Mavzu: “Shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Riman teoremasi

4. Riman teoremasi haqida.
Shartli yaqinlashuvchi qator hadlarining o`rnini almashtirish haqidagi yuqoridagi natijani B.Riman umumiy holda ham isbot qilgan .Chunonchi agar (10) qator shartli yaqinlashsa ,uning hadlari o`rnini o`zgartirish natijasida uni istalgan avvaldan berilgan songa yaqinlashuvchi qilish mumkin .
Bu teoremani isbot qilishdan oldin , biz shartli yaqinlashuvchi qatorda musbat hadlari ham, manfiy hadlari ham cheksiz ko`p ekanini ko`rsatamiz. Aslida biz bundanda kuchliroq natijani ,ya`ni bunday qatorlarda musbat hadlarining yig`indisi ham , manfiy hadlarining yig`indisi ham chegaralanmagan ekanini isbotlaymiz .
Shu maqsadda (10) qatorning n-nomerli qismiy yig`indisi tarkibiga kiruvchi musbat hadlari yig`indisini simvol orqali va o`sha qismiy yig`indi tarkibiga kiruvchi manfiy hadlarining absolyut qiymatlari yig`indisini simvol orqali belgilaymiz .
1 –tasdiq. Agar (10) qator yaqinlashsa , u holda
(22)
tenglik bajariladi.
Isbot. Ravshanki , va kattaliklar ta`rifga ko`ra , (10) qatorning n- nomerli qismiy yig`indisi
(23)
ga teng bo`lib ,hadlarni absolyut qiymatlaridan hosil bo`lgan qatorning n- qismiy yig`indisi esa
(24)
ga teng.
Endi qayd etamizki, (10) qatorning biror S soniga yaqinlashishi
(25)
tenglik bajarilishini anglatsa, ko`rsatilgan qatorning shartli yaqinlashishi esa qatorning absolyut yaqinlashmas ekanini, ya`ni
(26)
munosabat bajarilishini anglatadi .
Agar (25) va (26) tengliklarni (23) va (24) tengliklar bilan taqqoslasak,
,
tengliklarga ega bo`lamiz.
Ravshanki, bu munosabatlardan talab qilingan (22) tenglik kelib chiqadi .
3-teorema (B.Riman). Agar (10) qator shartli yaqinlashsa, istalgan haqiqiy A soni uchun bu qator hadlari o`rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil bo`lgan (9) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi A ga teng bo`ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, (10) qator shartli yaqinlashsin. U holda, qator yaqinlashishining zaruriylik shartiga ko`ra, bu qatorning musbat hadlari ham, manfiy hadlari ham nolga intiladi.Shuning uchun qatorning musbat hadlarini kamayuvchi tartibda joylashturishimiz mumkin. Bunda hosil bo`lgan ketma-ketlikni orqali belgilaymiz.Xuddi shunga o`xshash ,manfiy hadlar absolyut qiymatlarini kamayuvchi tartibda joylashtirib , hosil bo`lgan ketma –ketlikni
orqali belgilaymiz.
1-tasdiq va 9.3.3-teoremaning natijasidan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
, (27)
Endi A ixtiyoriy berilgan haqiqiy son bo`lsin . (10) qator hadlarini o`rnini quyidagi ravishda almashtiramiz .

1. Dastlab musbat hadlarni shunday qo`shib boramizki, toki ularning yig`indisi

   
   

berilgan A dan oshsin.Bunga erishishimiz bilan, hosil bo`lgan yig`indidan sonlarni shunday ayirib boramizki, toki

kattalik A dan kichik bo`lsin. Madomiki (10) shart bajarilar ekan ,bu har ikki qadamni ham amalga oshirish mumkin.

2. Ikkinchi qadamda yana musbat hadlarni shunday qo`shib boramizki,toki ularning umumiy yig`indisi

   
   

yana A dan oshib ketsin .So`ngra ,hosil bo`lgan yig`indidan

sonlarni shunday ayirib boramizki, toki

qiymat A dan kichik bo`lsin.

k) Bu jarayonni davom ettirib ,k-qadamda hosil qilingan yig`indiga musbat hadlarni shunday qo`shib boramizki, toki umumiy yig`indi berilgan A sondan oshib ketsin, so`ngra ,manfiy hadlarni shunday qo`shib (ya`ni larni ayirib) boramizki, tok umumiy yig`indi o`sha A sonidan kichik bo`lsin .
Albatta, bu jarayon hech qachon tugamaydi .Chunki har bir qadamda biz hech bo`lmasa bitta musbat va bitta manfiy hadni qo`shib borayapmiz va bunday hadlarning soni ,yuqorida ko`rsatganimizdek, cheksiz ko`pdir.Bu jarayon natijasida biz (10) qator hadlarining o`rni almashtirilgan yangi qatorga ega bo`lamiz.Mana shu yangi qatorning S(n) qismiy yig`indilari berilgan A soniga yaqinlashishini ko`rsatamiz .Ravshanki, hadlar o`rnini almashtirish jarayoniga asosan , k- qadamdan so`ng qismiy yig`indilar sonidan oshib ketmaydi va, xuddi shu kabi , dan kichik ham bo`lmaydi .Bundan chiqdi , bo`lganda quyidagi
(28)
qo`shaloq tengsizlik bajariladi.
Shartga ko`ra (10) qator shartli yaqinlashgani sababli ,bu qator hadlari nolga yaqinlashadi .Demak, (28) dan

munosabat kelib chiqadi, ya`ni hadlarining o`rni almashtirilgan qator avvaldan berilgan A soniga yaqinlashar ekan .