Методические рекомендации по теме «Алгебра и начала анализа» для участников математических олимпиад (9-11 классы) и их использование в практической работе

Кратные корни. 
Корень 
имеет кратность k, если 
– наибольшее. Если 
, то
– простой корень. Другой случай 
, и 
. 
Кратность корня удобно считать по схеме Горнера, последовательно деля 
на
: 
, затем
на
и так далее, пока не получим 
ненулевой остаток. 
Лемма 1. 
 
(1) 
где
, а – многочлен, не имеющий корней. 

---

23 
Доказательство следует из теоремы Безу – берем 
– корень и делим. 
Лемма 2. Если 
– многочлен, представленный в виде (1), то
– все его корни кратностей 
Доказательство. Если 
, то
Следовательно, других корней, кроме
нет. Долее так как 
– не имеет 
корней то
, так как
2 2
в точке 
1 1
– кратный. 
Из лемм 1 и 2 следует
Теорема 1. Сумма кратностей всех корней многочлена вида 
не 
превосходит его степени. Причем равенство возможно тогда и только тогда, 
когда разлагается на линейные множители.
Теорема о делении с остатком. 
Теорема 2. над полем существует единственная 
пара многочленов такая, что
 
Делимость 
Пусть над P даны многочлены Если то 
говорят, что делится (нацело) на (остаток
Некоторые свойства делимости: 
1. Если а
2. Если
3. Если то
Наибольший общий делитель 
Определение. Многочлен 
будем называть Н.О.Д. данных многочле-
нов и (отличных от нуля), если
1) 
является делителем многочленов
2) 
делится на любой общий делитель многочленов
Обозначение:
Для нахождения Н.О.Д. используют алгоритм Евклида (или алгоритм по-
следовательного деления). Он состоит в следующем: сначала делят с остат-
ком , затем – на остаток от первого деления. Затем остаток от перво-
го деления на остаток от второго и так далее, пока не получим нулевой оста-
ток. 
… (3) 
 

---

24 
Причем 
. Последний ненулевой 
остаток
в алгоритме Евклида является Н.О.Д.
Заметим, что Н.О.Д. определяется с точностью до ассоциированности: если 
то ассоциативный многочлен, имеет тот же 
Н.О.Д. (свойства делимости). Поэтому можно считать, что у Н.О.Д. степень 
коэффициента равна одному. 
Определение. Многочлены 
взаимно просты если их Н.О.Д. ра-
вен единице.