Методические рекомендации по обработке результатов расчетов и измерений при решении задач и выполнении лабораторных работ по физике

tα (n)	12,71	4,303	3,182	2,776
2,571
n	7	8	9	10	20
tα (n)	2,447	2,365	2,306	2,262	2,093

Результат (15) можно считать окончательным, если погрешность измерительного прибора . В противном случае необходимо учесть погрешность прибора. Для полной погрешности полуширина доверительного интервала рассчитывается по формуле

Для характеристики точности полученного результата прямых измерений используют относительную погрешность измерения

Отметим, что величина относительной погрешности определяется конкретными условиями проведения самого процесса измерения, но сама эта величина не известна. Описанный выше метод позволяет произвести оценку величины этой погрешности. Причем с ростом числа измерений результат оценки погрешности будет все ближе к истинному значению самой величины относительной погрешности. Однако увеличение числа измерений никогда не приведет к уменьшению самой погрешности.
Остановимся на вопросе о необходимом количестве цифр в записи абсолютной погрешности некоторой физической величины x. Допустим, в результате измерения микрометром диаметра малого цилиндра получен результат
.
Следовательно, с вероятностью 95 % значение диаметра этого цилиндра находится в пределах от 13,91 мм до 14,61 мм. Получается, что в записи среднего значения диаметра цилиндра только первая цифра, стоящая в разряде десятков миллиметров является верной. Во второй цифре в разряде миллиметров уже содержится ошибка. Итак, уже первая же цифра в записи абсолютной погрешности показывает, какая цифра в записи среднего значения и в каком его разряде является последней верной цифрой. Но достаточно ли одной первой цифры в записи абсолютной погрешности? Ведь величина абсолютной погрешности необходима для расчета относительной погрешности по формуле (17). Для ответа на этот вопрос рассмотрим графики зависимости абсолютной погрешности от среднего значения при разных значениях относительной погрешности . На рис. 5 показаны эти зависимости при = 10 % – прямая 1, = 20 % – прямая 2 и = 50 % – прямая 3.




50
3



2
1

0 50

Рис. 5

Как мы видим, при относительных погрешностях, меньших 10 %, величина абсолютной погрешности меняется незначительно. Поэтому в записи абсолютной погрешности достаточно одной первой цифры. Но при относительных погрешностях, больших 10 %, величина абсолютной погрешности меняется уже существенно. Поэтому в записи абсолютной погрешности необходима уже вторая цифра.

Приведем еще один довод в пользу необходимости двух цифр в записи абсолютной погрешности. Традиционно принято относительную погрешность выражать в процентах: 15 %, 18 % и т.д. Но для того, чтобы иметь две цифры в результате расчета по формуле (17), необходимо иметь не менее двух цифр в записи абсолютной погрешности.
Итак, величина абсолютной погрешности должна быть записана с двумя значащими цифрами. Третью цифру необходимо отбросить, используя правило округления. Заметим, что это не будет большой ошибкой и при относительных погрешностях, меньших 10 %.

ВЫЯВЛЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПРОМАХОВ

Если серия результатов измерений содержит промах, его нужно исключить, так как наличие промаха может сильно исказить как среднее значение измеряемой величины, так и границы доверительного интервала.
Для выявления промахов предложен статистический критерий [4]. Если резко выделяющееся значение из данной серии измерений соответствует значению

при заданной доверительной вероятности, то это значение несовместимо с исходным предположением о нормальном распределении возможных результатов измерений и является промахом. В формуле (18) – среднее квадратичное отклонение отдельного результата наблюдения (9).
Ниже приведены значения критического параметра для доверительной вероятности α = 0,95 [4].

n	3	4	5	6	7
	1,15	1,46	1,67	1,82	1,94
n	8	9	10	15	20
	2,03	2,11	2,18	2,41	2,56

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Для получения результата прямых измерений некоторой физической величины в виде (15) нужно произвести серию из измерений этой величины. Напоминаем, что запись каждого из n результатов измерения должна обязательно содержать все цифры, в том числе и 0 вплоть до последнего разряда числа, соответствующего самому мелкому делению прибора. Далее обработка идет по следующей схеме.
1. Вычисляем среднее арифметическое значение величины х по формуле

Среднее значение также должно содержать столько цифр, в том числе и нулей, сколько их в записях результатов измерений.
2. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность величины х по формуле

де ∆х_i = х_i – – абсолютная погрешность каждого из n результатов измерений. В записях квадратов этих абсолютных погрешностей должно содержаться в два раза больше цифр, в том числе и нулей, чем в записях результатов измерений. А в записи средней квадратичной погрешности – столько же цифр, что и в записях результатов измерений.
3. Вычисляем предварительную абсолютную погрешность измеряемой величины путем умножения ее средней квадратичной погрешности на коэффициент Стьюдента :
(21)
В записи этой погрешности должно содержаться столько же цифр, что и в записях результатов измерений. Значение коэффициента Стьюдента для данного числа n и для доверительной вероятности α = 95 % берем из таблицы, представленной в предыдущем разделе.
4. Вычисляем полную абсолютную погрешность измеряемой величины с учетом погрешности прибора по формуле
(22)
Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры.
5. Уточняем запись среднего значения измеряемой величины, сопоставив его с величиной абсолютной погрешности. Число, обозначающее среднее значение измеряемой величины, нужно округлить, оставив в нем все цифры вплоть до разряда, являющегося последним в окончательной записи абсолютной погрешности. Записываем результат измерений в виде суммы округленного среднего значения и абсолютной погрешности:
х = . (23)
Например, мы получили следующие величины: среднее значение = 2,36752 и значение окончательной абсолютной погрешности: Δ = 0,0836. После округления получим Δ = 0,084. Следовательно, среднее значение нужно округлить до тысячных: = 2,368. Окончательно запишем
х = 2,368 ± 0,084.
6. Вычисляем относительную погрешность измеряемой величины по формуле

Относительную погрешность, как правило, выражают в процентах. Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры.

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Результат косвенного измерения есть результат расчета по заданной формуле. Если величины, полученные в результаты прямых измерений, входят в заданную формулу в качестве множителей или делителей, относительная погрешность рассчитывается по формуле (2). В общем случае оценка величины абсолютной и относительной погрешностей косвенных измерений производится следующим образом.
Пусть искомая величина f является функцией величин x, y, z, …, измеряемых непосредственно приборами, то есть

Зависимость (24) соответствует заданной формуле. При этом сами величины x, y, z, … считаются независимыми.
Истинные значения величин x, y, z, … нам не известны. Для этих величин в ходе прямых измерений получены средние значения (7) и абсолютные погрешности (14). Поэтому мы можем найти по заданной формуле только некоторое ожидаемое значение величины f:

Здесь и далее средние значения величин обозначены черточкой сверху над буквой, обозначающей эту величину.
Для оценки абсолютной погрешности величины f

разложим функцию в ряд Тейлора, ограничившись первыми членами этого разложения, поскольку, как правило, независимые погрешности Δx, Δy,Δz, … малы, а сама функция f является гладкой. Получим

Откуда

При нормальном распределении величин Δx, Δy, Δz, …, можно получить приближенное значение полуширины доверительного интервала в виде

где – соответствующие коэффициенты Стьюдента для чисел измерений , , величин x, y, z, … , а – средние квадратичные погрешности этих величин, вычисляемые по формулам, вида (10). Доверительный интервал, построенный с помощью (25), соответствует доверительной вероятности, несколько большей, чем значения α, для которого определяются коэффициенты Стьюдента для , , .
Относительную погрешность косвенного измерения величины f находят по определению

предварительно посчитав ее среднее значение и абсолютную погрешность по формуле (25).
Если зависимость (24) является степенной или показательной вида

то удобнее сначала вычислить относительную погрешность результата вычисления величины по формуле

аналогичной формуле (2), а затем – абсолютную погрешность по формуле (26).
Для примера рассмотрим косвенное измерение объема прямого цилиндра высоты h с диаметром d. Объем такого цилиндра можно вычислить по формуле

Для вычисления объема цилиндра по формуле (28) нужно иметь результаты измерения его диаметра и высоты. Пусть в результате прямых измерений получены значения диаметра и высоты цилиндра в соответствии с (15):


В этом случае известны и относительные погрешности значений диаметра и высоты цилиндра:


Прежде, чем приступать к вычислению объема, оценим относительную погрешность результата вычисления по формуле (28). В эту формулу входят четыре величины (числа). Два числа из них пришли из математики и являются, а скорее считаются, абсолютно точными: это числа 4 и π. Но число 4 – конечное число, а число π – является бесконечной непериодической дробью. Как это будет показано, можно взять округленное значение числа π с таким количеством значащих цифр, что это число практически не внесет никакой погрешности в окончательный результат расчета значения объема цилиндра.
Таким образом, источниками погрешности являются значения диаметра и высоты цилиндра. Обе эти величины входят множителями в формулу (28), но диаметр входит множителем два раза (в квадрате), а высота – один раз. Следовательно, подстановка этих величин в формулу (28) приведет к сложению двух относительных погрешностей диаметра и одной относительной погрешности высоты. Согласно формулам (2) и (27), относительная погрешность объема составит

Как видим, наибольший вклад в относительную погрешность объема цилиндра вносит неточность измерения диаметра цилиндра. Поэтому для уменьшения погрешности результата необходимо именно диаметр цилиндра измерить с как можно большей точностью.
Чтобы число π не внесло дополнительную погрешность в результат вычисления объема, нужно взять его значение с относительной погрешностью, много меньшей погрешностей диаметра и высоты цилиндра. Поскольку, как нам известно, точность числа зависит от количества значащих цифр в нем, нужно взять столько цифр числа π, чтобы их количество на одну цифру превышало бы максимальное число значащих цифр в средних значениях диаметра и высоты. Вот запись округленного числа π, содержащая 7 значащих цифр: π = 3,141593.
Теперь, взяв число π с необходимым количеством значащих цифр, можно выполнить расчет среднего значения объема цилиндра по формуле (28):

После этого нужно выполнить расчет относительной погрешности значения объема по формуле (33). Затем вычислить абсолютную погрешность объема по формуле

Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры. Затем нужно уточнить запись среднего значения объема, сопоставив его с величиной абсолютной погрешности (35). Число, обозначающее среднее значение объема, нужно округлить, оставив в нем все цифры вплоть до разряда, являющегося последним в окончательной записи абсолютной погрешности. Записываем результат измерений в виде суммы округленного среднего значения и абсолютной погрешности:

Например, мы получили следующие величины: среднее значение = 3867,395 мм³, = 4,258 мм³. Округляем значение до двух значащих цифр, получаем = 4,3 мм³. Вторая значащая цифра находится в разряде десятых долей миллиметра. Значит, последней оставленной цифрой в записи должна быть цифра 3, стоящая в этом же разряде. Первой отбрасываемой цифрой является 9 5, следовательно, нужно добавить 1 к оставленной тройке. В итоге получим: V = (3867,4 4,3) мм³ = (3,8674 0,0043) мм³ = (3,8674 0,0043) = (3,8674 0,0043) . Окончательно:

с относительной погрешностью, равной

ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ

При выполнении лабораторных работ по физике практически всегда приходится составлять таблицы, в которые нужно занести результаты измерений и расчетов. Как правило, структура необходимых для конкретной лабораторной работы таблиц представлена в методическом руководстве по проведению данной работы. Однако есть необходимость остановиться на некоторых правилах составления таблиц.
Таблица должна быть составлена так, чтобы информация, содержащаяся в этой таблице, воспринималась четко и недвусмысленно. Каждая таблица должна быть пронумерована и озаглавлена. Должна иметь «шапку», в которую заносятся обозначения физических величин, представленных в таблице, причем обязательно с указанием, через запятую, их единиц измерения. Результаты измерения должны быть внесены в таблицу с указанием их номера в порядке выполнения работы. В качестве примера приведем таблицу с результатами измерения радиуса шариков и времени их падения в жидкости, необходимых для расчета вязкости этой жидкости.

Таблица 1. Данные измерений радиуса шариков и времени их движения.

№№

м