Методика отсеивания незначимых коэффициентов

Практическая часть
Проведено измерение теплоемкости оксида углерода (CO) от температуры (см. табл. 4.1).
Таблица 4.1
Экспериментальные данные зависимости теплоемкости от температуры

№ опыта	Температура, ^0C	Теплоемкость, кДж/(м3*К)
1	0	1,298
2	100	1,302
3	200	1,306
4	300	1,315
5	400	1,327
6	500	1,344
7	600	1,357
8	700	1,373
9	800	1,384
10	900	1,398
11	1000	1,411
12	1100	1,424
13	1200	1,436

Получено n=13 значений при разных температурах. Необходимо получить аналитическую зависимость теплоемкости газа от температуры, используя исходные табличные данные. Провести статистическую оценку полученного регрессионного уравнения: получить коэффициент корреляции, определить адекватность модели, проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии.

1. 
   Для начала получим уравнение регрессии. Для этого построим в пакете Excel точечную диаграмму и добавим к ней линию тренда линейного вида (рис. 4.10).
   
2. 
   Пакет Excel строит линию регрессии с помощью метода наименьших квадратов. В результате построена линия тренда и получен коэффициент детерминации R²:
   

y = 0,0001*x + 1,2854
R² = 0,9877

Далее построим статистику для линейного уравнения регрессии с помощью функции пакета Excel «ЛИНЕЙН». Необходимо отметить, что данная функция предоставляет коэффициенты уравнения регрессии со значительно большей точностью, чем уравнение, представленное на диаграмме. В результате получены следующие данные:

b₀ = 1,28543956
b₁ = 0,000123626
Sb₀ = 0,00294447
Sb₁ = 0,000004164
R² = 0,987673831
Δy = 0,00561769
F = 881,4102564
m = 11
S²y_ост = 0,000347143
S^2*y = 0,027815934
В правильности полученных данных легко убедиться, подсчитав значения дисперсий (остаточную и квадрат отклонения линии регрессии от среднего значения), используя полученные коэффициенты уравнения регрессии. Для расчета коэффициента корреляции используем следующую формулу:

R² = S^2*y / (S^2*y + S²y_ост)
R² = 0,027815934 / (0,027815934 + 0,000347143) = 0,987673831

3. 
   Рассчитаем доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии, для этого необходимо получить теоретическое значение Стьюдента (СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;11)):
   

t_0,005;11 =2,20098516
Тогда
Δb₀=2,20098516*0,00294447=0,006480734
Δb₁=2,20098516*0,000004164=0,000009165
Поскольку абсолютные значения коэффициентов уравнения регрессии (b₀=1,28543956 и b₁=0,000123626) существенно превышают соответствующие им доверительные интервалы (Δb₀ = 0,006480734 и Δb₁=0,000009165), то можно сделать вывод, что коэффициенты уравнения регрессии значимы.

4. 
   Для оценки адекватности модели воспользуемся критерием Фишера. Необходимо получить теоретическое значение (F.ОБР.ПХ(0,05;12;11)): F_0,05;12;11 = 2,787569326
   

Поскольку экспериментальное значение критерия Фишера значительно превышает теоретическое (881,4102564>2,787569326), то уравнение модели можно считать адекватным.

5. 
   Построим уравнение регрессии, используя пакет Statistica: Красным выделены коэффициенты уравнения регрессии, для которых величина ошибки Δb значительно меньше абсолютного значения, т.е. значимые коэффициенты, которые нельзя исключать.
   

Получены следующие значения:
b₀ = 1,285440
b₁ = 0,000124
F = 881,41
R² = 0,98767383
Sb₀ = 0,002944
Sb₁ = 0,000004
Полученные результаты в большой степени совпадают с рассчитанными ранее, однако в пакете Excel значения коэффициентов уравнения регрессии получены с большей точностью.