Mavzu: Qutb koordinatalar sistemasi

Mavzu: Qutb koordinatalar sistemasi.
Reja:

1. 
   Qutb koordinatalar sistemasi.
   
2. 
   Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog`lanish.
   
3. 
   Qutb koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa
   
4. 
   Sferik va silindrik koordinatalat sistimalari.
   

Qutb koordinatalar sistemasi.

Qutb koordinatalar sistemasi ikki o‘lchamli koordinatalar sistemasi bo‘lib, unda tekislikdagi har bir nuqta qutb burchagi va qutb radiusi deb ataluvchi ikkita son orqali aniqlanadi. Ikkita nuqta orasidagi munosabatni radius va burchaklar orqali ifodalash qulay bo‘lgan hollarda qutb koordinatalar sistemasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Dekart yoki to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida bunday munosabatlar trigonometrik tenglamalarni qo‘llash orqali amalga oshiriladi. Qutb koordinatalar sistemasi nol nur yoki qutb o‘qi deb ataluvchi o‘q orqali beriladi. Bu nur chiquvchi nuqtaga koordinata boshi yoki qutb deyiladi. Tekislikdagi har qanday nuqta ikkita qutb koordinata-radius va burchak orqali aniqlanadi. Radius (radial koordinata) odatda r harfi bilan belgilanib, nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofaga teng. Burchak koordinata ko‘p hollarda qutb burchagi yoki azimut deb ham yuritiladi. Bu miqdor  harfi bilan belgilanib, berilgan nuqtaga tushish uchun qutb o‘qi buriladigan (soat strelkasiga qarama-qarshi yo‘nalish) burchakka teng.
Shu tarzda aniqlangan radial koordinata (radius) 0 dan  gacha bo‘lgan qiymatni qabul qilishi mumkin. Burchak koordinata esa 0 dan 360  gacha bo‘lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Burchak va radius tushunchalari eramizdan avvalgi birinchi ming yillik davrida ham ma’lum bo‘lgan. Grek astronomi Gipparx turli burchaklar uchun vatarlar uzunliklari jadvalini yaratgan. Samoviy jismlarning joylashuv o‘rnini aniqlashda qutb koordinatalar sistemasidan foydalanilganligi haqida ma’lumotlar mavjud. Arximed o‘zining “Spirallar” asarida Arximed spirali deb ataluvchi funksiya tavsiflangan bo‘lib, bu funksiya radiusi burchakdan bog‘liqdir. Biroq grek tadqiqotchilarning ishlarida koordinatalar sistemasini aniqlash to‘liq rivojlantirilmagan. IX asrda fors matematigi Xabbash-al-Xasib kartografik proyeksiya va sferik trigonometriya metodlaridan foydalanib, qutb koordinatalar sistemasidan markazi sferaning biror nuqtasida bo‘lgan boshqa koordinatalar sistemasiga o‘tish masalasini o‘rgangan. Fors astronomi Abu Rayhon Beruniy qutb koordinatalar sistemasi tavsifi qanday bo‘lishi haqidagi g‘oyalarni ilgari surgan. U taxminan 1025 yilda birinchilardan bo‘lib samoviy sferaning qutb ekvi-azimutal tekis taqsimlangan proyeksiyasini tavsiflagan. Qutb koordinatalar sistemasini formal koordinatalar sistemasi sifatida kiritish bo‘yicha turlicha qarashlar mavjud. Qutb koordinatalar sisitemasining paydo bo‘lishi tarixi olib borilgan tadqiqotlarning to‘liq bayoni Garvard universiteti professori Julian Louvel Kulijning “Qutb koordinatalar sistemasining paydo bo‘lishi” nomli ishida yoritilgan. Greguar ge San-Vensan va Bonaventura Kavaleri bir biridan bog‘liqsiz ravishda XVII asrning o‘rtalarida o‘xshash xulosaga kelishgan. San-Vensan 1625 yilda o‘zining shaxsiy izohlarida qutb sistemasini bayon qilgan, uni 1647 yilga kelib nashr qilgan. Kavaleri esa o‘zining ishlarini 1635 yilda chop qilgan, tuzatilgan variant esa 1653 yilda nashrdan chiqqan. Arximed spirali bilan chegaralangan soha yuzini hisoblash uchun qutb koordinatalar sistemasidan foydalangan. Keyinchalik Blez Paskal parabolik yoylar uzunligini hisoblashda qutb koordinatalar sistemasidan foydalangan. Isaak Nyuton tomonidan 1671 yilda yozilgan va 1736 yilda nashr qilingan “Flyuksiya usuli” nomli kitobda qutb koordinatalar sistemalari orasidagi almashtirishlarni o‘rgangan. Yakob Bernulli “Acta eruditorum ” jurnalida 1691 yilda nashr qilingan maqolasida to‘g‘ri chiziqdagi nuqtada sistemadan foydalangan. Ular mos ravishda qutb va qutb o‘qlari deb atalgan. Nuqta koordinatalari qutbgacha bo‘lgan masofa va qutb o‘qigacha bo‘lgan burchak yordamida aniqlangan. Bernullining ishi bu koordinatalar sistemasida aniqlangan chiziqning egrilik radiusini topish masalasiga bog‘ishlangan.


“Qutb koordinatalari” tushunchasining kiritilishi Gregorio Fontana nomi bilan bog‘liq. XVIII asrda u italyan mualliflar leksikoniga kiritilgan. Bu termin ingliz tilida Silvestr Lakruaning “Differensial va integral hisob” traktatining tarjimasi orqali kirib kelgan. Tarjima 1816 yilda Jorj Pikok tomonidan amalga oshirilgan. Uch o‘lchamli fazoda qutb koordinatalarini birinchi bo‘lib Aleksi Klero taklif qilgan, Leonard Eyler esa birinchilardan bo‘lib, mos sistemani ishlab chiqqan. Endi grafik tasvirlar qismiga o‘tamiz. Yuqorida aytib o‘tganimizdek, har bir nuqta qutb koordinatalar sistemasida ikkita koordinata - r yoki  (radial koordinata) va  yoki  (burchak koordinata, qutb burchagi, faza burchagi, azimut, pozitsion burchak) orqali aniqlanadi. r koordinata nuqtadan markazgacha yoki koordinata sistema qutbigacha bo‘lgan masofaga mos keladi.  burchak esa 0 li nurdan soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalishda hisoblangan burchakka teng. Polyar radius tekislikning istalgan nuqtasi uchun aniqlangan va nomanfiy r  0 qiymatni qabul qiladi.  qutb burchak esa 0 qutbdan boshqa barcha nuqtalar uchun aniqlangan va −    qiymatlarni qabul qiladi. Qutb burchak radianlarda o‘lchanadi va qutb o‘qidan boshlab hisoblanadi: - agar burchak qiymati musbat bo‘lsa, musbat yo‘nalishda, ya’ni soat strelkasi yo‘nalishiga teskari yo‘nalishda; - agar burchak qiymati manfiy bo‘lsa, manfiy yo‘nalishda olinadi. Masalan, (3; 60 ) koordinatali nuqta qutb o‘qidan 60 burchak ostidagi nurda, qutbdan 3 birlik masofadagi nuqta bo‘ladi. (3; − 300 ) nuqta ham aynan shu nuqtani ifodalaydi. Qutb koordinatalar sistemasining muhim jihatlaridan biri shundaki, bitta nuqta cheksiz usul bilan tasvirlanishi mumkin. Bunda nuqta azimutini aniqlash uchun qutb o‘qini nuqtaga qarab yo‘naltirish kerak. Agar qo‘shimcha to‘liq aylanish amalga oshirilsa va nuqtaga yo‘nalishi o‘zgarmasa yana dastlabki nuqta hosil bo‘ladi. Umumiy holda (r,) nuqta (r,  n360) yoki (− r,  n360) kabi tasvirlanadi, bu yerda n ixtiyoriy butun son. Qutbni ifodalash uchun (0,) koordinata ishlatiladi.  ning qiymatidan bog‘liqsiz ravishda nuqta o‘zgarmaydi. Sinus va kosinus trigonometrik funksiyalarni qo‘llab qutb koordinatalar sisitemasidan х va у Dekart koordinatalar sistemasiga o‘tish mumkin: х = r cos; y = rsin. Bunda ikkita х va у Dekart koordinatalar r qutb koordinataga o‘tadi: 2 2 2 r = х + у (Pifagor teoremasi).  burchak koordinatani topishda quyidagi ikkita holatni inobatga olish kerak:

1. 
   r = 0 bo‘lsa,  burchak istalgan haqiqiy son bo‘lishi mumkin; 2) r  0 bo‘lsa,  ning asosiy qiymatini odatda 0;2 ) yoki (−;  intervaldan tanlanadi.  burchakning 0;2 ) intervaldagi qiymatini hisoblashda ushbu formuladan foydalanish mumkin:
   

Qutb koordinatalar sistemasi yordamida zamonaviy matematikaning bir qator masalalarini hal qilish mumkin. Ushbu maqolada shunday masalalardan birini,
aniqroq qilib aytganda Fridrixs modelining spektral xossalarini o‘rganishdagi qo‘llanishini qaraymiz. (  2 2 T = −; orqali ikki o‘lchamli torni, ( ) 2 L2 T orqali esa 2 T da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz. ( ) 2 L2 T Gilbert fazosida ta’sir qiluvchi va Fridrixs modeli deb ataluvchi H  = H0 − V operatorni qaraymiz. Bu yerda H0 ko‘paytirish operatori: ( )( , ) (2 cos cos ) ( , ), 0 H f x y = − x − y f x y V esa integral operator ( )( , ) ( , ) ; 2 Vf x y f s t dsdt T =    0- ixtiyoriy musbat son. Bu ko‘rinishda aniqlangan H  operator ( ) 2 L2 T fazoning hamma yerida aniqlangan chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Uning muhim spektri 2 − cos x − cos y funksiyaning qiymatlar sohasidan iborat bo‘ladi, ya’ni 0;4 kesmadan: ( )= 0;4.  ess H  H  operatorning diskret spektrini topishda muhim bo‘lgan va С \0;4 sohada regulyar bo‘lgan hamda ( ) ; 1 cos cos 1 2  − − −  = − T s t z dsdt  z  kabi aniqlangan funksiyani qaraymiz. H  operatorga o‘xshash operatorlar ustida olib borilgan tadqiqotlarga ko‘ra z С \0;4 soni H  operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun   (z) = 0 bo‘lishi zarur va yetarlidir. Shu sababli, (H )= zС \0;4: (z) = 0.  disc   H  o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lganligi bois uning xos qiymatlari haqiqiydir. Demak (H ) R.  disc   V musbat operator ekanligi bizga yaxshi ma’lum. Shu sababli istalgan z  4 soni uchun ((H  − z)f , f )= ((H0 − z)f , f )− (Vf , f ) 0
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa o‘z navbatida H  operator istalgan   0 soni uchun 4 dan katta xos qiymatlarga ega emasligini bildiradi. H  operatorning manfiy xos qiymatlarini o‘rganish masalasi esa ( ) (z) z   =   →−0 0 lim limitning qiymatidan, ya’ni  T 2 2 − coss − cost dsdt integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligidan bevosita bog‘liq.
Sferik koordinatalar sistemasi Bizga yaxshi ma’lumki, ikki karrali integrallarni yaqinlashishga tekshirishda ko‘pincha qutb koordinatalar sistemasiga o‘tish muhim rol o‘ynaydi. Zamonaviy matematikada ko‘pincha uch karrali integrallarni yaqinlashuvchanlikka tekshirish bilan bog‘liq masalalar uchrab turadi. Xususan, Fridrixs modeli yoki umumlashgan Fridrixs modelining odatdagi va bo‘sag‘aviy xos qiymatlarini hamda virtual sathlarini tahlil qilishda uch karrali integrallarni tekshirishga to‘g‘ri keladi. Buni esa ko‘pincha sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish orqali amalga oshirish mumkin. Shu nuqtai nazardan bunday koordinatalar sistemasi haqidagi ma’lumotlar muhim sanaladi. Sferik koordinatalar sistemasi-uch o‘lchamli koordinatalar sistemasi bo‘lib, fazodagi har qanday nuqta uchta koordinata (r,,) orqali aniqlanadi, bunda r - nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa (radial masofa),  va  lar esa mos ravishda zenit va azimut burchaklar.
Zenit va azimut tushunchalari astronomiyada keng qo‘llaniladi. Zenit-bu fundamental tekislikga tegishli bo‘lgan tanlangan nuqtadan (kuzatuv nuqtasidan) vertikal ko‘tarilish yo‘nalishidir. Astronomiyada fundamental tekislik sifatida ekvator yoki gorizont yotuvchi tekislikni tanlash mumkin. Azimut-bu markazi kuzatuv nuqtasida bo‘lgan fundamental tekislikdagi istalgan tanlangan nur va avvalgisi bilan umumiy boshlang‘ich nuqtaga ega boshqa nur orasidagi burchakdir. Agar sferik koordinatalar sistemasi Охуz dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan qaralsa, u holda ху tekisligi fundamental tekislik bo‘ladi, berilgan Р radiusvektorning zenit burchagi Р va z o‘q orasidagi burchakka teng bo‘ladi. Р ning ху tekislikdagi proyeksiyasi va х o‘qi orasidagi burchak esa azimut bo‘ladi. Shu orqali burchaklarning nomlanishini asoslash mumkin va sferik koordinatalar sistemasini fazoviy koordinatalar sistemasi turini umumlashtirish sifatida qarash mumkin. Р nuqtaning joylshuvi sferik koordinatalar sistemasida (r,,) uchlik orqali aniqlanadi, bu yerda 1) berilgan Р nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa nomanfiydir, ya’ni r  0 ; 2) Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va z o‘qi orasidagi  burchak uchun 0  180 munosabat o‘rinli; 3) Р nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning ху tekislikga proyeksiyasi va х o‘qi orasidagi  burchak uchun 0   360 munosabat o‘rinli.  burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi.  ga esa azimut burchagi deyiladi.  va  burchaklar r = 0 bo‘lganda aniqlanmagan. Bundan tashqari sin = 0 ya’ni  = 0 yoki  =180 bo‘lganda  burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11 standartda qayd qilingan. Bundan tashqari,  zenit burchak o‘rniga Р radius vektor va ху tekislik orasidagi 90 − ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga kenglik deyiladi va у ham  harfi bilan belgilanadi. Kenglik − 90   90 oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda  va  burchaklar r = 0 bo‘lganda ma’noga ega emas; cos = 0 , ya’ni  = −90 yoki  = 90 bo‘lganda  ma’noga ega emas.
Geometriyada affin va to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi bilan bir qatorda qutb koordinatalar sistemasi ham qaraladi. Ko’plab tadqiqotlarda va egri chiziqning muhim sinflarini o’rganishda qutb koordinatalar sistemasi qo’l kelmoqda.
S hu sistema bilan tanishaylik. Yo’nalishli tekislikda 0 nuqta va bu nuqtadan chiquvchi OP nur va OP nurda yotuvchi birlik vektor olamiz (32- chizma).
Hosil bo’lgan geometrik obraz qutb koordinatalar sistemasi deyiladi va ko’rinishda belgilanadi.
O nuqtani qutb boshi, OP nur esa qutb o’qi deyiladi.
Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi va ixtiyoriy N nuqta berilgan bo’lsin, bu nuqtaning tekislikdagi vaziyatini ma’lum tartibda olingan ikkita son:

1.