Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

3) Bir to’plam ikkinchisining to’plam ostisi bo’lishi mumkin.




4. 
   Ikki to’plam ustma-ust tushishi mumkin.
   



UNIVERSIAL TO'PLAM

Ba'zan aynan bir olingan to'plamning to'plam ostilarini qarashga to'g'ri keladi. Bunday to'plamga universial to'plam deb aytiladi. Bu to'plam J harfi bilan belgilanadi, Eyler-Venn diagrammalarida universial to'plam to'g'ri to'rtburchak bilan, to'plam ostilari esa doira bilan tasvirlanadi.

Misol: A-oliygohdagi birinchi kurs talabalari to'plami.

B- shu oliygohdagi a'lochi talabalar to'plami C- oliygohdagi sportchi talabalar to'plami.

Oliygohdagi barcha talabalar to'plamini universal to'plam deb olamiz, unda A^J, B^ J, C^J. Bu misolda J - to’plam diagrammada to’g’ri to’rtburchak shaklida tasvirlanib, uning to’plam ostilari doiralar bilan quyidagicha tasvirlanishi mumkun.



Maktab matematika kursida qaraladigan sonlar to’plami orasida haqiqiy sonlar to’plami universial to’plam vazifasini bajaradi.(Tekshirib ko’ring).

TO'PLAMLARNING KESISHMASI VA UNING XOSSALARI.

Ikkita to'plam berilgan bo'lsin: A={a;b;c;d} va B={c;d;e}.A va B to'plamga tegishli bo'lgan umumiy elementlardan iborat yangi P to'plamni tuzamiz. P={c;d} . P to'plam A va B to'plamlarning kesishmasidan iborat.

Ikki to'plamning umumiy elementlaridan tashkil topgan uchinchi to'plamga to'plamlarning kesishmasi deb aytiladi. A ⁿ B deb belgilanadi. Bu erda ⁿ simvoli to'plamlar kesishmasining belgisidir. A ⁿ B to'plamning har qanday x elementi "x ^e A" va "x^e B" xossasiga ega, shunga ko'ra to'plamlar kesishmasini quyidagicha yozish mumkin: A n B={x/xe A va xe B}

Agar A va В to'plamlar umumiy elementga ega bo'lmasa, u holda bu to'plamlar kesishmaydi va A ^ B= 0 deb yoziladi. Masalan, bir xonali va ikki xonali natural sonlar to'plami kesishmaydi.

Agar A va В to'plamlar kamida bitta umumiy elementga ega bo'lsa, bu to'plamlar kesishmasi 0 to'plam bo'lmaydi va A r\ В ^ 0 yoziladi.

Eyler-Venn diagrammasida to'plamlar kesishmasi quyidagicha ifodalanadi:




To'plamlar kesishmasining xossalari:

1. 
   Istalgan A va B to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi kommutativdir, ya'ni A n B=B n A
   
2. 
   Ixtiyoriy A,B,C to'plamlar uchun to'plamlar kesishmasi assotsiativdir.
   

(A n B) n C = A n (B n C)

Bu xossa Aⁿ B ⁿ C ifodani qavssiz yozishga imkon beradi, shuningdek, istalgan sonli to'plam kesishmasini topishda ham xossadan keng foydalaniladi.

Isboti: To'plam osti munosabatining 1- xossasidan foydalanamiz, ya'ni "Agar B ^ A va A ^ B bo'lsa, u holda A=B bo'ladi. x^e (A ⁿ B)ⁿ C bo'lsin, kesishma ta'rifiga asosan x ^e Aⁿ B va x^eC; yana bir marotaba to'plamlar kesishmasi ta'rifini qo'llab x e A va xeB, xeC yoki xe A, xeB va xeC ni hosil qilamiz. Bundan xeA va xeBnC, bundan xe An (BnC).Demak, (A n B) n C to'plamning har qanday elementi A n (B n C) to'plamining ham elementi bo'ladi, to'plam osti ta'rifiga ko'ra (A ⁿ B)ⁿ C ^ A ⁿ (B ⁿ C). Xuddi shunga o'xshash A ⁿ (B ⁿ C) ^ (A ⁿ B)ⁿ C ni ham ko'rsatish mumkin. Yuqorida aytilgan to'plam osti munosabati xossasiga ko'ra to'plamlar kesishmasining assotsiativlik xossasi tasdiqlanadi: (A ⁿ B) ⁿ C

= A n (B n C)

3. 
   xossa: Agar A ^ B bo'lsa, u holda A ⁿ B=A. Haqiqatdan ham , agar A­B to'plamning to'plam ostisi bo'lsa, bu to'plamlar orasidagi munosabat Eyler - Venn doirasida quyidagicha tasvirlanadi.
   



A va B ga tegishli elementlar A to'plamning elementlari hisoblanadi, ya'ni A n B=A.

4. 
   xossa: Istalgan A to'plam uchun quyidagi yozuv o’rinli:
   

A^A=A; A^ 0=0; A^J=A; Jn0=0.

TO'PLAMLAR BIRLASHMASI VA UNING XOSSALARI.

Ikki to'plamdan yangi to'plam hosil qilishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz.

Ta'rif: A va B to'plamlarning barcha elementlaridan tuzilgan to'plamga to'plamlarning birlashmasi deb aytiladi . A va B to'plamlar birlashmasi A ^ B kabi belgilanadi, bu erda ^ simvoli birlashma belgisidir.

Masalan: 1) A={m,n,p,k,l} va B={p,r,s,n} to'plamlarning birlashmasi A^ B={m,n,p,k,l,r,s} dan iborat.

2. 
   A- biror sinfdagi voleybol to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar to'plami: B- shu sinfdagi matematika to'garagiga qatnashuvchi
   

o'quvchilar to'plami. A ^ B to'plamga voleybol yoki matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar kiradi. Bular orasida faqat matematika to'garagiga qatnashuvchi, yoki faqat voleybol to'garagiga qatnashuvchi, yo bo'lmasa, ham voleybol, ham matematika to'garagiga qatnashuvchi o'quvchilar bo'lishi mumkin.

A ^ B to'plamning ixtiyoriy x elementi "x e A yoki xeB" xossaga ega. Ta'rifga asosan to'plamlar birlashmasini quyidagicha yozish mumkin:

A ^ B={x/xe A yoki xe B}

Eyler-Venn diagrammalarida A ^u B quyidagicha tasvirlanadi: