Mavzu: Tekislikdagi koordinatalar sistemasi

Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi

Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi ikkita o’zaro perpendikulyar o’qlar va chizikli birlik masshtab berilishi bilan aniqlanadi. O’qlarning kesishish nuqtasi – 0 koordinatalar boshi, birinchi o’q – yoki abssissalar o’qi, ikkinchisini esa – yoki ordinatalar o’qi deb ataladi. Tekislikda ixtiyoriy nuqta olamiz. nuqtaning va o’qlarga proyeksiyalarini mos ravishda va deb belgilaymiz.

va yo’nalgan kesmalarning kattaliklari va sonlar, nuqtaning to’g’ri burchakli dekart koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi (1-chizma)


y y



0 M_x x 0 x


1-chizma 2-chizma


x-M nuqtaning absissasi, y-M nuqtaning ordinatasi deyiladi.
Koordinata o’qlari tekislikni 4 ta kvadrantga bo’ladi (2-chizma). Chizmada har bir kvadrantga mos nuqta koordinatalarining ishoralari ham ko’rsatilgan.
Tekislikda koordinatalarni almashtirish.


Bitta tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini turlicha tanlash mumkin.
a)Koordinata boshini kuchirish. Oxy koordinata sistemasini olamiz va unda nuqtani belgilaymiz. Bu nuqtadan va nuqtalarga mos ravishda parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Ulardagi yo’nalishlarni mos ravishda va o’qlar yo’nalishiga mos qilib olamiz. U holda birlik masshtabni Oxy sistemadagi kabi olsak, ikkinchi koordinatalar sistemasi ga ega bo’lamiz. sistema Oxy sistemadan koordinata boshini kuchirish natijasida hosil qilingan deyiladi. Koordinata tekisligida biror nuqta olamiz. Uning berilgan koordinatalar sistemasidagi koordinatalari x va y bo’lsin. Yangi koordinatalar sistemasida ular x` va y` bo’ladi (3-chizma).
y y¹


M_y M (x,y)
O`<sub>y</sub> O`(a,b) x`
O`_x


0 M_x x
3-chizma


x` va y` larni x va y lar orqali ifodalaymiz, yani nuqtaning yangi sistemasidagi koordinatalarini topamiz. Buning uchun nuqtalardan koordinata o’qlariga perpendikulyar tushiramiz, yani bu nuqtalarni o’qlarga proyeksiyalaymiz. Abssissa o’qida nuqtalarga ega bo’lamiz. Ularning koordinatalari a va x ga teng. Chizmadan ko’rinib turibdiki, x=a+x` ni hisobga olsak x=x-a ga ega bo’lamiz. Xuddi shuningdek y=b+y` ni topamiz. Demak, x` va y` larni x va y lar orqali ifodalovchi formulalar

dan iborat ekan. Bu tekislikda koordinatalarni almashtirish formulalaridir. a va b yangi koordinata sistemasi boshining koordinatalari bo’ladi.
b) O’qlar yo’nalishini o’zgartirish. Oxy koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Koordinata boshini o’zgartirmasdan o’qlar yo’nalishini teskarisiga o’zgartiramiz. Bu holda yangi Ox`y` sistema hosil bo’ladi (4-chizma).


y M


0
X
4-chizma
Bu holda har ikkala x va y koordinatalar o’z ishoralarini o’zgartiradi.

c) Masshtabni o’zgartirish. Endi, koordinata o’qlarining yo’nalishini (holatini) va koordinata boshini o’zgartirmasdan birlik kesma uzunligini k marta o’zgartirishni qaraymiz. Bunday o’zgartirishda nuqtaning yangi va eski koordinatalari ko’yidagicha bog’lanishda bo’ladi



1-misol. Koordinata boshi (4;-3) nuqtaga ko’chirilgan. (5;2) nuqtaning yangi sistemadagi koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish. larga ko’ra

Demak, nuqtaning yangi koordinatalari 1 va 5 bo’ladi.
2-misol. Agar koordinata boshi va o’qlarning yo’nalishi o’zgartirilmasdan birlik kesma (masshtab) 3 marta orttirilgan (yoki kamaytirilgan) bo’lsa, (9; -3) nuqtaning yangi koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish. a) K=3 bo’lgani uchun =3, =-1.
Demak, nuqtaning yangi koordinatalari 3 va –1 bo’ladi. b) bo’lgan holda esa =9: =27, =-3: =-9. Demak, bu holda nuqtaning yangi koordinatalari 27 va –9 bo’ladi.

Ikki nuqta orasidagi masofa

Faraz qilaylik to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida A(x₁,y₁) va B(x₂,x₂) nuqtalar berilgan bo’lib, bunda , bo’lsin (5-chizma).
y




0 x
5-chizma


A va B nuqtalar orasidagi masofani topish talab etiladi. Ko’rinib turibdiki, A va B nuqtalar orasidagi masofa, yo’nalgan kesma uzunligiga teng. Bu esa o’z navbatida to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga teng. Shu gipotenuza uzunligini topsak, masala yechilgan bo’ladi. Uchburchakning o’qiga parallel tomonining uzunligi, kesmaning o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani ga teng. Xuddi shuningdek, uning o’qiga parallel tomonining uzunligi kesmaning Oy o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani ga teng.
To’g’ri burchakli uchburchakka Pifagor teoremasini tadbiq etib quyidagini topamiz:

Demak, nuqtalar orasidagi masofa
(1)
formula yordamida topiladi.
Garchi, nuqtalar orasidagi masofani beruvchi (1) formula , dan iborat farazda chiqarilgan bo’lsada, u boshqa hollarda ham o’z kuchini saqlaydi. Haqiqatdan ham, , bo’lsa, = ga teng. Agar , bo’lsa = ga teng , bo’lsa A va B nuqtalar ustma-ust tushadi va =0 bo’ladi (6-chizma).
y y
A B





0 x 0 x
6-chizma


1-misol. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan (-1; 2), (5; 6), va (1;3). Uning tomonlari uzunliklarini toping (7-chizma).
y (5;6)



1) AC tomonning uzunligini topamiz:

Xuddi shuningdek
2)




(1;3)
(-1;2) x 7-chizma
2-misol. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan A(6,5), B(-3,-4) va C(0,-2). Uning tomonlari uzunliklarini toping.
Yechish. 1) AC tomonning uzunligini topamiz: Xuddi shuningdek: 2)

Kesmani berilgan nisbatda bo’lish

To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida A(x₁,y₁) va B(x₂,y₂) ikki nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazib, unda musbat yo’nalishni aniqlasak, bu to’g’ri chiziq o’qqa aylanadi. Bu o’q koordinata o’qlariga parallel emas deb olaylik. Olingan o’qda A va B nuqtalar yo’nalgan kesmani aniqlaydi. Faraz qilaylik, nuqtadan farqli bo’lgan (aytilgan o’qdagi) nuqta bo’lsin. kesmani nisbatda bo’luvchi M nuqtaning koordinatasini topish talab etiladi.

Eslatma. Agar nuqta A va B nuqtalar orasida yotsa va kesmalarning yo’nalishi bir xil bo’lib, musbat son, nuqta kesmaning tashqarisida yotsa, va kesmalarning yo’nalishlari qarama-qarshi bo’lib manfiy sondir, va aksincha.

Quyilgan masalani hal etish uchun A, M va B nuqtalarni koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: Ular lardan iborat bo’ladi.

y

B
B_y


M_y M


A_y A


0 A_x M_x B_x x


8-chizma