Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam

Birlashma amalining xossalari:

1. 
   xossa: To'plamlarning birlashmasi kommutativlik xossasiga ega:
   

A u B=B u A

2. 
   xossa: Ixtiyoriy A,B,C to'plamlarning birlashmasi assotsiativlik
   

xossasiga ega :

(A u B) u C= A u (B u C)

Bu xossa ham kesishma amaliga o'xshash (A^u B)^u C ifodani qavssiz yozish mumkinligini ko'rsatadi, ya'ni A u B u C shaklda yozish mumkin. Isbot: x^e (A ^u B)^u C bo'lsin, ta'rifga asosan, x ^e A ^u B yoki x^e C, bu erdan xe A, yoki xe B yoki xe C. To’plamlar birlashmasi ta’rifiga ko’ra xe A u (B u C)

Demak, (A u B) u C to'plamining har bir elementi A ^u (B ^u C)to'plamining ham elementi bo'lyapti, to'plam osti munosabati ta'rifiga ko'ra

(A u B) u C c A u (B u C) (1)

Xuddi shunday teskarisini ham isbotlash mumkin , ya'ni A u (B u C) c (A u B) u C (2)

Bu (1) va (2) munosabatlarga to'plam ostining 1-xossasini qo'llasak, to'plamlarning tengligi kelib chiqadi, ya'ni (A ^u B)^u C= A ^u (B ^u C)

3. 
   xossa: Agar B ^c A bo'lsa, unda A ^u B=A bo’ladi.
   

Misol: 1) A=Z ; B=N; Z u N=Z 2)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B={2,4,6,8}, BcA , AuB=A

4. 
   xossa: Istalgan A, B va C to'plamlar uchun quyidagi tengliklar o'rinlidir:
   

1. 
   A u (B n C)=(A u B) n (A u C)
   
2. 
   A n (B u C)=(AnB) u (An C).
   

Bu xossalar distributivlik xossasi deb aytiladi.

Isbot: x^e Aⁿ(B ^u C)bo'lsin. To’plamlar kesishmasi ta’rifiga ko’ra x ^e A va xeBuC. To’plamlar birlashmasi ta’rifini qo’llab xeA va xeB yoki x^e A va x^e C hosil bo’ladi. To’plamlar kesishmasi ta’rifiga ko’ra xe An B yoki xe A n C. To’plamlar birlashmasi ta’rifini qo’llab x^e (AⁿB) ^u (Aⁿ C). To’plam osti munosabati ta’rifiga ko’ra

A n (B u C) c (AnB) u (An C).

Xuddi shunday ko'rsatish mumkinki,

(A n B) u (A n C) c A n (B u C). (2)

To'plam osti munosabatining 1-xossasiga ko'ra

A n (B u C)=(A n B) u (A n C) bo'ladi.

5. 
   xossa: Ixtiyoriy A to'plam uchun quyidagi tengliklar o'rinli:
   

A^A=A; A^0=A; A^J=J; J^0=J. TO'PLAMLARNING AYIRMASI VA UNING XOSSALARI.

Ta'rif: A va B toplamlarning ayirmasi deb, A to'plamning B to'plamga kirmaydigan elementlar to'plamiga aytiladi.

To'plamlar ayirmasi A\B simvoli bilan belgilanadi, ayrim kitoblarda A-B kabi belgilanadi.

Misol: A={a,b,c,d} B={c,d,e,f} To'plamlar ayirmasi A\B={a,b} A\B to'plamining istalgan x elementi "x tegishli A va tegishli emas B" xossasiga ega bo'lgani uchun A va B to'plamlar ayirmasini quyidagicha yozish mumkin:

A\B={x/x e A va x ^£ B}Eyler - Venn diagrammalarida to'plamlarning ayirmasi quyidagicha tasvirlanadi:

Misol:A={a,b,c,d,e} va B={c,d,e,f} bo'lsin. A/B={a,b} ekanligi ma'lum. B va A to'plamlar ayirmasini topamiz: B/A={f} A/B va B/A to'plamlar birlashmasi (A/B ) ^u ( B/A) = {a,b,f} (1)

ko'rinishda bo'ladi. Endi A u B va A n B ni topamiz.

