Mavzu: To’g’ri chiziqning kanonik,parametric tenglamalari. Reja. To’g’ri chiziqning berilish usullari. 1 To‘g‘ri chiziq o'zining biror M

Mavzu:To’g’ri chiziqning kanonik,parametric tenglamalari.
Reja.
1.To’g’ri chiziqning berilish usullari.
1 ) To‘g‘ri chiziq o'zining biror M₀ (x₀ ,y₀ , z₀ ,) nuqtasi va shu to'g'ri chiziqni yo'naltiruvchi vektori ℓ = { ℓ₁; ℓ₂; ℓ₃} ning berilishi bilan aniqlanadi (55-chizma). To'g'ri chiziqning ixtiyoriy М (х , y , z ) nuqtasini olaylik; M₀M va ℓ vektorlari kollinear bo'lgani uchun:
M₀M = t * ℓ , tϵR ( 1)
OM₀ = r₀ , OM = r desak hamda z
M₀M = OM – OM₀ nihisobga olsak,
( 1 ) ni quyidagicha yozish mumkin;
r = r₀ + t ℓ . (2 ) M₀ e
( 2 ) tenglama to ‘g ‘ri chiziqning
vektorli tenglamasi deb ataladi.
M₀M = {x-x₀ ,y-y₀ ,z- z₀) ya ( 1 ) dan; k M


x = x₀ + ℓ₁t,
y =y₀ + ℓ₂t (3) i j y
z = z₀ + ℓ₃t

ko'rinishdagi tenglamalar sistemasi to’g’ri x

chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi.
2) (3) tenglamadan parametr t ni chiqarib.
x-x₀ y-y₀ z- z₀
= = (4)
ℓ₁ ℓ₂ ℓ₃
ega bo'lamiz. Bunga to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari deyiladi.
3) Ikkita M₁ (x₁ ,y₁, z₁) va M₂ (x₂ ,y₂ , z₂ ) nuqtalar orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq
x-x₁ y-y₁ z- z₁
= = (5)
x₂-x₁ y₂-y₁ z₂- z₁

tenglamalar bilan ifodalanadi (bu tenglama birinchi punktdagi M₀ nuqta o'rniga M va ℓ = M₁M₂ deb olinsa, (1) munosabatdan kelib chiqadi) yoki

X = X₁ + (X₂ – X₁)t
У = У₁ + (У₂- У₁)t (6)
Z = Z₁ + {Z₂-Z₁)t.
(6 ) tenglamalar sistemasi to‘g ‘ri chiziqning parametrik ko'rinishdagi tenglamasidir.
4) to‘g ‘ ri chiziq ikkita П₁ va П₂ z
tekisliklarning kesishish chizig’i sifatida
ham berilishi mumkin, ya’ni П₁
d= П₁ ∩ П₂
П₁ : A₁ x + B₁ y + С₁ z+D₁ = 0
П₂ : A₂ x + B₂ y + С₂ z+D₂ = 0 (7) П₂
Bu tenglamalarsistemasi П₂≠ П₁ => A₁: B₁: C₁≠ A₂:B₂: C₂
shartbajarilganda to‘g‘ ri chiziqni aniqlaydi
1-mi sol . (1; 4; 3) nuqtadan o‘tgan va yo'naltiruvchi vektori
ℓ= {2; 3; 1} bo‘lgan to‘g‘rl chiziq tenglamasini yozing. k
Ye c hi s h. (4) tenglamadan foydalanamiz. y
Masala shartiga ko‘ra: i j
x₀ =1; y₀ =4 ; z₀=3
ℓ₁ = 2 ; ℓ₂= 3 ; ℓ₃ = 1
U holda
56-chizma.
x – l y-4 z – 3
= =
2 3 1
2-m I sol . A(-3; l ; 2) va B(8; - 2 ; 5) nuqtalardan o'tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini tuzing.
Ye c h i s h . Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchl to‘g ‘rl chiziq tenglamasi
x-x₁ y-y₁ z- z₁
= = (5)
x₂-x₁ y₂-y₁ z₂- z₁

formula yordamida aniqlanadi. Bu formulaga berilgan nuqtalarning koordinatalarini qo'ysak,

x+3 y-1 z-2 x+3 y-1 z-2
= = yoki = =
8+3 -2-1 5-2 11 -3 3


to‘g‘rl chiziq tenglamasiga ega bo'lamiz.


TO‘G‘RI CHIZIQ VA TEKISLIK ORASIDAGI BURCHAK
A y t a y l i k {0; I; j; k} Dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan ℓ to‘g ‘ri chiziq o'zining
x = x₀ + ℓ₁t,
y =y₀ + ℓ₂t (1)
z = z₀ + ℓ₃t

parametrik tenglamasi, П tekislik esa

Ax + B y+ C z+D = 0 (2 )
tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. To‘g‘ ri chiziq bilan tekislikning o'zarojoylashuvini tekshirish uchun tubandagi tenglamani tekshiramiz:
(A ℓ₁ + B ℓ₂+ C ℓ₃ )t + (Ax₀ + B y₀+ C z₀) = 0.
Bunda quyidagi hollar bo‘ladi:
1 ) agar A ℓ₁ + B ℓ₂+ C ℓ₃ ≠0 bo'lsa ℓ to’g’ri chiziq tekislik bilan kesishadi;
2 ) agar
A ℓ₁ + B ℓ₂+ C ℓ₃ =0
Ax₀ + B y₀+ C z₀ ≠ 0 (3)
bajarilsa, ℓ ∩ П = 0 bo‘ladi.
3) agar
A ℓ₁ + B ℓ₂+ C ℓ₃ =0
Ax₀ + B y₀+ C z₀ =0

bo‘lsa, ℓ⸦ П bo’ladi.

To‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi
burchak deb to‘g ‘ri chiziq bilan uning
tekislikdagi ortogonal proyeksiyasi orasidagi
burchakka aytiladi. ( 1 ) to‘g ‘ri
chiziq bi lan ( 2 ) tekislik orasidagi
burchak (57-chizma)
| A ℓ₁ + B ℓ₂+ C ℓ₃ |
d = (4)
√A² + B²+C² *√ℓ₁² + ℓ₂²+ℓ₃²

formula yordamida topiladi. Ushbu

A ℓ₁ + B ℓ₂+ C ℓ₃ = 0 (5)
tenglik berilgan tekislikning berilgan to‘g‘ ri chiziqqa parallellik,
A / ℓ₁ = B /ℓ₂= C / ℓ₃
tenglik esa perpendikulyarlik shartlaridir. Endi tekislik va to‘g‘ri chiziqqa doir mashqlar bajarishda zarur bo‘lgan tenglamalami keltirib o’tamiz.
1) berilgan M₁ (x₁ ,y₁, z₁) nuqtadan o‘tib, berilgan x-x₀ y-y₀ z- z₀
= = (4)
ℓ₁ ℓ₂ ℓ₃
to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan to’g’ri chiziq
x-x₁ y-y₁ z- z₁
= = (7)
ℓ₁ ℓ₂ ℓ₃
tengtomalar bilan aniqlanadi.
2) berilgan M₁ (x₁ ,y₁, z₁) nuqtadan o’tib, berilgan Ax+ By + Cz +D = 0 tekislikka perpendikular bo’lgan to‘g’ri chiziqning tenglamasi
x-x₀ y-y₀ z- z₀
= = (8)
A B C
ko'rinishda aniqlanadi.
3) berilgan M₁ (x₁ ,y₁, z₁) nuqtadan o'tib, berilgan Ax+ By + Cz +D = 0 tekislikka parallel bo’lgan tekislikning tenglamasi:
A ( x –x₁) + B ( y – y₁ )+ C ( z – z₁ )= 0 (9)
ko'rinishda bo’ladi.


4) berilgan M₁ (x₁ ,y₁, z₁) nuqta orqali o'tuvchi va
x-x^/ y-y^/ z- z^/
= = (4)
ℓ₁ ℓ₂ ℓ₃

to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan tekislik tenglamasi quydagi ko'rinishda bo'ladi:

ℓ₁ ( x – x₁ ) + ℓ₂ (у – у₁ ) + ℓ₃(z – z₁) ( 10)
1-mi sol . Berilgan x-1 y-1 z-1
= = to‘g‘ri chiziq va 2x + у -2z - 6 = 0
1 2 -2
tekislik orasidagi burchak va ularning kesishish nuqtasini
toping.
Ye c h i s h . T o ‘g ‘ ri chiziq va tekis lik orasidagi burchak
sin 0= ^ ‘ r - formula yordamida aniqlanadi. Berilishiga
ko‘ra: /4 = 2, 5= 1, C= - 2 ; /,= 1, 1^=2, /3= - 2 .
Demak,
2 1+1 -2+(-2) ( - 2) 2+2+4
^ 2 4 i4 ( - 2 ) ^ V i '+ 2 4 ( - 2 ) 2 /TTIT4.VTTTT4 3-3 9 ’
в = arcsin
Endi ularning kesishish nuqtasini topamiz, uning uchun to‘g ‘ri
chiziq tenglamasini parametrik ko'rinishga keltiramiz:
x - l _ y-l _ z - l
1 ” 2 ~ -2 “
^-1 _ f y-^ - /. _ f
1 2 - 2
X = f + 1,
y = 2t + l,
z = -2t + l.
(a)
Buni tekislik tenglamasiga qo'yamiz:
2 (/ + 1 ) + (2 / + 1 ) - 2 ( - 2 t + 1 ) - 6 = 0 ,
- 2 - 6 = 0 ,
8 r + 3 - 8 = 0,
8 r - 5 = 0,
98
Buni (a ) ga qo‘ysak:
•^ 8 8 4 ’
10 , 2 1
^ = - T + ' " - 8 = - 4 '
Demak, | y ; ^ nuqta to‘g‘ri chiziq va tekislikning kesishish
nuqtasi.
2 -mi sol . Л/(-1; 3; 0) nuqtadan o'tuvchi va 2 x - y - 2 z ~ 4 = 0
tekislikka peфendikular bo'Igan to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.
Ye c h i s h . y^■, z,) nuqtadan o'tib. Ax + By + Q:+Z)=0
tekis likka pe rp en d ik u la r bo'Igan to 'g 'r i ch iz iq ten g lama s i
formula yordamida aniqlanadi. Bundan
x+l _ у-Ъ _ г - 0 x+l _у-Ъ _ z

x