Методические рекомендации по обработке результатов расчетов и измерений при решении задач и выполнении лабораторных работ по физике
Download 123.66 Kb.
|
Оценка погрешностей измерений и вычислений
|
метод наименьших квадратов. Мерой статистического разброса точек относительно искомой кривой является средний квадрат отклонений:
Требование минимальности разброса экспериментальных точек соответствует требованию минимальности значения этого среднего квадрата отклонений, причем аргументами служат искомые параметры . Как известно, условия минимума функции многих переменных имеют вид: Из условий минимума суммы квадратов (36) получаем систему уравнений для нахождения лучших значений , называемую системой нормальных уравнений: Рассмотрим для примера экспериментально полученную линейную зависимость (38) изображенную на рис. 8. В этом случае мы имеем два параметра: . Обращаем Ваше внимание на то, что угловой коэффициент A почти никогда не равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, как это имеет место в математике. Сумма квадратов (36) примет вид Мы получим два уравнения из системы (37): а после раскрытия скобок откуда получим формулы для расчета параметров линейной зависимости: В формулах (39) и (40) все суммы берутся от i = 1 до i = n. Если отсчет x -ов и y -ов проводить соответственно от их средних значений и , то можно будет уменьшить объем вычислений, влияние ошибок округления, а главное – получить остаточную сумму квадратов, которая послужит мерой точности определения параметров прямой. При этом будет иметь место равенство (41) Вводим новые переменные: , (42) для которых Тогда сумма (36) примет вид Далее откуда С учетом (42), (45) и (46) преобразуем разность в уравнении (44): Теперь формула (44) даст остаточную сумму квадратов которая служит мерой точности определения параметров прямой. С помощью (47) можно записать двойное неравенство, описывающее доверительную полосу для искомой прямой: где Левая часть неравенства (48), посчитанная для всех x, дает линию нижней границы доверительной области, а правая – линию для верхней границы. В формуле (49) – коэффициент двойного распределения Стьюдента, значения которого приведенные ниже в таблице для доверительной вероятности α = 0,95.
Абсолютную погрешность значения углового коэффициента A можно оценить по формуле В качестве примера рассмотрим обработку результатов измерения электрического сопротивления R металлической проволоки при различной температуре t, ºС. Таблица 3. Зависимость сопротивления металлической проволоки от температуры.
Построим график зависимости сопротивления R металлической проволоки от температуры t (рис. 12). Теория и многочисленные экспериментальные данные свидетельствуют о линейности зависимости сопротивления от температуры вида где – сопротивление при температуре 0 ºС, а – температурный коэффициент сопротивления. Результаты данного эксперимента вполне вписываются в эту закономерность. R, Ом 95 90 85 20 30 40 50 t, ºC Рис. 12 Будем искать аналитическую зависимость в виде Для нахождения параметров A и B по формулам (39) и (40), произведем соответствующие расчеты и занесем их в табл. 3. Имеем в виду, что в нашем случае . В результате получены такие значения сумм: Таблица 4. Зависимость сопротивления металлической проволоки от температуры.
Подставив эти суммы в (39) и (40), получим: A = 0,3254 Ом/°С, B = 80,14 Ом. Теперь посчитаем параметры A и B по формулам (45) и (46). В нашем случае . Все промежуточные результаты внесем в табл. 4. Использование формул (45) и (46) привело к тем же значениям параметров: Итак, наши экспериментальные данные могут быть описаны уравнением Найдем теперь границы доверительной области для полученных значений параметров. Для каждой экспериментальной точки посчитаем по формуле (49) доверительный полуинтервал . Остаточную сумму квадратов вычислим по формуле (47) Результаты расчетов занесем в табл. 5. Доверительный полуинтервал не превышает значения 0,76 Ом. Наибольшая относительная погрешность имеет место при наименьшем сопротивлении и составляет 0,9 %. Модуль отклонения каждого экспериментального значения от значения , рассчитанного по формуле (51), меньше соответствующего значения , то есть, все экспериментальные точки оказались внутри доверительной области. Таким образом, экспериментальные данные о температурной зависимости сопротивления данного проводника описаны уравнением (51) с относительной погрешностью, не превышающей 0,9 %. Абсолютная погрешность углового коэффициента A, рассчитанная по формуле (50), составила 0,051 Ом/°С. Таблица 5. Расчет доверительных полуинтервалов для параметров аналитической зависимости сопротивления металлического проводника от температуры.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое абсолютная и относительная погрешности числа? Чему равна, например, погрешность числа 2,50? 2. Какие измерения называются прямыми, а какие – косвенными? 3. Что называют серией измерений? 4. Какие погрешности имеют место при измерениях? 5. Как выглядит график нормального распределения случайной величины при различных стандартных отклонениях? 6. Что такое плотность вероятности распределения случайной величины? 7. По какой формуле вычисляется средняя квадратичная погрешность измерения величины x? 8. По какой формуле вычисляется абсолютная погрешность измерения величины x? 9. Что такое коэффициент Стьюдента и как он зависит от числа измерений и от доверительной вероятности? 10. Какова последовательность действий при расчете абсолютной погрешности результатов серии прямых измерений? 11. Как записать результат серии прямых измерений? Что такое доверительный полуинтервал? 12. Как вычисляется относительная погрешность серии прямых измерений? Для чего вводится относительная погрешность? 13. Как выполнить оценку погрешности результата косвенного измерения? Составьте формулу для расчета, например, относительной погрешности результата вычисления электрической мощности P по формуле: , где U – напряжение на участке, R – сопротивление участка. 14. Как находятся параметров эмпирических зависимостей? Расскажите о методе наименьших квадратов. ЛИТЕРАТУРА 1. Метрология. Термины и определения. ГОСТ 16263–70. – М.: Изд-во стандартов, 1982. – 52 с. 2. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения. ГОСТ 11004 – 74. – М.: Изд-во стандартов, 1981. – 20 с. 3. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. 3-е изд. – М.: Наука, 1983. – 416 с. 4. Смирнов Н.В. Об оценке максимального члена в ряду наблюдений. – Докл. АН СССР (1941), т. 33, №3, с. 346 – 349. 5. Лебедев В.В. Руководство по обработке результатов наблюдений при выполнении лабораторных работ. – М.: МИНГ, 1987, 75 с. 6. Анисимов М.А., Володина Л.А., Кулькин А.Г. Методические рекомендации по обработке результатов измерений при выполнении лабораторных работ по физике. – М.: МИНГ, 1988, 31 с. СОДЕРЖАНИЕ
Download 123.66 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|