Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

TO'PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR

Tayanch iboralar:To'plam, to'plam osti, bo'sh to'plam, chekli va cheksiz to'plamlar, birlashma, kesishma, ayirma, to'ldiruvchi to'plam osti, universal to'plam , sonli to'plamlar, to'plamni o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajratish.

"To'plam" tushunchasi-matematika kursining asosiy tushunchalaridan biridir. (Matematikada asosiy tushunchalar deganda ta'riflanmaydigan tushunchalar tushuniladi. Masalan, maktab kursidan ma'lumki, geometriyaning asosiy tushunchalari quyidagilar hisoblanadi: nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofa).To'plam tushunchasini faqatgina misol orqali tushuntirish mumkin. Misol, birinchi kurs talabalari to'plami, Buxoroda yashovchilar to'plami, jismning molekulalar to'plami, fermer xo’jaligidagi qo'ylar to'plami, tekislikdagi nuqtalar to'plami va hokazo. Odamlar bularga bolaligidan o'rganib qolgani uchun ularni osongina qabul qiladi. 1- sinf matematika kitobida bola turli xil tasvirdagi to'plamni ko'radi: turli xil hayvonlar to'plami, koptoklar, kitoblar va boshqa ob'ektlar to'plami. U bularni sanaydi va taqqoslaydi: Bir to'plamda ob'ektlar soni ko'p, ikkinchisida kam va bolada to'plam tushunchasi xaqida aniq tasavvur hosil bo'ladi ( to'plam termini ishlatilmasa ham).

Matematikada ob'ektlar to'plami (sonlar, nuqtalar, funktsiyalar va hokazo) haqida gapirilganda bu ob'ektlarning bir butunligi tushuniladi. To'plam nazariyasining asoschisi nemis matematigi Geogr Kantor (1845­1918) bu fikrni quyidagicha izohlaydi: "to'plam" deganda biz bir-biridan farq qiluvchi qandaydir aniq predmetlar, ya'ni ob'ektlarning ongimizda bir butun shaklda mujassamlashuvini tushunamiz.

Hayotda uchraydigan ba'zi so'zlar to'plam ma'nosida ishlatiladi. Masalan, "yig'ilish" , "poda", "sbor", "kollektsiya" va hokazolar shular jumlasidandir. To'plamni tuzuvchi turli tabiat ob'ektlari (odamlar, uylar, kitoblar, geometrik figuralar, sonlar va hokazorlar)ga uning elementlari deyiladi. Masalan, 3 soni natural son to'plamining elementi hisoblanadi, May oyi yildagi oylar to'plamining elementidir. To'plam bilan uning elementi o'rtasidagi munosabatni "tegishli" hamda "tegishli emas" so'zlari orqali ifodalash mumkin. Misol, 3 soni natural sonlar to'plamiga tegishli , -2 soni natural sonlar to'plamiga tegishli emas.

To'plamlar katta lotin alifbosi harflari A,B,C,D...bilan, to'plam elementlari esa kichik lotin harflari a,b,c... bilan belgilanadi. "Tegishli"

so'zi ^£ belgi bilan, "tegishli emas" so'zi esa ^£ belgi bilan almashtiriladi. Agar "a ob'ekt biror A to'plamning elementi" bo'lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: a^£A. Bu yozuv quyidagicha o'qiladi: "a element A to'plamga tegishli".

Agar "a element Ato'plamga tegishli emas" bo'lsa, quyidagicha yoziladi.

a^£ A .

Misol, agar A- juft natural sonlar to'plami bo'lsa, quyidagi misollar to'g'ri bo'ladi:

16£A; 328£A; 17 ^£ A ; 11 ^£ A.

Elementlari soniga qarab to'plamlar chekli va cheksiz to'plamlarga bo'linadi. Elementlar soni chekli bo'lsa,- chekli to'plam, elementlari soni cheksiz bo'lsa, cheksiz to'plam deb aytiladi.

1. 
   kursda o'rganiladigan predmetlar to'plami, auditoriyadagi talabalar to'plami, soch tolalari to'plami- chekli to'plam; doira ustidagi nuqtalar to'plami, natural sonlar to'plami - cheksiz to'plamga misol bo'ladi.
   

To'plam bitta elementdan iborat bo'lishi ham mumkin. Masalan "nur" so'zidagi unli harflar to'plami. Bu to'plam 1 ta elementdan, ya'ni "u" harfidan iborat.

Agar , to'plamning birorta ham elementi bo'lmasa, bunday to'plam bo'sh to'plam deyiladi. Bo'sh to'plam 0 deb belgilanadi.Masalan, oydagi odamlar to'plami, uchburchakdagi diagonallar to'plami, x +1=0 tenglama haqiqiy ildizlari to'plami bo’sh to’plamdir.

To'plamning elementlari to'plamlar ham bo'lishi mumkin. Masalan, maktabdagi sinflar to'plami. Bu to'plam elementlari bo'lgan sinflar o'z navbatida o'quvchilar to'plamidir. Lekin o'quvchilar maktabdagi sinflar to'plamining elementlari bo'lmaydi.

II.To'plamlarning berilish usullari To'plam asosan ikki usulda beriladi:

1. 
   Elementlarni bevosita keltirish yoki sanash yordamida beriladi. Agar a, b,c - A to'plamning turli ob'ektlar belgilari bo'lsa, A to'plam quyidagicha yoziladi: A={a,b,c} va quyidagicha o'qiladi "A to'plam a,b,c elementlardan iborat".
   

Bu usul chekli to'plamlarda qo'llaniladi, lekin bu shart bilan birga elementlar soni to'plamda ko'p bo'lmasligi kerak.

2. 
   Elementlarning xarakteristik xossasiga qarab beriladi.
   

Masalan, A natural sonlar to'plami 6 dan kichik. Bu to'plam ikkinchi usulda berilgan : hamma A to'plam elementlarining xarakteristik xossasi ko'rsatilgan, ya'ni natural son bo'lish va 6 sonidan kichik bo'lishi asosida.

A to'plam elementlarini 1-usulda quyidagicha yozish mumkin:

A={ 1,2,3,4,5 }

To'plam elementining ayrim xarakteristik xossasi ko'rsatilgan bo'lsa ,uni quyidagicha ifodalaymiz: qavsda element belgisi yoziladi, keyin vertikal chiziq o'tkaziladi, so'ng to'plam elementlarining xossasi yoziladi. Masalan: 6 dan kichik bo'lgan A natural sonlar to'plami quyidagicha yoziladi: A={x / x ^£ N, x<6} bu erda N- natural sonlar

to'plami. To'plam cheksiz bo'lganda ikkinchi usuldan foydalaniladi, Masalan : markazi 0 nuqtada r radiusli aylanada yotuvchi M nuqtalarning A to'plami quyidagicha yozish mumkin:

A={M / | OM| =r}

TENG TO'PLAMLAR.

Ta'rif : Agar ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, bunday to'plamlarga teng to'plamlar deyiladi. Masalan: A={3,5,7,9} va B={7,3,9,5} to'plamlar bir xil elementlardan iborat, shuning uchun ular teng to'plamlardir .

Teng to'plamlar tushunchasi bilan quyidagi hol bog'langan: bitta to'plamning o'zi turli xarakterli xossalari orqali berilishi mumkin. Masalan : A={1,2,3,4,5} to'plamni x<6 tengsizlikning echimi bo'ladigan natural sonlar to'plami ko'rinishida , 1 va 5 sonlari orasida yotuvchi barcha butun sonlar ko'rinishida ham berilishi mumkin.

Misollar: 1) A={1,2,3,4}

B={ VT,V4,V9,VT6 }

A va B to'plamlar teng, ya'ni A=B

2) C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

D - bir xonali sonlar to'plami, C=D

To'plamlarning tengligi quyidagi uch xossani qanoatlantiradi :

1. 
   Har qanday A uchun , A=A o'rinlidir ( refleksivlik)
   
2. 
   Ixtiyoriy ikkita A va B to'plamlar uchun , agar A=B bo'lsa , u holda B=A (simmetriklik )
   
3. 
   Ixtiyoriy uchta A,B,C to'plamlar uchun , agar A=B va B=C bo'lsa , u holda A=C bo'ladi (tranzitivlik ).
   

SONLI TO'PLAMLAR

Turli xil tabiat predmetlari (harflar, nuqtalar, tenglama va hokazo) to'plam elementlari bo'lishi mumkin. Matematikada elementlari matematik ob'ektlardan (sonlar va hokazo) iborat to'plamlar asosiy rol o'ynaydi.

Elementlari faqat sonlardan iborat bo'lgan to'plamga sonli to'plam deyiladi.

Sonli to'plamlar quyidagicha belgilanadi:

1. 
   Natural sonlar to'plami - N
   
2. 
   Manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plami- Zo
   
3. 
   Butun sonlar to'plami- Z
   
4. 
   Ratsional sonlar to'plami- Q
   
5. 
   Haqiqiy sonlar to'plami- R
   
6. 
   {x/x^e R va a

^{6 6} y//////////\ ^

a b

7. 
   {x/x^e R va a

""X

8. 
   {x/x^e R va a

a _b

TO'PLAM OSTI TUSHUNCHASI

24 soni bo'luvchilari to'plami A={1,2,3,4,6,8,12,24} va 8 soni

bo'luvchilari to'plami B={1,2,4,8} bo'lsin.

Bu to'plamlarni solishtirganda B to'plam elementlari A to'plam elementlarining bir qismi ekanligini ko'ramiz. B to'plam A to'plamning qism to'plami bo'ladi.

Agar B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementidan iborat bo'lsa, B to'plamga A to'plamning to'plam ostisi deyiladi. U quyidagicha belgilanadi: B ^ A yoki A ^ B

Misollar:

1. 
   B - fakultet talabalari to'plami A - institut talabalari to'plami
   

B ^ A ekanligini ko'rish mumkin.

2. 
   M-uchburchaklar to'plami
   

N- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami bo'lsin. Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak , uchburchak bo'ladi , shuning uchun N ^ M

3. 
   N-Natural sonlar to'plami
   

Z-butun sonlar to'plami , ko'rinib turibdiki N ^ Z

To'plam osti ta'rifiga asosan , har bir to'plam o’zining to'plam ostisi bo'la oladi: A. Bundan tashqari, bo'sh to'plam ixtiyoriy A to'plamning

to'plam ostisidir: 0 <= A

Har qanday A to'plam uchun to'plam ostisining ikkita turini ko'rsatish mumkin:

1. 
   A va 0 xosmas to'plam ostisi deyiladi
   
2. 
   A ning qolgan to'plam ostilari xos to'plam ostilari deb aytiladi.
   

Masalan: A={m,n,p} to'plam oltita xos to'plam ostiga ega {m},{n},{p}, {m,n},{m,p}, {n,p}. Ikkita xosmas to'plam ostiga ega: {m,n,p}, 0.

To'plam osti tushunchasini biz ko'p ishlatamiz. O'zbek tilida gapdagi so'zlar to'plamining turli xil to'plam ostilarini ko'rib chiqamiz: ot, sifat, son, fe'l va hokazolar. Geografiya va tarixda mamlakatlar, shaharlar va hokazo to'plamlarning to'plam ostilarini o'rganamiz.

To'plam osti tushunchasi matematikada keng qo'llanadi. O'n ichidagi sonlar to'plami natural sonlar to'plamining to'plam ostisidir, o'z navbatida buni butun sonlar to'plamining to'plam ostisi sifatida ham qarash mumkin. Romb, kvadrat, to'g'ri to'rtburchaklar parallelogrammning turli xil to'plam ostilaridir.

To'plam osti quyidagi asosiy xossalarga ega:

1. 
   xossa: Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi.
   

Bu xossadan ko'pincha to'plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi, ya'ni agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning elementi bo'lsa, va aksincha, B to'plamning har bir elementi A to'plamning elementi bo'lsa, u holda ular teng bo'ladi.

2. 
   xossa: Agar A ^ B va B ^ C bo'lsa, u holda A ^ C bo'ladi (tranzitivlik)
   

Haqiqatdan ham , agar A to'plamning har bir elementi B to'plamining elementidan iborat bo'lsa, va B to'plamning har bir elementi C to'plamning elementidan iborat bo'lsa, u holda, A to'plamning har bir elementi C to'plamning ham elementi bo'ladi.

EYLER-VENN DIAGRAMMALARI

To'plam , to'plam osti tushunchalari, matematik tushunchalar va geometrik figuralarni aniqlashda qo'llaniladi. Geometrik figuralar deb istalgan nuqtalar to'plamiga aytiladi. Shunday qilib, kesma, nur, tug'ri chiziq, uchburchak, aylana, kub va hokazolar geometrik figuralardir. Agar F₁ figura , F₂ figuraning to'plam ostisi bo'lsa, u holda F1 figura F₂ ning qismi bo’ladi.

To'plam va ular orasidagi munosabatni chizmada ko'rsatish uchun geometrik figuralar yordamida chiziladi. Masalan, A to'plam B to'plamning to'plam ostisi ekanligini ko'rsatmoqchi bo'lsak, quyidagicha chizamiz:

Bunday shakllar orqali tasvirlashga EYLER-VENN diagrammalari deyiladi . L.Eyler (1707-1783 yy) shvetsariyalik matematik, Peterburg fanlar Akademiyasi a'zosi. Djon Venn (1834-1923 yy) ingliz matematigi. To'plamlar orasidagi munosabatlar, ular ustida amallarni ko'rsatganda ushbu diagrammalardan foydalaniladi.

Ikkita turlicha to’plamlar o’zaro quyidagicha munosabatlarda bo’lishi mumkin.

asosiy tushunchalaridan biridir. (Matematikada asosiy tushunchalar deganda ta'riflanmaydigan tushunchalar tushuniladi. Masalan, maktab kursidan ma'lumki, geometriyaning asosiy tushunchalari quyidagilar hisoblanadi: nuqta, to'g'ri chiziq, tekislik va masofa).To'plam tushunchasini faqatgina misol orqali tushuntirish mumkin. Misol, birinchi kurs talabalari to'plami, Buxoroda yashovchilar to'plami, jismning molekulalar to'plami, fermer xo’jaligidagi qo'ylar to'plami, tekislikdagi nuqtalar to'plami va hokazo. Odamlar bularga bolaligidan o'rganib qolgani uchun ularni osongina qabul qiladi. 1- sinf matematika kitobida bola turli xil tasvirdagi to'plamni ko'radi: turli xil hayvonlar to'plami, koptoklar, kitoblar va boshqa ob'ektlar to'plami. U bularni sanaydi va taqqoslaydi: Bir to'plamda ob'ektlar soni ko'p, ikkinchisida kam va bolada to'plam

1. 
   
   
   
   2) To’plamlar umumiy elementga ega bo’lmasligi mumkin. Bu hol diagrammada quyidagicha tasvirlanadi.
   
   To’plamlar umumiy elementlarga ega bo’lishi mumkin. Bu hol EYLER-VENN diagrammasida quyidagicha tasvirlanadi