Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Для этого отрезок делится не пополам, а в отношении .

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и .
Уравнение хорды имеет вид
.
Полагая и , получим
.
Предположим, что производная второго порядка сохраняет знак, и рассмотрим два случая: , и , . Случай сводится к рассматриваемому, если уравнение записать в форме: .
Первому случаю соответствует формула
(1)
а второму случаю –
(2)
В первом случае остается неподвижным конец , а во втором случае – конец .
Замечание. Для выявления неподвижного конца используется условие , где или . Если неподвижен конец , применяется формула (1), а если конец – формула (2).


Пример. Найти корень уравнения методом хорд с точностью .
Решение.
Рассмотрим задачу нахождения корня на отрезке . Так как , , а на отрезке , то и, следовательно, имеем второй случай.
Положим , . Тогда по формуле (3.6) получим
.
Так как , то положим и продолжим процесс:

Так как , то положим и продолжим процесс:

Поскольку , положим :

Так как , положим :

Поскольку , положим :

Так как , то корень уравнения .
Таким образом, сходимость метода хорд более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.