Maydon 1- ta’rif

MAYDON
1- TA’RIF. Agar (R; + ,  , 0) kommutativ halqa va bu halqada
1) 1P 10 (a0P) a1=a;
2)(aP) a0, (a^-1P) aa^-1=1
shartlar (aksiomalar) o‘rinli bo‘lsa, u holda (P; +, , 0,1) algebraik sistemasi maydon deyiladi.
2-TA’RIF, P maydon, P₁P bo‘lib, (P₁; +,  , 0, 1) maydon bo‘lsa, u holda P₁ ni P maydonning qism maydoni deyiladi.
3-TA’RIF. (F; +, , 0,1) maydon, (K;+, , 0, 1) butunlik sohasi bo‘lsnn. Agar

1. 
   K F ning qism halqasi bo‘lsa;
   
2. 
   " (xF) (a,bK) x=ab^-1 tenglik o‘rinli
   

bo‘lsa, u holda F ni K butunlik sohasining nisbatlari maydoni deyiladi.
4-TA’RIF. Ratsional sonlar maydoni deb, butun sonlar halqasining nisbatlari maydoniga aytiladi va uni Q kabi belgilanadi.
MISOLLAR: 4. M={a,b} to‘plamni qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz:
aa=bb=a, ab=ba=b, a©a=a©b=b©a=a, b©b=b bulardan bevosita ko‘rinadiki, a- (qo‘shish) amaliga nisbatan, b esa © (ko‘paytirish) amaliga nisbatan neytral element bo‘ladi. Tekshirib ko‘rish mumkinki (M; 0, ©, a,b) - maydon bo‘ladi.
1. halqa bo‘ladi. Lekin u maydon bo‘lmaydi.
Masalan, 3+2 Z , ammo (3+2 )^-1=- .
Demak, (Z ;+, , 0,1) maydon bo‘lmaydi.
2. Sonlarni odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan quyidagi to‘plamlarning qaysi biri maydon tashkil etadi?

l) 2Z; 2) mZ; 3) Q; 4) Z ; 5) 2Z ; 6) Q ;

7) .

3. Matritsalarni odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan quyidagi to‘plamlarning qaysi biri maydon tashkil qiladi?

1) 2)

3) 4)
5) 6)
7) 8)

Bu halqalarning qaysi biri birlik elementga ega, biri ikkinchisiga qism halqa bo‘lgan ikkita halqani ko‘rsating.

4. Agar ZxZ to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritilgan bo‘lsa, uni maydon ekanligini ko‘rsating.
(1b₁>,2,b₂>ZxZ), 1,b₁>=a₂,b₂>a₁=a₂b₁=b₂
1) 1,b₁>+2,b₂>=1+a₂; b₁+b₂>, 1,b₁>2,b₂>=1a₂; b₁b₂>;
2) (1,b₁>+2,b₂>=1+a₂; b₁+b₂>, 1,b₁>2,b₂>=
=1a₂+b₁b₂; a₁b₂+a₂b₁>;
3) (+ ₂,b₂>=₂; b,+b₂>, ₁ , b₁>₂,b₂>=
=₁ a₂+2b₁b₂; a₁ b₂+a₂b₁>;
4) (₁,b₁>+ ₂,b₂>=*₁+a₂; b₁+b₂>, ₁ ,b₁>-₂,b₂>=^:
=₁ a₂- 2b₁b₂; a₁b₂+a₂b₁>.
Agar Q[ ]={a+b +c[ :a.b.cÎQ] bo‘lsa, (Q[ ];+,  ,0,1) ni maydon bo‘lishini isbotlang.
Maydon nolning bo‘luvchilariga ega emasligini isbotlang
5. Agar (P;+,,0,1) maydon bo‘lsa, u holda quyidagilarni isbotlang:
1) " (a,bÎP) ab=1a0b=a^-1; 2) " (a,bÎP)ab=ac.b=a;
3) " (a,bÎP)ab=0(a=0b=0);4) "(abÎP)a0(a0b0);
5) "(a,b,c,dÎP)b0,d0  ad=bc;
" (a,b,c,dÎP) b0,d0
" (a,b,c,d ÎP) b¹0,
" (a,b,c,d ÎP) b¹0,d¹0 
" (a,b,c,d ÎP) b¹0,d¹0 ;
10) " (a,b,c,d "P) b¹0,c¹0 