’quvchilar natural sonlarni o’qish va yozishni o’rganadilar. Bundan tashqari, V sinfda nomerlashni o’rganish ba'zi umumlashtirishlar bilan birlikda utiladi, bu umumlashtirishlarni o’quvchilar quyidagi xollarda xulosa tarzida ifodalaydilar:

1) sanash vaqtida birinchi o’nta sonning har biriga aloxida nom beriladi;
2) sanok birliklari guruhlarga shunday birlashtiriladiki, bir xil o’nta birlikdan yangi sanok birligi –ikkinchi xona birligi, ikkinchi xonaning o’nta birligidan yangi sanok birligi- uchunchi xona birligi va xokazolar to’ziladi;
3) ikkinchi xonadan boshlab, har xona birligi shu xonadan, bevosita quyi xonaning o’nta birligidan tuzilgani uchun bizning sanok sistemamiz o’nli sanok sistemasi deb ataladi. 10 soni sanok sistemasining asosi deyiladi;
4) turli xonalardan har uchtasining birliklarini birlashtirib, sinflar to’ziladi. Dastlabki turtta xona birliklariga aloxida nomlar beriladi; bulardan turtinchi xona birligi – minglar, ikkinchi sinf birligi deb qaraladi va undan, xuddi asosiy birlikdan tuzilgani kabi, navbatdagi birliklar to’ziladi. Ikkinchi sinfning minta birligi uchunchi sinf birligini millionni tashkil etadi va xokazo;
5) solarni yozish uchun 10 ta rakam ishlatiladi. Noldan boshqa hamma rakamlar qiymatli rakamlar deb ataladi;
6) qiymatli rakamlarning qiymati ularning sondagi o’rniga karab o’zgaradi.
Shundan keyin o’qituvchi o’quvchilarga natural sonlarni kushish va ayirish hamda ko’paytirish va bo’lishni kundalik xayotga uchraydigan misollar asosida o’rgatishi maqsadga muvofiqdir.
Masalan, 5- sinf matematika kursining «Ko’p xonali natural sonlarni kushish» mavzusida quyidagi masala berilgan:
Birinchi ishdan 15 ta olma, ikkinchisida 13 ta olma bor. Ikkala ishda hammasi bo’lib nechta olma bor?
Yechish:
15+13=28
Qo’shilishi kerak bo’lgan natural sonlar kushiluvchilar, kushish natijasida hosil bo’lgan natural son yigindi deb ataladi.
Ko’p xonali sonlarni kushishda kushiluvchilarni tagma-tag yozib kushish qo’laydir.
O’quvchilarga yigindini bunday tarzda yozib hisoblash usto’n usuli ekanligi tushuntiriladi.
Shundan so’ng kushishning asosiy qono’nlari: o’rin almashtirish a+b=b+a va guruhlash (a+b)+с=a+(c+b) qono’nlari misollar yordamida tushuntiriladi.
Ko’p xonali natural sonlarni ayirish amali quyidagi masalalarni echish asosida kiritiladi:
Masala: Maktab bogiga 200 tup kuchat ekildi. Bu kuchatlardan 120 tasi olma kuchati, kolganlari esa urik kuchati. Bokka qancha urik kuchati eqilgan.
Bu masalada kushiluvchilardan biri (120) va yigindi (200) ma'lum. Ikkinchi kushiluvchi ayirish zarur: 120+X=200 X=200-120=80 tup.
Shundan so’ng ayirish amaliga ta'rif beriladi:
Berilgan yigindi va kushiluvchi bo’yicha ikkinchi kushiluvchini topish ayirish amali deyiladi. Ayirish kushishga nisbatan teskari amaldir.
Qaysi sondan ayrilayotgan bo’lsa, o’sha son kamayuvchi, ayrilayotganson esa ayriluvchi, natija ayirma deb ataladi.
Kamayuvchi, ayriluvchi va ayirmaning yigindisiga teng ekanligini misollar yordamida ko’rsatiladi.
Ayirish amalining quyidagi xossalari misollar yordamida o’rganiladi:
1-xossa.
a –(b+c)=(a-b)-c yoki a-(b+c)=(a-c)-b, a>b+c.

2- xossa.

(a-c)+b, agar a≥ c bo’lsa
(a+b)-c=a+(b-c), agar b≥ c bo’lsa
Natural sonlarning ko’patmasi bir xil kushiluvchilarning kushish orkasi tushuntiriladi:
а+а+а+ .... +а=а*n
n ta kushiluvchi
So’ngra ko’paytirishning o’rin almashtirish (a*b=b*a), guruhlash ((a*b)*c=a*(b*c)) va taksimot qono’nlari ((a+b)*c=a*c+b*c avval konkret misollar orqali tushuntiriladi va umumlashtiriladi.
Natural sonlarni bo’lish amali ko’paytirish amalmga teskari amal sifatida kiritiladi:
1. noma'lum ko’paytuvchini topish uchun ko’paytmani ma'lum ko’paytuvchiga bo’lish kerak: agar а*х=b bo’lsa, u holda х=b/а bo’ladi.
2. noma'lum bo’luvchini topish uchun bulinuvchini bulinmaga bo’lish kerak: agar a/x=b bo’lsa, u holda x=a/b bo’ladi.
3. noma'lum bulinuvchini topish uchun bulinuvchini bulinmaga ko’paytirish kerak: agar x/a=b bo’lsa, u holda x=a*b bo’ladi.
Natural sonlarni bo’lishda quyidagi asosiy masalalar qaraladi:
a) bulinish alomatlari; b)sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajratish; v) bir necha son umumiy bo’luvchilarini topish; g) bir necha son eng kichik karralisini topish.
Bulinish alomatlaridan 2,3, 5 va 9 ga bulinish alomatlari qaraladi. Bunda:
1) bir sonning ikkinchi songa bulinish alomati deb birinchi sonning ikkinchisiga bulinishining zarur va etarli shartiga aytiladi;
2) agar ikki kushiluvchidan birortasi biror songa bulinsa, u holda butun yigindi bu songa bulinishi uchun ikkinchi kushiluvchi shu songa bulinishi zo’rur va etarlidir;
3) ikki ko’paytuvchi ko’paytmasi berilgan songa bulinishi uchun bir ko’pay tuvchi bu songa bulinishi etarlidir kabi muloxazalar o’quvchilarga bayon etilishi zarur.
Kuzatishlar quyidagi sohalarda amalga oshirilishi mumkin:
1) har bir kushiluvchi biror songa bulinsa yigindi ham o’sha songa bulinadi;
2) birorta kushiluvchi birorta songa bulinmasa, boshqalari o’nga bulinsa, yigindi bu songa bulinmaydi;
3) agar ikkita kushiluvchidan birortasi berilgan songa bulinmasa, u holda yigindi ba'zida o’sha songa bulinadi, ba'zida bulinmaydi. (8+7):5 –koldiklar yigindisi 5 ga bulinadi va yigindi 5 ga bulinadi; (8+8):5 koldiklar yigindisi 5 ga bulinmaydi, yigindi ham 5 ga bulinmaydi. Xulosa: agar har bir kushiluvchi berilgan songa bulinmasa, yigindi bu songa bulinadi, agarda koldiklar yigindisi shu songa bulinadi.
Sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajratishni o’rganishda Eratofen (eramizgacha 276-132 yillar) «galviri» haqida gapirib beriladi. Avvalo 3 va 4 sonlariga karrali sonlar yozib chiqiladi va umumiy karralilar ichida eng kichigi eng kichik umumiy qirrali deb atalishi ham aytib utiladi.
Eng kichik umumiy karralini va eng katta umumiy bo’luvchilarni topish qoidalari keltirib chiqariladi va ular turli xollarda misolarga tadbiqlari qaraladi.
4. Bu mavzuni tushuntirish jarayonida o’qituvchi o’quvchilarga koordinita no’rining har bir nuqtasiga bittadan natural son mos kelmasligini, ya'ni koordinita nuridagi nuqtalar tuplamining ortib qolishi ko’rgazmali asosda tushuntirishi lozimdir. Bu muloxazaga kura natural sonlar tuplamini yanada kengaytirish va natijada yangi sonlar tuplamini hosil qilish extiyoji zarur ekanligini o’qituvchi yana bir marta o’quvchilarga tushntirishi lozim. Bundan tashqari o’qituvchi natural sonlar tuplamida har doim kushish va ko’paytirish amallarini bajarish mumkin, ammo ayirish va bo’lish amallarini har doim ham bajarish mumkin emasligini misollar yordamida ko’rsatish kerak. Natijada natural sonlar tuplamini kengaytirish orqali boshqa yangi sonlar tuplamini hosil qilish g’oyasi kelib chiqadi.
Maktab matematika kursida turli xil sonli tuplamlar ularni kengaytirish asosida o’rganiladi. Bu kengaytirish usuli sonlar sistemalarini o’qitish uchun asosiy yo’llanma bo’lishi kerak.
Maktabda ratsional sonlarni o’rganish oddiy kasrlarni karab chiqishdan boshlanadi. Oddiy kasrlarni kiritishda o’quvchilarga «ulush», «qism» tushunchalari haqida ma'lumot beriladi. O’quvchilarning bu borada tuplagan tasavvurlari va malakalari ularda butunning ulushlari tushunchasini tarkib toptirishda asosiy boshlang’ich tayanch bo’ladi.
Oddiy kasrlarni o’rganish o’quvchilarning sonlar ustidagi tasavvurlarini kengaytiradi.
Kasrlarni o’rganishda ko’rgazmalik va ko’rgazmali qurollar masalasi, Ayniqsa muhimdir.
O’rta maktabning V sinfda o’rganiladigan «Oddiy kasrlar» mavzusining asosiy g’oyalari quyidagilardan iborat:
1) kasr sonlarning kiritilishi – sonlar sohasini kengaytirishning yangi bosqichidir;
2) son to’g’risidagi yangi tushuncha sonlarning tengligini, yigindisi, ayirma va ko’paytmasi tushunchalarini yangicha ta'riflash talab etadi;
3) kasr sonlarning kiritilishi bilan bo’lish amaliga butun sonlarni bo’lishda qo’yilgan (0 ga bo’lishdan boshqa) cheklashlash o’z kuchini uykotadi;
4) kasr sonlar arifmetik amallarning natural sonlar uchun yuqorida belgilangan hamma qono’nlariga buysinadi;
Maktab matematika kursida kasr sonlarni o’rganish ikki davrga bulinadi: birinchi davrda kasr tushunchasi, kasrlarni kushish, ayirish va shuningdek, natural songa ko’paytirish qaraladi;ikkinchi davrda –kasrga ko’paytirish va bo’lish qaraladi;
Kasrlarning o’rta maktabdagi sistematik kursining asosiy masalalari quyidagilardir:
1) kasrlarning hosil bo’lishi:
2) kasrlarning shaklini o’zgartirish
3) kasrlar ustida amallar.
2. Maktabda ratsional sonlarni o’rganish oddiy kasrlarni karab chiqishdan boshlanadi. Oddiy kasrlarni kiritishda o’quvchilarga «ulush», «qism» tushunchalari, ularning xayotiy tasavvurlari asosida tushuntirish yaxshi natijalar beradi.
Bunda geometrik figuralar (doira, kvadrat, kesma) qismlari haqida gapirib o’tish mumkin. Umuman, kasr-natural sonlar jufti bo’lib, (surati nol ham mumkin) surati natural songa va maxraji birga teng deb hisoblash mumkin. Quyidagi muloxazalar ham bayon qilinishi maqsadga muvofiq: har qanday natural son va nol kasr shaklida ifodalashi mumkin, lekin har qanday kasr ham natural natural son shaklida yozilavermaydi.
Kasrlarni takkoslashni o’rganishda bir xil maxrajli kasrlarni takkoslash ular ustida kushish va ayirish amallari o’tilgandan so’ng qaraladi. Kasrlarni takkoslash ularni umumiy maxrajga keltirish, so’ngra esa suratlarni takkoslash bilan amalga oshiriladi yoki kasrning 1 dan qancha farq qilishiga karab ham takkoslashga o’rgatish mumkin. Bunda ikki xol mavjud:
a) kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltirib takkoslash;
b) umumiy maxraj ular maxrajlarini ko’paytirish yordamida topilib, so’ngra kasrlarni takkoslash.
Ikkinchi usul oddiy bo’lsada, katta sonlarni hisoblashga olib keladi, umuman, oddiy kasrlar ustida amallarni bajarish na faqat bir amalni bajarish balki ma'lum algoritmni amalga oshirishni talab etadi, masalan, kushishni bajarishda quyidagi amallar ketma-ketligi bajariladi:
1) umumiy maxraj izlanadi;
2) kushimcha ko’paytuvchilar topiladi;
3) kasrlar suratlarini bu kushimcha ko’paytuvchilarga ko’paytirish orqali amalga oshiriladi;
4) hosil bo’lgan ko’paytmalar yigindisi topiladi.
Mazkur algoritmni o’rgatishda quyidagi mashklar bajarish maqsadga muvofiq:
a) o’zaro tup maxrajlarga ega kasrlarni kushish va ayirish (masalan, ²/₃ va ¼ kasrlar);
b) birining maxraji ikkinchisining karralisi bo’lgan kasrlarni kushish va ayirish (1/3 va 1/12 kasrlar);
v) ixtiyoriy maxrajni kasrlarni kushish va ayirish;
g) butun qismini ajratish zarur bo’ladigan yigindilarni topish (masalan, 0,6+2/5);
d) birni kasr sifatida ifodalash zarurati bo’lgan ayirish (masalan, 1-2/5).
Kasrlarni ko’paytirish amaliy jixatdan aniq bo’lsada, lekin nazariy asoslash qiyinchilik tugdiradi. Bunda quyidagilarga e'tibor berilishi mumkin:
1. butun va kasr sonni ko’paytirish amalga oshiriladigan masalalarni tahlil qilish, unda natija to’g’ri turtburchak yo’zasi boshqa turtburchak qismi bo’lishligi ko’rgazmali ravishda ko’rsatilishi mumkin;
2. qoidaning bayoni va uni tekshirish shu qoida asosida butun sonlarni ko’paytirish qoidalari asosida amalga oshiriladi. O’nli kasrlar ham oddiy kasrlar shaklida yozilib «yangi qoidalar» «eski» qoidalarga keltirilishi mumkinligiko’rsatiladi;
3. amallar qono’nlarini ularni tenglamalar echishga tadbiq etishda mustahkamlash.
4. o’nli kasrlar oddiy kasrlarning xususiy ko’rinishidir, shuning uchun oddiy kasrlar nazariyasi o’nli kasrlaga ham tadbiq etiladi. Ikkinchi tomondan, o’nli kasrlar sistematik kasrlarning, ya'ni maxrajlari bizda kabul qilingan sanok sistemasi asosining darajalaridan iborat bo’lgan kasrlarning xususiy ko’rinishidan iboratdir, shu sababli ularga o’nli sistemadagi nomerlash qoidalarini tatbik etish mumkin. O’nli kasrlarni maxrajsiz yozish mumkin va butun sonlar ustida amallar bajarish qoidalarining ko’plari o’nli kasrlarga ham yaroklidir.
O’nli kasrlar va ular ustida amallar o’rta maktabning 6-sinf matematika kursida o’rganiladi.
O’nli kasrlarni o’rganish o’quvchilarning butun sonlar ustida bilimlarini mustahkamlashga, o’nlik sanok sistemasi printsipini rakamlarning sondagi o’rin qiymatini yaxshi tushunishga, arifmetik amallarni bajarish malakalarini mustahkamlashga imkon beradi.
O’nli kasrlar oddiy kasrlarga karaganda xayotda ko’proq qo’llanadi va katta amaliy qo’llanishga ega.
O’nli kasrlarni o’rganish tartibi quyidagicha: o’nli kasrlarni hosil qilish, o’qish va yozish, takkoslash, arifmetik amallar bajarish miqdorlarni o’lchashda hosil bo’lgan sonlarni o’nli kasr ko’rinishda yozish va aksincha.
O’nli kasrlarni o’rganishda ko’rsatmalilik va ko’rgazmali qurollar masalasi, Ayniqsa muhimdir.
Umuman, o’nli kasrlarni o’rganish quyidagicha reja asosida olib boriladi: ta'rif, o’nli kasrlarni yozish va o’qish, o’nli kasrlarni almatirishlar, o’nli kasrlarni takkoslash, o’nli kasrlar ustida amallar, oddiy kasrni o’nli kasrga aylantirish.Bunda:
a) har bir o’nli kasrni maxrajlari 10,100,1000,... bo’lgan kasrlar yigindisi shaklida tasvirlash mumkin;
b) o’nli kasrni yozishda rakamlar joylashgan o’rni ahamiyatiga ega ekanligini ko’rsatish mumkin.
Kasrlarni almashtirish va takkoslashda quyidagi mashklar karilishi mumkin:
1. 0,3;0,30;0,300 kasrlarni takkoslang;
2.mingdan bir ulushlarda tasvirlang: 0,7;0,80;7,8;4; umumiy maxrajga keltiring: 0,25;0,9; kasrlarni takkoslang: 1,8500 va 10,400. o’nli kasrni kushish va ayirish qoidalari ishlab chiqiladi, bunda ularni ustma-ustyozish, bir ulushlarni bir-birining ustida bo’lishi, razyadlarbo’yicha kushish va ayirish kerak. Har bir amal aloxida karalib, mashklar sistemasi xususiy xollarni qamrab olishi lozim. Masalan, ayirishda: kamayuvchi va ayriluvchi o’nli belgilar soni bir xil; kamayuvchida ayriluvchiga karaganda o’nli belgilar soni kam; kamayuvchi ayriluvchiga karaganda o’nli belgilar soni ko’p; butundan o’nli kasrni ayirish;
O’nli kasrlarni ko’paytirishda quyidagi xollar qaraladi: kasrni butun songa ko’paytirish; yigindiga ko’paytirish; o’nli kasrni 10ning darajalariga ko’paytirish kabi xususiy xollar qaraladi.
O’nli kasrlarni bo’lish: o’nli kasrni butunga bo’lishda 10,100,... larga bo’lish ko’rsatiladi, bunda kasrning 10,100 va xokazolarga ko’paytirish, surati o’zgarmas bo’lib, koladi.

Manfiy va irratsional sonlarni kiritish metodikasi. Xakikiy sonlar mavzusini o’qitish metodikasi. Xakikiy sonlar tushunchasini kengaytirish va kompleks sonlar mavzusini o’qitish metodikasi.

Tayanch iboralar : musbat va manfiy sonlar , ratsional son , irratsional son, xakikiy son , kompleks sonlar, ular ustida amallarni o’rganish metodikasi.
1.Musbat va manfiy sonlarni kiritish metodikasi.
Turmushda shunday masalalar uchraydiki, ularni hal etishda biz o’rganib kelgan natural sonlar, kasr sonlarning o’zi kifoya kilmaydi.Tabiatan yangi sonlarni kiritishga extiyoj seziladi.
Masalan: 1) Bugo’n kechasi Toshkentda 2 daraja ilik . Fargonada esa 3 daraja sovo’q bo’ladi 3daraja sovo’q degan iborani qanday son bilan ifodalaymiz?
2) 3 ning 5 dan ayirmasi nechaga teng?
Yuqoridagi masalalarni o’rta maktabning 6 – sinf matematika kursida berilgan bo’lib, musbat va manfiy sonlar tushunchasini kiritish bilan hal qilinadi. O’quvchilarga musbat va manfiy sonlarni koordinata nurida tasvirlash, qarama – qarshi sonlar haqida tushunchalar ko’rsatmali asosda berilishi zarur.
Manfiy sonlar – ob'ekt holatining biror belgisi sifatida , masalan , darajasi , mazmo’nan son ham emas . Shunday vaziyatga misollar keltirish kerakki , ular uchun sonli harakteristikada yana yo’nalishlarni ham ko’rsatish kerak bo’lsin , masalan , o’ngga – chapga , yuqoriga – pastga , A po’nktdan B po’nktga , B po’nktdan A po’nktga va xokazolar. Shuning uchun yo’nalish haqidagi so’zga yana qisqarok simvolik yozuv – «minus» ishorasi ishlatiladi.
Geometrik jixatdan shu vaqtgacha nur o’rganilgan bo’lib, o’nga son nuri mos keladi. Manfiy sonlarni kiritish bilan to’g’ri chiziq nuqtalari va son o’qi mosligi urnatiladi, u koordinata to’g’ri chizigi deyiladi.
Manfiy sonlarni kiritishda yangi sonlar tushunchasi ta'riflanmaydi . Asosiy tasavvurlar ko’rgazmali ayonli asosga ega bo’ladi.. Lekin nuqtadan sanok boshigacha bo’lgan masofa sifatida modul tushunchasi , qarama-qarshi sonlar koordinata chizigida sanok boshiga nisbatan simmetrik nuqtalar kabi tasvirlanuvchi sonlar sifatida o’rganiladi.
Manfiy sonlarni yozish o’nchalik qiyinchilik tugdirmaydi , lekin «nima uchun minus million yo’zdan birdan kichik» degan savolga javob berish uchun koordinata to’g’ri chizigiga murojaat qilishga to’g’ri keladi. Bunda «kichik» so’zi ma'nosi koordinata to’g’ri chizigi uchun «nuqtadan chaprokda joylashgan» ma'nosini beradi.
Sonlarni takkoslash bo’yicha natijalar qoidalar shakliga keltiriladi va bular kuzatishlar va masala echish usullarini umumlashtirish orqali bayon qilinadi.
Musbat va manfiy sonlar tuplamidagi amallar o’nli kasrlardan farqli uslub jixatidan xususiyatlariga ega . Kushish nuqtaning son o’qidagi holati o’zgarishlar ketma- keligi bilan tavsiflanadi , ayirish esa teskari amal sifatida karalib, songa qarama – qarshi sonni kushish orqali aniqlanadi.
Minus ishorasining ikki yoqlama ma'nosini aytib o’tish maqsadga muvofiqdir: biror sonni harakteristikasini ko’rsatish uning qarama-qarshiligini ko’rsatish yoki amalni bajarish uchun buyro’qni bajaradi. Nazariyani formal o’zlashtirish -a -(-b) kabi ifodalarni hisoblashga imkon beradi. Lekin bundagi qiyinchilik va xatolar o’qituvchi ish sur'atining tezligidan dalolat beradi, ifodalarni soddalashtirishda son o’qiga murojaat qilishga , har bir qadamni tushuntirishni talab qilishi zarur.
+ va – amallari bilan malakalar juda tez esdan chiqariladi ,shuning uchun ularni sekin asta mustahkamlab borish lozim. Ko’paytirish va bo’lish musbat sonlardagi usullar yordamida amalga oshiriladi. Vergullar qoidasi bayoni oddiy , lekin tezlikda esga olinadi. , o’quvchilar uni ishonch bilan qo’llaydilar .
Agar koordinata boshiga nisbatan ikki nuqta simmetrik bo’lsa , ularga mos keluvchi sonlar o’zaro qarama-qarshi sonlar deyiladi. Bunda quyidagi mashklar muhokama qilinadi.
1. Agar a- musbat son bo’lsa, -a son musbat yoki manfiy bo’ladimi?
2. –a musbat yoki manfiy sonmi?
3. Agar a=0 ga teng bo’lsa , -a nimaga teng bo’ladi?
0 na musbat , na manfiy son ekanligi ta'kidlanadi.
Absalyut qiymat ta'rifi beriladi. O’quvchilar uni o’zlashtirishlariga quyidagi mashklarni taklif etish mumkin: 5 , (-3) , 0 sonlar modulini toping , 5,3,2,1,…lar qanday modulga ega va ularga mos keluvchi nuqtalarni toping .
O’zaro qarama-qarshi sonlar bir xil modulga ega va aksincha ikki sonning modullari teng bo’lsa , bu sonlar teng yoki qarama-qarshi sonlar.
Ikkita teng bo’lmagan musbat a va v sonlar uchun: agar a b dan katta bo’lsa , a songa mos keluvchi nuqta son o’qida b songa mos keluvchi nuqtadan o’ngda, aks holda chapda joylashgan bo’lishligi aytib utiladi.
Shunday qilib, har qanday manfiy son musbat sondan kichikligi, har qanday son 0 dan katta , har qanday manfiy son 0 dan kichikligi ko’rsatiladi.Ikkita musbat sondan moduli bo’yicha katta bo’lgani katta ekanligi , ikkita manfiy sondan kichik modulga ega bo’lgani katta ekanligi ko’rsatiladi.
Ratsional sonlarni kushish va ko’paytirishni o’rganishda bir nechta matnli masalalarni echish bilan boshlash mumkin: masalan; xazinachi 30 sum , yana 10 sum kabul kildi , xazinaga qancha pul tushgan? Ertalab xavo 5⁰C issik edi , tushga borib daraja 6⁰C ga oshdi. Tushda necha gradusni ko’rsatgan?
Qoida: Agar son o’qidan foydalanilsa, son o’qida a songa mos keluvchi nuqtada b uzunlikdagi kesmani qo’ysak kesmaning oxiriga mos keluvchi son berilgan sonlar yigindisi a+b ga mos keladi.
Musbat va manfiy sonlarni kushishda quyidagi masalalar karalishi mumkin: Xavo harorati ertalab a⁰ C edi, tushda b⁰C ga o’zgardi, tushda harorat qancha bo’lgan? Daryoda suv saviyasi kechasi a m ortik edi , bugo’n uning saviyasi qancha?
Qoida: bir xil ishorali ikkita ratsional sonlarni kushishda ularning modullari kushiladi va ularning umumiy ishorasi saklanadi.
Turli xil ishorali sonlarni kushishda katta modulli sondan kichigi ayriladi va moduli katta bo’lgan son ishorasi quyiladi.
Ikkita qarama –qarshi sonlar yigindisi 0 ga teng, kushiluvchilardan birortasi 0 ga teng bo’lsa, yigindi ikkinchi kushiluvchiga teng bo’ladi. O’rin almashtirish va guruhlash qono’nlari o’rinli va bular sonlarda karab chiqiladi.
Barcha musbat kushiluvchilar va manfiy kushiluvchilarni aloxida birlashtirish bu yigindini topish, so’ngra yigindilar modullari ayirmasini topish, bu ayirmaga + qo’yish, agar musbat kushiluvchilar yigindisi moduli manfiy kushiluvchilar yigindisi modulidan katta bo’lsa, aks holda – quyiladi.
Ratsional sonlarni ayirishni kushishga teskari amal sifatida karab ya'ni , a sondan b sonni ayirish deb shunday c songa aytiladiki, uning b bilan yigindisi a ga teng bo’ladi.
2. Ratsional sonlarni kiritish va ular ustida amallarni bajarish metodikasi

Butun sonlar tuplamida har doim kushish, ayirish, ko’paytirish amallarini bajarish o’rinlidir , lekin bo’lish amali har doim ham bajarilavermaydi, cho’nki bir butun sonni butun songa bo’lganda har doim bulinmada butun son hosil bulavermaydi.

Masalan: 7:2=3.5 , 9:4=2+1/ 4…. Bu erda hosil qilingan bulinmadagi 3.5 ; 2+1/ 4; …sonlari butun sonlar tuplamida mavjud emas. Umuman olganda mx=n, m ≠ 0 ko’rinishidagi tenglamalarning echimi butun sonlar tuplamida har doim mavjud emas, bu tenglama har doim X=n/m, m ≠0 ko’rinishdagi echimga ega bo’lishi uchun kasr tushunchasini kiritish orqali butun sonlar tuplamini kengaytirib , o’nga barcha manfiy va musbat kasr sonlarni kushish kerak. Bu degan so’z (- p/q, 0, p/q) ko’rinishdagi ratsional sonlar tuplamini hosil qilish kerak deganidir. Shundagina mx=n ko’rinishdagi tenglamalar har doim echimga ega bo’ladi. Bu erda p va q lar natural sonlardir. Yuqoridagi muloxazalarga kura ratsional songa quyidagicha ta'rif berish mumkin: p/q ko’rinishidagi qisqarmas kasrga ratsional son deyiladi.
Ratsional son tushunchasi VI sinfda kiritiladi . Bunda ratsional sonlarni takkoslash , ratsional sonlarni kushish va ayirish , ko’paytirish va bo’lish qaraladi.
Ratsional sonlarni takkoslash, kushish va ayirish ko’rsatmalilik asosida tushuntirilishi juda muhimdir. Buning uchun son nuridan , termometrlardan foydalanish zarur.
Ratsional sonlarni kushish quyidagi xossalarga ega .
а+b=b+а
a+(b+с)=(a+b)+с
Ratsional sonlarni ko’paytirish konkret masala va misollarni echish orqali tushuntirilib , quyidagi xulosaga kelinadi.
(+a)*(-b)=-ab
(-a)*(+b)= -ab
(-a)*(-b)=+ab
Ratsional sonlarni ko’paytirish natural sonlardagi kabi o’rin almashtirish , guruhlash va taksimot xossalariga egaligi misollar yoodamida tushuntiriladi:
a*b=b*a
(a*b)*с=a*(b*с)
(a+b)*с=a*с=a*с+b*с
Ratsional sonlarni bo’lishda ham natural sonlarni bo’lishdagi kabi berilgan ko’paytma va ko’paytuvchilardan biri bo’yicha ikkinchi ko’paytuvchi topiladi.
Bir xil ishorali sonlar bulinmasining ishorasi musbat , har xil ishorali sonlar bulinmasining ishorasi manfiy ekanligini misollar yordamida tushuntiriladi.
3. Irratsional son tushunchasini kiritish metodikasi.