A ^u B ={a,b,c,d,e,f} A ⁿ B ={c,d,e} bu to'plamlar ayirmasini topamiz : (A u B)/(A n B )={a,b,f} (2)

(1) va (2) ni solishtirib quyidagi tenglikka ega bo'lamiz:

(A/B) u (B/A)= (A u b)/(A n B )

Ta'rif: Ikkita A va B hamda B va A to'plamlar ayirmalarining birlashmasiga simmetrik ayirma deyiladi. U quyidagicha belgilanadi:

A A B=(A/B) u (B/A)

A,B,C to'plamlar uchun quyidagi tenglik o'rinli:

1. 
   A/ (B n C) = (A/B) u (A/C)
   
2. 
   A/ (B u C) = (A/B) n (A/C) = (A/B)/C
   

TO'LDIRUVCHI TO'PLAM OSTI TUSHUNCHASI VA UNING XOSSALARI.

Ta'rif: B to'plam A to'plamning to'plam ostisi bo'lsin.A

to'plamining B ga kirmaydigan elementlar to'plamiga B to'plamini A to'plamiga to'ldiruvchi to'plam ostisi deb aytiladi va B’_A belgilanadi. A-biror sinfdagi o'quvchilar to'plami , B- shu sinfdagi qizlar to'plami bo'lsin B’_A -shu sinfdagi o'g'il bolalar to'plamidan iborat bo'ladi. B’_A - to'ldiruvchi to'plam osti Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlanadi:

Xossalari:

1°(A u B)'=A' n B'

2°(a n b)'=A' u B'

Xossalarning isbotlari o’quvchilarga mustaqil beriladi.

TO'PLAMLARNI O'ZARO KESISHMAYDIGAN SINFLARGA AJRATISH

To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasi matematikada, jumladan, boshlang'ich sinf darsliklarida ham o'z ahamiyatiga ega Bu tushunchaga ta'rif berishdan oldin quyidagi misollarni tahlil qilamiz:

N-natural sonlar to'plami

A-juft natural sonlar to'plami B- toq natural sonlar to'plami bo'lsin.

Ma'lumki, natural sonlar toq va juft natural sonlarga bo'linadi.Bundan kelib chiqadiki, A ^ N va B ^ N.

Bu to'plam ostilar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1. 
   A^ 0,B^ 0
   
2. 
   Umumiy elementga ega emas: A ^ B= 0
   
3. 
   
   В
   
   
   N
   
   AUB=N ( chizmaga qarang)
   

To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasiga nafaqat matematikada, balki hayotda ham ko'plab misollar keltirish mumkin. Masalan: Yer yuzi xalqlarini qanday belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin? Yer yuzi aholisini biror to'plam sifatida qarasak, ularni quyidagi belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin:

-irqlariga ko'ra;

-tillariga ko'ra;

-jinslariga ko'ra va hokazo.

TA'RIF: Berilgan M to'plam o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratilgan deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:

1) Hech biror to'plam osti bo'sh bo'lmasa, ya'ni Mi^ 0 bunda i=( 1,... ,k) 2) Istalgan ikkita to'plam osti umumiy elementga ega bo'lmasa, ya'ni Mi ^ Mj =0, i^j

3)Barcha to'plam ostilari birlashganda M to'plamni tashkil etsa, ya'ni M₁ U M₂ U M₃ U ....U M_k = M

Agar berilgan to'plamning har bir elementi bitta va faqat bitta qism to'plamga tushsa, hamma ajratilgan qism to'plamlar birlashmasi butun to'plam bilan mos tushsa, u holda berilan to'plam kesishmaydigan qism to'plamlarga ajratilgan deyiladi.

Agar 1) X₁,X₂ ,...,X_n qism to'plamlar juft-jufti bilan o'zaro kesishmasa; 2) X₁ , X₂ ,...,X_n qism to'plamlarning birlashmasi X to'plam bilan mos tushsa, X to'plam X₁, X₂ ,...,X_n sinflarga ajratilgan hisoblanadi.

Masalan, Uchburchaklarning X to'plamini uchta sinfga ajratish mumkin: O'tkir burchakli, o'tmas burchakli, to'g'ri burchakli

uchburchaklar. Haqiqatdan ham ajratilgan qism to'plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va ularning birlashmasi X to'plamni tashkil etadi.

a) To'plamni unda berilgan 1,2 va 3 ta xossasiga ko'ra sinflarga ajratish mumkin. Buni quyidagi misollarda ko'ramiz:

M- natural sonlar to'plamida "3 ga bo'linish" xossasi berilgan bo'lsin. Bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi. A₁- 3ga bo'linadigan sonlar to'plami A₂- 3 ga bo'linmaydigan sonlar to'plami.

Bu to'plamlar to'plamni sinflarga bo'lish ta'rifidagi shartlarni qanoatlantiradi, ya'ni

1. 
   Ai^ 0;A₂^ 0
   
2. 
   Ai^ A₂ =0
   
3. 
   A1UA2=N
   

Demak, agar to'plamda elementlarning biror xossasi berilgan bo'lsa, bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi.

b) To'plam elementlarining ikkita xossasiga ko'ra uni sinflarga bo'lish. Quyidagi misolni qaraymiz.

1) M-uchburchaklar to'plamini " teng yonli bo'lish" va "to'g'ri burchakli bo'lish" xossasiga ko'ra qanday sinflarga ajratish mumkin?

Bu xossalarni qanoatlantiruvchi to'plamlarni Eyler-Venn diagrammasida tasvirlaylik, natijada quyidagi sinflar hosil bo'ladi:



1. 
   teng yonli,to'g'ri burchak bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
2. 
   to'g'ri burchakli,teng yonli bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
3. 
   teng yonli va to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami;
   
4. 
   teng yonli ham emas, to'g'ri burchakli ham bo'lmagan uchbur­chaklar to'plami.
   

2-Misol:Natural sonlar to'plami elementlari uchun " 2 ga karrali" va "5 ga karrali"xossalari berilgan.Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami qanday sinflarga ajraladi? " 2ga karrali" va "5 ga karrali" xossalariga natural sonlar to'plami quyidagi 4 ta sinfga ajraladi:

1. 
   - 2 ga karrali, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
2. 
   - 5ga karrali, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
3. 
   -5 ga va 2 ga karrali bo'lgan natural sonlar to'plami.
   
4. 
   -5 ga ham 2 ga ham karrali bo'lmagan natural sonlar to'plami.
   

3. 
   -Misol: Uchburchaklar to'plami elementlari orasida quyidagi 2 ta xossa berilgan:" O'tkir burchakli bo'lish", "O'tmas burchakli bo'lish", shu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami qanday sinflarga bo'linadi?
   

Bu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami 3 ta

1. 
   o'tkir burchakli uchburchaklar
   
2. 
   o'tmas burchakli uchburchaklar
   

c ) o'tkir va o'tmas burchakli bo'lmagan uchburchaklar to'plamiga ajraladi.

3. 
   -misol:Natural sonlar to'plamida 3 ta xossa:"2ga karrali"; "3 ga karrali";" 5ga karrali" bo'lish xosalari berilgan bo'lsa, to'plam qanday to'plam ostilarga ajraladi?
   

Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami 8 ta o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajraladi:

A -to'plam deb 2 ga karrali sonlar to'plamini, B to'plam deb 3 ga karrali sonlar to'plamini , C to'plam deb 5 ga karrali sonlar to'plamini olsak, u holda ular juft-juftlari bilan kesishib quyidagi 8 ta o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajraladi:

1. 
   2 ga ,3 ga,5 ga karrali bo'lgan sonlar.
   
2. 
   2 ga,3 ga karrali bo'lib, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
3. 
   3 ga,5 ga karrali bo'lib, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
4. 
   2 ga, 5 ga karrali bo'lib, 3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
5. 
   2ga karrali bo'lib, 3 ga, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar
   
6. 
   3 ga karrali bo'lib, 2 ga,5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
7. 
   5 ga karrali bo'lib, 2 ga ,3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
8. 
   2 ga,3ga, 5ga karrali bo'lmagan sonlar.
   

To'plamlarni sinflarga ajratish tushunchasi haqida boshlang'ich sinf

o'quvchilariga ham ma'lumot berish mumkin: Masalan, o’zbek

alifbosidagi harflar to'plami unli va undosh sinflarga ajraladi.

Unli va undosh harflar birlashib, alfavitni tashkil qiladi. Boshlang'ich sinf matematika kursida to'plamlarni sinflarga ajratish bo'yicha misollar keltiring.

MISOL VA MASALALAR

1. 
   Quyidagi yozuvlar to’g'rimi?
   

1. 
   12e N v) 0£ N d) 0,48£ N g) 5,4 £ Z
   
2. 
   1e N g)-12£N e) -13 £ N z) 3.2e Q
   

2. 
   18; 225; 317; -130; 18?;-16? sonlari qaysi to'plamga tegishli ? ^e belgidan foydalanib yozing.
   
3. 
   U- tekislikdagi ko’pburchaklar to'plami .
   

a) oltiburchak b) parallelogram v) uchburchak g) kesma d) doira e) paralellopipedlar U to'plamiga tegishlimi?

4. 
   Quyidagi yozuvlarni o'qing va har bir to'plam elementlarini ko'rsating? A={x/xe N,x<7} K={x/x e Z,-4

F={x/xe Z, x<3} L={x/x e Z, -4

5. 
   Quyidagi to'plamlarni son o'qida ko'rsating :
   

A={x/x>3,2} D={x/-2,5

B={x/x<4} E={x/ -4

C={x/x<-7} K={x/-12,9

6. 
   Har bir tenglamaning echimlar to'plamini toping. Qaysi tenglama echimlar to'plami bo'sh to'plam bo'ladi?
   

1. 
   4x+5=4(x-7) c) 12(3+2x) =84
   
2. 
   2(x-5) =3x
   

7. 
   Quyidagi to'plamlar ichida teng to'plamlarni toping?
   

A={x/xe N, 2

B={ x/xe N, 1

C={x/x e N, 2

D={x/x e N, 1

E={x/xe N, 1

F={x/xe N, 1

K={3;4} L={1,2,3,4,}

8. 
   M={21,54,153,171,234} to'plam berilgan . Bu to'plamning quyidagi to'plam ostilarini tuzing: a) 7 ga karrali sonlar; b) 9 ga karrali sonlar; v) 5 ga karrali bo'lmagan sonlar; g) 4 ga karrali sonlar;
   
9. 
   A- 5 ga karrali ikki xonali sonlar to'plami
   

B - 10 ga karrali ikki xonali sonlar to'plami bo'lsa , A ^ B yoki B^A bo'ladimi? Nima uchun?

10. 
    B={a,b,c,d} to'plamning barcha to'plam ostilarini tuzing.
    
11. 
    A- 3 ga karrali sonlar to'plami, B- 8 ga karrali sonlar to'plami, C- 4ga karrali sonlar to'plami bo'lsin, 15 e (A ^ B) ^ C - yozuv to'g'rimi? Eyler doirasida ko'rsating?
    
12. 
    A={a,b,c,d,f,e} B={d,e,f,k,n,m} C={m,n,l,t} to'plamlar uchun A ^ B ^ C, A ^ B ^ C, (A ^ B) ^ (A ^ C) to'plamlarni toping
    
13. 
    Quyidagi geometrik figuralar to'plami berilgan bo'lsin: