Mavzu; Rodsional koeffitsienti tenglamalari Reja

Butun tenglamaning darajasi Algebraik tenglama darajasi asl butun tenglamaga 
tengmi? 

---

Agar siz yuqoridagi misoldagi tenglamalarga qarasangiz, quyidagini aniqlashingiz 
mumkin: bu butun tenglamaning darajasi ikkinchi. 
Agar bizning darsimiz ikkinchi darajali tenglamalarni echish bilan cheklangan bo'lsa, 
unda mavzuni ko'rib chiqish shu erda tugashi mumkin edi. Lekin bu unchalik oddiy 
emas. Uchinchi darajali tenglamalarni yechish qiyinchiliklarga to'la. Va to'rtinchi 
darajadan yuqori tenglamalar uchun, umuman, umumiy ildiz formulalari yo'q. Shu 
munosabat bilan, uchinchi, to'rtinchi va boshqa darajadagi butun tenglamalarni yechish 
bizdan bir qancha boshqa texnika va usullardan foydalanishni talab qiladi. 
Ratsional tenglamalarni echishda eng ko'p ishlatiladigan usul, bu faktorizatsiya usuliga 
asoslangan. Bu holda harakatlar algoritmi quyidagicha: 

biz ifodani o'ngdan chapga o'tkazamiz, shunda nol yozuvning o'ng tomonida 
qoladi; 

biz chapdagi ifodani omillar mahsuli sifatida ifodalaymiz va keyin bir nechta oddiy 
tenglamalar to'plamiga o'tamiz. 
Misol 4 
(X 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) tenglamaning echimini toping. 
Yechim 
Biz ifodani yozuvning o'ng tomonidan chapga qarama -qarshi belgi bilan o'tkazamiz: (x 2 
- 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0... Chap tomonni standart shakldagi 
polinomga aylantirish amaliy emas, chunki bu bizga to'rtinchi darajali algebraik 
tenglamani beradi: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0... Konvertatsiya qilish qulayligi 
bunday tenglamani echish bilan bog'liq barcha qiyinchiliklarni oqlamaydi. 
Boshqa yo'l bilan borish ancha oson: qavsdan umumiy omilni olib tashlang x 2 - 10 x + 
13. Shunday qilib, biz shakl tenglamasiga kelamiz (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0... 
Endi biz hosil bo'lgan tenglamani ikkita kvadrat tenglamalar to'plami bilan 
almashtiramiz x 2 - 10 x + 13 = 0 va x 2 - 2 x - 1 = 0 va ularning ildizlarini diskriminant 
orqali toping: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2. 

---

Javob: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2. 
Xuddi shunday, biz yangi o'zgaruvchini kiritish usulidan foydalanishimiz mumkin. Bu 
usul bizga butun tenglamadagi darajadan past darajadagi ekvivalent tenglamalarga 
o'tishga imkon beradi. 
Misol 5 
Tenglamaning ildizlari bormi? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)? 
Yechim 
Agar biz hozir butun ratsional tenglamani algebraik tenglamaga tushirishga harakat 
qilsak, 4 -darajali tenglamani olamiz, uning ratsional ildizlari yo'q. Shuning uchun, biz 
boshqa yo'l bilan borishimiz osonroq bo'ladi: tenglamadagi ifodani almashtiradigan yangi 
y o'zgaruvchisini kiritish. x 2 + 3 x. 
Endi biz butun tenglama bilan ishlaymiz (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4)... Qarama -qarshi 
belgi bilan tenglamaning o'ng tomonini chapga siljiting va kerakli o'zgarishlarni amalga 
oshiring. Biz olamiz: y 2 + 4 y + 3 = 0... Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping: y = - 
1 va y = - 3. 
Endi teskari almashtirishni qilaylik. Biz ikkita tenglamani olamiz x 2 + 3 x = - 1 va x 2 + 
3 x = - 3. Ularni x 2 + 3 x + 1 = 0 va qayta yozing x 2 + 3 x + 3 = 0... Olinganlardan 
birinchi tenglamaning ildizlarini topish uchun kvadrat tenglamaning ildizlari 
formulasidan foydalanamiz: - 3 ± 5 2. Ikkinchi tenglamaning diskriminanti manfiy. Bu 
shuni anglatadiki, ikkinchi tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. 
Javob:- 3 ± 5 2 
Yuqori darajadagi barcha tenglamalar ko'pincha muammolarga duch keladi. Siz ulardan 
qo'rqishingiz shart emas. Siz ularni hal qilishning nostandart usulini, shu jumladan bir 
qator sun'iy o'zgarishlarni qo'llashga tayyor bo'lishingiz kerak. 
Biz bu subtopikani ko'rib chiqishni p (x) q (x) = 0 shaklidagi kasrli ratsional 
tenglamalarni echish algoritmidan boshlaymiz. p (x) va q (x)- butun ratsional ifodalar. 

---

Qolgan kasrli ratsional tenglamalarning echimini har doim ko'rsatilgan shakldagi 
tenglamalar yechimiga kamaytirish mumkin. 
P (x) q (x) = 0 tenglamalarni yechishda eng ko'p ishlatiladigan usul quyidagi iboraga 
asoslanadi: sonli kasr u v, qaerda v Noldan farq qiladigan, nolga teng bo'lgan son, faqat 
kasrning bo'lagi nolga teng bo'lgan hollarda. Yuqoridagi bayonot mantig'iga asoslanib, p 
(x) q (x) = 0 tenglamaning echimini ikkita shart bajarilganda kamaytirish mumkinligini 
ta'kidlashimiz mumkin: p (x) = 0 va q (x) ≠ 0... Bu p (x) q (x) = 0 shaklidagi kasrli 
ratsional tenglamalarni echish algoritmini tuzishda ishlatiladi: 

butun ratsional tenglamaning yechimini toping p (x) = 0; 

eritma paytida topilgan ildizlar uchun shart bajarilganligini tekshiramiz q (x) ≠ 0. 
Agar bu shart bajarilsa, ildiz topiladi, agar bo'lmasa, ildiz muammoning echimi emas. 
Misol 6 
3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 tenglamaning ildizlarini toping.