Метод координат на плоскости величина направленного отрезка проекция вектора на ось декарт

3.2. Цилиндрическая система координат в пространстве³

Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем (r,θ,h). В терминах декартовой системы координат,

• 
  (радиус) — расстояние от оси z к точке P,
  
• 
  (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость
  
• 
  h (высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.
  

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение 2x + 2y = 2c, тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = с
Пример: Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного сферой и параболой .
В оспользуемся формулами , , ,
где ρ – плотность тела в точке (x,y,z), а m – масса тела: . в которых положим ρ=1. Тело симметрично, центр тяжести лежит на оси Oz, поэтому и необходимо найти аппликату центра тяжести тела, т.е. . Т.к. тело симметричное, то в цилиндрической системе координат определяющие неравенства запишем в виде (рассмотрим первую четверть координатной системы.):
(V₁): , , , а интеграл в виде
Следовательно, . Таким образом, центр тяжести данного тела находится в точке .
Замечание. Неравенства, определяющие область V₁ получены следующим образом. Уравнение определяется пересечением параболоида и сферы . Откуда, , z=1 и в цилиндрической системе координат . Следовательно, ; функции , ; а .
Необходимо отметить, что при решении данной задачи не было необходимости выполнять чертеж. Достаточно записать неравенства, определяющие область V.