Mavzu: Sonli ketma ketlik va uning limiti e-soni. Natural logorifm. Giperbolik funksiyalar. Funksiya limiti. Sonli ketma-ketlik ta’rifi va umumiy tushunchalar

Asosiy xususiyatlari

Mashhur va muhim matematik Leonhard Eyler, barcha davrlarning eng samarali matematiklaridan biri, 1727 yilda logarifmlar nazariyasida e belgisidan foydalangan.. Sizning familiyangizning birinchi harfi bilan raqamimiz nomi o'rtasidagi mos kelishi shunchaki tasodif. Matematik hujjatlarda topilgan e sonining birinchi yozuvi yoki yaqinlashuvi 1614 yilda, Jon Nepierning Mirifici Logarithmorun Canonis asari nashr etilganda paydo bo'lgan. Biroq, raqamlarga birinchi yaqinlik Jeykob Bernulli tomonidan dastlabki sobit kattaliklarga uzoq muddatli qiziqish masalasini hal qilishda olingan bo'lib, bu uni asosiy algebraik chegarani tushunishga va o'rganishga olib keldi va uning qiymati 2,7182818 da aniqlandi.

Leonard Eyler birinchi bo'lib e harfiga to'g'ri keladigan joriy belgi bilan raqamlarni taniy boshladi, ammo u taxminan 10 yil o'tgach, o'zining "Matematik mexanika" asarida uni joriy etishga muvaffaq bo'ldi. Aslida, bu raqam birinchi marta Leonhard Eyler tomonidan kashf etilgan. lekin uni 1614 yilda kashf etgan odam Jon Nepier ismli shotlandiyalik edi. Uning kashfiyoti tufayli ko'paytirishni qo'shish, ayirish va ko'paytirishni ko'paytirish bilan almashtirilishi mumkin, bu matematik hisoblarni qo'lda bajarishni soddalashtiradi.
FUNKSIYANING LIMITI
Agar ixtiyoriy son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, va tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun tengsizlik bajarilsa, x argument ga intilganda, f(x) funksiya A songa teng limitga ega deyiladi va u
ko’rinishda yoziladi.
A son f(x) funksiyaning nuqtadagi limiti deb ham aytiladi.
|x-a|< tengsizlik qo’sh tengsizlikka teng kuchli. ixtiyoriy musbat son bo’lganda ( ; ) oraliq nuqtaning atrofi deyiladi.
Agar x argument ga intilganda, f(x) funksiyaning limiti A ga teng, ya’ni bo’lsa, u holda nuqtadagi f(x) funksiyaning A limit qiymati bilan xususiy qiymati orasida quyidagi hollar bo’lishi mumkin.
1. da f (x) funksiyaning limiti A ga teng bo’lib, bu paytda f(x) funksiyaning f(a) xususiy qiymati mavjud bo’lmasligi mumkin.
2. da f (x) funksiya A limitga ega va f (x) funksiyaning f(a) xususiy qiymati mavjud, lekin f(a) xususiy qiymat funksiyaning A limit qiymatiga teng emas.
3. da f (x) funksiyaning limiti A ga teng, f(x) funksiyaning xususiy qiymati mavjud va u funksiyaning A limit qiymatiga teng.
Agar ixtiyoriy son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun

tengsizlik bajarilsa, x argument a ga o’ng tomondan intilganda f (x) funksiya A songa teng o’ng limitga ega deyiladi va

yoki
ko’rinishda yoziladi.
Agar ixtiyoriy son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun

tengsizlik bajarilsa, x argument ga chap tomondan intilganda, f(x) funksiya A songa teng chap limitga ega deyiladi va

yoki
kabi yoziladi.
Chap va o’ng limitlar bir tomonlama limitlar deyiladi.
Agar bo’lganda f (x) funksiyaning chap va o’ng limitlari mavjud bo’lib,ular bir-biriga teng bo’lsa, u holda f (x) funksiyaning nuqtadagi limiti ham majud va bu limit ham o’sha limitga teng bo’ladi.
Agar ixtiyoriy katta son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, va tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun
( )
tengsizlik bajarilsa, u holda x argument ga intilganda, funksiya limitga ega deyiladi va
( )
kabi yoziladi.
Agar ixtiyoriy E>0 son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, va tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning barcha qiymatlari uchun tengsizlik bajarilsa, u holda argument ga intilganda, funksiya limitga ega deyiladi va

kabi yoziladi.

Agar ixtiyoriy son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, │x│> k tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda x argument ∞ ga intilganda, f(x) funksiya A songa teng limitga ega deyiladi va

kabi yoziladi. A funksiyaning cheksizlikdagi limiti deyiladi.
Agar ixtiyoriy son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, ( ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun tengsizlik bajarilsa, u holda argument ( ) ga intilganda, f(x) funksiya A songa teng limitga ega deyiladi va
( )
kabi yoziladi.
Agar (x)= 0 bo’lsa, (x) funksiya cheksiz kichik funksiya deyiladi ( – ixtiyoriy son).
Agar bo’lsa, funksiya cheksiz katta funksiya deyiladi.
Agar ixtiyoriy katta son uchun shunday sonni topish mumkin bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlari uchun tengsizlik bajarilsa, u holda f(x) funksiya cheksiz katta funksiya deyiladi va ∞ kabi yoziladi.
Agar argument ga intilganda funksiyaning limiti mavjud bo’lsa, bu limit yagona bo’ladi.
Agar argument ga intilganda f(x) va (x) funksiyalarning limitlari mavjud bo’lsa, u holda quyidagi limitlar ham mavjud bo’ladi.
1.
2.
3. = ( (x)
4. k = k f(x) (k - o’zgarmas son).
=1 limit muhim limit deb ataladi va u muhim tatbiqlarga ega.