O’quvchilar VIII sinfda birinchi marta irratsional son tushunchasi bilan tanishadilar .

O’qituvchi bu mavzuni tushuntirishdan oldin o’quvchilarga kvadrat ildiz va arifmetik ildiz tushunchalarini tushuntirishi zarur.
Bu erda o’quvchilarga yana shu narsani tushuntirish kerakki , har qanday ratsional sonni cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida ifodlalash mumkin, irratsional sonni esa esa cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida ifodalab bo’lmaydi.
Cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida ifodalab bo’lmaydigan sonlarni irratsional sonlar deyiladi.
O’qituvchi bu erda o’quvchilarga shu narsani eslatishi kerakki, irratsional sonlarga kvadrati berilgan musbat songa teng bo’lgan sonni topish masalasigina olib kelmaydi. Masalan, aylana uzunligining diametriga nisbatini aniqlovchi π sonini oddiy kasr ko’rinishida ifodalash mumkin emas , u ham irratsional sondir.
4. Xakikiy son tushunchasini kiritish va ular ustida amallarni bajarish metodikasi.

O’quvchilarga ratsional va irrotsional sonlar haqida tushuncha berilgandan so’ngratsional va irratsional sonlar birgalikda xakikiy sonlar tuplamini hosil qilishi haqida 8- sinf algebra kursida ma'lumot beriladi.

Xakikiy sonlar ustida arifmetik amallar va takkoslash qoidalari shunday kiritiladiki , natijada bu amallarning , tenglik va tengsizliklarning ratsional sonlar uchun xossalari butunlay saklanadi.
5. Kompleks son tushunchasini kiritish va ular ustida amallarni bajarish metodikasi.

8- sinf algebra kursida istalgan kvadrat tenglama ildizlarga ega bo’lishi uchun xakikiy sonlar tuplamini , o’nga yangi sonlarni kushib kengaytirishga to’g’ri kelishi , bu yangi sonlar xakikiy sonlar bilan birgalikda kompleks sonlar tuplami deb atalishi haqida tushuncha beriladi.

Xakikiy ildizga ega bo’lmagan kvadrat tenglamalarning eng soddasi x² + 1=0 tenglama qaraladi. Kompleks sonlar tuplamida bu tenglama ildizga ega bo’lib, bu ildiz i harfi bilan belgilanadi va mavxum birlik deyiladi. Shunday qilib ,i shunday kompleks sonki , 1²=-1 bo’ladi.
O’quvchilarga istalgan kompleks sonni .a+bi (a va b lar xakikiy sonlar) ko’rinishda yozish mumkin ekanligi, xakikiy sonlar kompleks sonlarning xususiy xollari bo’lishi , kompleks sonlarning tengligi misollar orqali tushuntiriladi.
Kompleks sonlar ustida arifmetik amallar shunday aniqlanadiki , bu amallarning barcha xossalari ayni xakikiy sonlar ustidagi amallarniki kabi bo’ladi.

Maktab va o’rta maxsus muassasalar matematika kursida ayniy shakl almashtirishlar va uni o’qitish metodikasi.

Tayanch iboralar: harfiy ifoda , birxad , ko’pxad , ayniyat , ayniy shakl almashtirish , standart shakl .
1.Ayniy shakl almashtirishlar. Butun ifodalarni ayniy shakl almashtirish.
Algebraga bagishlangan birinchi darslardayoq o’quvchilarga uchraydigan qiyinchilik – harfiy belgilashlarni ishlata boshlashdagi qiyinchiliklardir; ular bu simvolikani kiritishdan ko’zda to’tilgan maqsadni tezgina tushunib olmaydilar . Bu qiyinchilik , harfiy simvolikaning maqsadga muvofiqligi va bu simvolikaning kiritilishi zarurligini tushunib olishiga erishish maqsadida o’quvchilarning psixologik tayyorgarlik ishlarini tashkil etishni o’qituvchidan talab qiladi. Bunda o’quvchilarga boshlang’ich sinflar va 5- sinfdagi ma'lum bo’lgan materialdan tula foydalanish kerak.
Boshlang’ich sinflarda har bir amalni faqat ikki son ustida bajarish mumkinligi aniqlangan edi. Bu printsip sonlarning maktabda o’rganiladigan hamma sohalarida ham saklanib koladi . Matematika kursida amallarning qono’nlari o’rganilgan , algebraga bagishlangan birinchi darslarda bu qono’nlardan ba'zi birlarini takrorlab o’tish tabiiydir. Butun sonlar va kasr sonlar ustida konkret misollar ko’rib utgach , bu qono’nlar umumlashtiriladi , tegishli iboralar to’ziladi va bu iboralar simvolika tiliga kuchiriladi.
Masalan: Biror songa yigindini kushish va yigindiga biror sonni kushishni analiz qilish natijasida quyidagi formulalar bilan ifodalanadigan qono’nlar aniqlanadi.

(а+b)+с а+(b+с)

а+(b+с) = ; (а+b)+с=
(а+с)+b (а+с)+b
xuddi shu yusinda ko’paytirish qono’nlari ham aniqlanadi:
(а*b)*с
а*(b+с)=а*b+а*с; а*(b*с)= va boshqalar.
(а*с)*b
Bu qono’nlar asosida yigindining, ko’paytmaning va xokazolarning xossalari belgilanadi. Masalan: 43+57=57+43;
43+29+57+31=(43+57)+(29+31), bu esa ushbu umumlashtirilgan formulalar bilan ifodalanadi; а+b=b+а ва а+b+с+ d= (а+b)+(с+d) .
Bu yozuvlarni ko’rib chiqish natijasida o’quvchilar harflarni o’zlariga tanish bo’lgan har qanday son deb faraz qilib , bu qono’nlarni harflar yordamida ifodalab , har bir qono’nni umumlashtirishga imkon beradi degan xulosaga keladi; bu yozuvlar so’zlar bilan o’zundan - uzun ta'riflarni qisqacha yozuv – formulalarga almashtirishga imkon beradi.
Harfiy simvolika va harfiy ifodalar kiritilishi mo’nosabati bilan o’quvchilarni koeffitsient, daraja , darajaning asosi , daraja ko’rsatkichi , harfiy ifodalarning son qiymati , amallar tartibi va kavslarni ishlatish , bilan tanishtirish kerak.
Algebrada ham algebraik ifodalar bilan turli amallar bajarishga to’g’ri keladi , shu sababli algebraik ifodani shaklda tasvirlay bilish kerak, lekin uni har qanday shaklda yozganda ham undagi harflarga berilgan son qiymatlarida ifodaning son qiymati o’zgarmasligi kerakligini esdan chiqarmaslik lozim.
Ana shu shartga rioya qilgan holda algebraik ifodani bir shakldan ikkinchi shaklga o’zgartirib yozish – ayniy shakl almashtirish deb ataladi .
Hozirgi 7- sinf darsligida «Algebraik ifodalar» mavzusi boshlanadi. Shu erda ayniyatga ham ta'rif beriladi:
Ta'rif: O’zgaruvchilarning istagan qiymatida ikki ifodaning mos qiymatlari bir – biriga teng bo’lsa bunday ikki ifoda aynan teng ifodalar deyiladi.
Ta'rif: O’zgaruvchilarning istagan qiymatida ham to’g’ri bo’lgan tenglik ayniyat deyiladi.
Sonlar ustidagi amallarning asosiy xossalarini ifodalovchi tengliklar ayniyat bo’ladi:
а+b=b+а, (а+b)+с=а+(b+с), аb=bа, (аb)с=а(bс), а(b+с)=аb+ас.
Ayniyatlarga yana boshqa misollar ham keltirish mumkin:
а+0=а, а+(-а)=0, а-b=а+(-b), а*1=а, а*(-b)=-аb, (-а)(-b)=аb.
7- sinf algebra kursida ifodalarni aynan shakl almashtirish misollar orqali tushuntiriladi.
Misol: x,y,z ning berilgan qiymatlarida xy-xz ifodaning qiymatini topish uchun uchta amal bajarish kerak. Masalan, х=2,3;у=0,8; z= 0,2 bo’lganda, quyidagini hosil qilamiz:
хy-xz=2,3*0,8-2,3*0,2=1,84-0,46=1,38.
Agar xy-xz ifodaning x(y-z) ifodaga aynan tengligidan foydalansak , yuqoridagi natijani faqat ikkita amalda bajarib olishimiz mumkin:
х(y-z)=2,3(0,8-0,2)=2,3*0,6=1,38.
Biz xy-xz ifodani o’nga aynan teng bo’lgan x(y-z) ifoda bilan almashtirib hisoblashni soddalashtirdik. Bir ifodani o’nga aynan teng bo’lgan boshqa ifodaga almashtirish ayniy shakl almashtirish yoki soddagina qilib ifodani almashtirish deyiladi.
O’zgaruvchili ifodalar sonlar ustida bajariladigan amallarning xossalariga asosan almashtiriladi. Shu mavzuda o’xshash xadlarni ixchamlash, kavslarni ochishga doir bir nechta misollar qaraladi.
7- sinf algebra kursida daraja va uning xossalarini o’rganishda , birxadlar va ko’pxadlar ustida amallarni bajarishda , qisqa ko’paytirish formulalarini o’rganishda aynan shakl almashtirishdan foydalaniladi .
Umuman olganda butun maktab matematika kursida aynan shakl almashtirishlar qo’llaniladi.
Maktab matematika kursida aynan shakl almashtirishlarni shartli ravishda quyidagicha ketma-ketlik asosida ifodalash mumkin:
1. Butuno’n ifodalarni ayniy almashtirish.
2. Kasr ifodalarni ayniy almashtirish.
3. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish.
4. Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish.
Ayniyat va ayniy almashtirish tushunchalari 7-sinfdan boshlab kiritiladi , lekin 7- sinf matematika darslaridayoq ayniy almashtirishlar bajariladi.
Masalan: 3+2=5 ifodaning yigindisini hisoblash 3+(1+1)=4+1=5 kabi ayniy almashtirish yordamida bajariladi. V-VI sinflarda sonlar ustida murakkabrok ayniy almashtirishlar bajariladi.
Masalan: 52=5*10+2=5*5*2+2=25*2+2; 35=3*10+5=3*5*2+5=6*5+5

Masalan: 1) 5y² (2x²-3y) 4) (c+5)(c²-3c+5)

2. 
   (x+y)(y-x) 5)
   

3) (2x+5)(7-3x) 6)
Butun ifodalarni ayniy almashtirishdagi asosiy vazifa berilgan matematik ifodani ko’pxadlarni imkoniyati boricha algebraik amallar yordamida standart shakldagi birxadlar ko’rinishiga keltirib soddalashtirishdan iboratdir.Shu erda o’qituvchi o’quvchilarga o’xshash xadlar birxad va ko’pxad tushunchalarini tushuntirishi hamda ularga misol keltirishi lozim.
Har qanday ifoda birxad va ko’pxadlardan iborat bo’ladi.
Ta'rif:Ko’paytirish va darajaga kutarish amallari yordamida tuzilgan ifodalarni birxad deyiladi. Masalan: 5y²x, xya²:…..
Birxadlarni standart shakllarga keltirish misollar yordamida tushuntiriladi.
Masalan: 6x*4y birxad sodda xolga keltirilsin. Bu misolga biz ko’paytirishni o’rin almashtirish va guruhlash qono’nlarini qo’llasak , 6x*4y=6*4xy=24xy bo’ladi.
Ta'rif: Bir necha birxadlarning yigindisidan iborat bo’lgan ifoda ko’pxad deyiladi.

Masalan: 1) 5x²y+ y²x 2) 13a²b+ с²а+ а²b

Yuqoridagi ta'rif va misollardan ko’rinadiki birxad ko’pxadning xususiy xoli ekan.
Ta'rif: Ko’pxadning o’zaro koeffitsientlari bilangina farq qiladigan yoki butunlay bir xil koeffitsientli bo’lgan xadlari o’xshash xadlar deyiladi.
Masalan: 1) 20y² х+4zt-12y²x-3tz=(20y²х^-12y²x)+(4zt-3tz)=8y²-x+zt/
Butun ifodalarni ayniy almashtirishda berilgan ko’pxadlarda birxadlarga birxadlar esa standart shaklga keltiriladi.
2. Kasr ifodalarni ayniy almashtirish.
8-sinf algebra kursidan boshlab kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirish bajariladi.
Ta'rif: Agar algebraik ifoda kushish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari yordamida sonlar va o’zgaruvchilardan tuzilgan bo’lsa , u holda bunday ifodani ratsional ifoda deyiladi.
Masalan: , ,
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirish jarayonida ana shu ifodada katnashayotgan noma'lum sonlarning kabul qiladigan qiymatlarini aniqlash lozim.
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirishdagi asosiy vazifa berilgan ifodaning surat va maxrajlarida turgan ko’pxadlarni ayniy almashtirishlar bilan birxad ko’rinishiga keltirishdan iboratdir.
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirishdan oldin o’qituvchi kasr va ular ustida bajariladigan turt amalga doir sonli harfiy misollardan namo’nalar ko’rsatib, so’ngra harfiy ifodalar katnashgan kasrlar ustida bajariladigan ayniy almashtirishlarni ko’rsatishi maqsadga muvofiqdir.
Bu misollarda bajarilgan ishlar o’quvchilarga ayniy almashtirishlar deb o’rgatilmasada , lekin aslida sonlar ustida ayniy almashtirish bajariladi.
Bizga ma'lumki , ratsional algebraik ifodalar arifmetik turt amal hamda darajaga kutarish amallari asosida to’ziladi.Agar algebraik ifoda kushish , ayirish , ko’paytirish va noldan farqli songa bo’lish amallari yordamida tuzilgan bo’lsa , u holda bunday ifodalar butun ifodalar deyiladi.
Yuqoridagiga o’xshash misollarni ko’rsatgandan so’ng o’qituvchi yana bir ayniy almashtirishning mazmunini quyidagicha tushuntirishi lozim: Har qanday ayniy almashtirishning maqsadi misol yoki masalani echish uchun berilgan matematik ifodani eng sodda yoki qo’lay holatga keltirib hisoblashdan iboratdir.
1-misol. а²-25 а - а+5 ifodani soddalashtiring.
а++3 * а²+5а а²+3а
1) а²-25 а = а²-5² а = (а-5)(а+5) а = а-5
а+3 * а²+5а а+3 * а(а+5) а+3 * а(а+5) а+3
2) а-5 - а+5 = а-5 - а+5 = (а-5)а - а+5 = а²-5а-а-5 = а²- 6а-5 а+3 а²+3а а+3 а(а+3) (а+3)а а(а+3) а(а+3) а(а+3)
3. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish.
Agar berilgan matematik ifodada irratsional ifoda katnashgan bo’lsa , ayniy almashtirishlar orqali irratsional ifodani ratsional ifoda ko’rinishiga keltiriladi va u hisoblanadi. Irratsional ifoda bu ildizlardan yoki butun sonlardan tashkil topgan algebraik ifodadir.
Ta'rif: Agar berilgan algebraik ifodada ildiz chiqarish amali katnashsa , bunday ifoda irratsional ifoda deyiladi. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish orqali ratsional ifoda ko’rinishiga keltirish uchun asosan ildiz ostida katnashayotgan birxad yoki ko’pxadni ildiz ostidan chiqarish, imkoniyati boricha maxrajni irratsionallikdan kutkarish , noma'lum o’zgaruvchilar kiritish orqali berilgan irratsional ifodani ratsional ifoda ko’rinishiga keltirish kabi ishlar bajariladi.
Bundan tashqari o’quvchilarga sonning ildizi va uning kvadrat ildizi hamda irratsional ifodalarning xossalari kabi tushunchalar tushuntirib utilib so’ngra quyidagi misollarni echish maqsadga muvofiqdir.
1-misol.

Ifodalarni sodalashtirishga oid ko’plab misollar keltirish mumkin.
4. Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish .
Maktab matematika kursining tirigonometriya bo’limida juda ko’p ayniy mo’nosabatlar , jumladan quyidagi mo’nosabatlar o’rganiladi.
1. Trigonometrik funktsiyalarning birini ikkinchisi orqali ifodalaydigan ayniy almashtirishlar.
2. Trigonometrik ifodalarni soddalashtirishdagi ayniy almashtirishlar.
3. Trigonometrik ayniyatlarni isbotlashdagi ayniy almashtirishlar.
4. Trigonometrik tenglamalarni echishdagi ayniy almashtirishlar.
Yuqoridagilardan ko’rinadiki, trigonometriya kursida ayniy almashtirishlar muhim o’rinni egallaydi.
VIII – sinf geometriya va IX – sinf algebra kursida turtta trigonometrik funktsiyalarni o’zaro boglovchi quyidagi turtta ayniyat o’rganiladi.
1) cos²α+sin²α=1 3) 1+ctg²α=
2) 1+tg²α= 4) tgα*ctgα=1

Bu ayniyatlarni keltirib chiqarish maktab geometriya kursida batafsil bayon qilingan.

Yuqoridagi ayniyatlar va trigonometrik formulalar yordamida esa trigonometrik ifodalarni ayniy shakl almashtirish ishlari bajariladi.