Metrik fazolarda bog’lanish

Differensial va hosila orasidagi bog’lanish

Funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi bilan uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi orsidagi bog’lanishni quyidagi teorema ko’rsatadi.

1. teorema.

f ( x)
funksiya
^{x (a, b)} nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi

uchun uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zarurligi.


f (x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada differensiallanuvchi

bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
f ( x)
funksiya
x (a, b)
nuqtadagi orttirmasini (2)

ko’rinishda yozish mumkin. Shu (2) dan

y _{ A } o(x)

x x
tenglikni yozish mumkin. Undan esa
lim ^y  lim[ A  ^o(x)]  A,
x0 _x x0 _x

x (a, b)
nuqtada hosilaning mavjudligi va
f ^(x)  A

bo’lishi kelib chiqadi.

Yetarliligi.


f ( x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada chekli
f ^' (x)
hosilaga ega bo’lsin.

Hosila ta’rifiga ko’ra


f ^' (x)  lim ^y  lim


f (x  x)  f (x)

bo’ladi. Agar

^y  f ^(x)  
x
x0 _x
x0 _x

deb olsak, undan

y 

f ^(x) x   x

ekanini topamiz. Bu tenglikdagi ^ miqdor ^x
ga bog’liq va
x  0
da ^{  0}.

Demak


f ( x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada differensiallanuvchi bo’lib,
A  f ^(x)

bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.

Isbot etilgan teorema
f ( x)
funksiya
x (a, b)
nuqtada chekli
f ^( x)
hosilaga

ega bo’lishi bilan uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi ekvivalent ekanini ko’rsatadi.

3. Differensial hisobning asosiy teoremalari

Ushbu rejada differensial hisobining asosiy teoremalarini keltiramiz. Bu teoremalar kelgusida, ayniqsa funksiyalarni tekshirishda, muhim ro’l o’ynaydi.

2. 
   teorema (Ferma teoremasi).
   

f (x)
funksiya biror  oraliqda aniqlangan

va bu oraliqning ichki ^c nuqtasida o’zining eng katta (eng kichik) qiymatiga

erishsin. Agar bu nuqtada funksiya chekli
f ^(c)
hosilaga ega bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Isbot. Shartga ko’ra
f ( x)
f ^(c)  0

funksiya ^c nuqtada eng katta qiymatga ega, ya’ni

^{x } da
f (x) 
f (c)
tengsizlik o’rinli, shu bilan birga bu ^c nuqtada chekli

f ^' (c)
hosila mavjud. Ravshanki,
_{f ' (c)  lim} f (x)  f (c) _
lim


f (x)  f (c) _
lim


f (x)  f (c) _.

Ammo ^{x  c}

xc

bo’lganda

x  c
xc0
x  c
xc0
x  c

_va x  c

bo’lganda

f (x)  f (c) _{ 0 }
x  c
f (x)  f (c) _{ 0 }
x  c

lim
xc0

lim
xc0
f (x)  f (c) _{ 0}
x  c
f (x)  f (c) _{ 0}
x  c

bo’lishidan
ekani kelib chiqadi.


f ^(c)  0

Shunga o’xshash, funksiya ^c nuqtada eng kichik qiymatga ega va bu nuqtada

chekli
f ^' (c)
hosilaga ega bo’lganda xam
f ^' (c)  0
bo’lishi ko’rsatiladi. Teorema

isbot bo’ldi.

3. 
   teorema (Roll teoremasi)
   

f ( x)


^funksiya ^{a, b}

segmentda aniqlangan,

uzluksiz va
f (a) 
f (b)
bo’lsin. Agar bu funksiya ^{(a, b)}
intervalda chekli
f ^' (x)

hosilaga ega bo’lsa, u holda shunday ^{c (a  c  b)}
nuqta topiladiki,

bo’ladi

Isbot.

f ( x)
^funksiya ^{a, b}
f ^(c)  0
segmentda uzluksiz. Demak, Veyeshtrassning

birinchi teoremasiga ko’ra bu oraliqda funksiya o’zining eng katta qiymati ^M , eng

^{kichik qiymati m larning kamida bittasi} ^{a, b}
segmentning ichki ^{c (a  c  b)}

nuqtasida erishadi. Ferma teoremasiga asosan bu nuqtada

f ^(c)  0

bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.

^{f ( x)} funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirsin. U holda bu

funksiya tasvirlagan egri chiziqda shunday ^{(c, f (c))} nuqta topiladiki, egri chiziqqa

uning bu nuqtasida o’tkazilgan urinma Ox o’qiga parallel bo’ladi.

4. 
   teorema (Lagranj teoremasi)
   

f (x)
^funksiya ^{a, b}
segmentda aniqlangan,

va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiya ^{(a, b)}
intervalda chekli
f ^( x)
hosilaga ega

bo’lsa, u holda shunday ^{c (a  c  b)}
nuqta topiladiki, bu nuqtada

bo’ladi.

f ^' (c) 
f (b)  f (a)


b  a

(11)

Isbot. Shartga ko’ra
f ( x)
^funksiya ^{a, b}
segmentda uzluksiz bo’lib, uning ichki

nuqtalarida chekli
f ^' (x)
hosilaga ega. Bu funksiya yordamida quyidagi

F (x) 


f (x)  f (a) 
f (b)  f (a)


b  a


(x  a)

funksiyani tuzaylik. Ravshanki, bu
F (x)
^funksiya ^{a, b}
segmentda aniqlangan va

uzluksiz bo’lib, ^{(a, b)}
intervalda esa


F ^(x) 
f ^(x) 


f (b)  f (a)


b  a

Hosilaga ega.
F (x)
funksiyaning ^{x  a}
va x  b
nuqtalardagi qiymatlarini

hisoblaymiz:
^{F (a)  F (b)  0} . Demak,
F (x)
funksiya Roll teoremasining barcha

shartlarini qanoatlantiradi. U holda ^a va b orasida shunday ^{c (a  c  b)}
nuqta

topiladiki,
F ^(c)  0
bo’ladi. Shunday qilib,

0  F ^(c) 
f ^(c) 
f (b)  f (a)


b  a

va bundan (11) formula kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

5-teorema (Koshi teoremasi).
f ( x) va


g(x)
^funksiyalar ^{a, b}
segmentda

aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiyalar ^{(a, b)}
intervalda chekli
f ^( x)

va g^(x)
hosilalarga ega bo’lib,
x  (a, b)
uchun
g^(x)  0
bo’lsa, u holda shunday

^c (a  c  b)
nuqta topiladiki,


f (b)  f (a) _
g(b)  g(a)
f ^(c)


g^(c)
(12)

tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. (12) tenglik manoga ega bo’lishi uchun
g(b)  g(a)
bo’lishi kerak. Bu esa

teoremadagi
g^(x)  0
(x  (a, b))
shartdan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar

g(b)  g(a)
bo’lib qoladigan bo’lsa, u holda
g(x)
funksiya Roll teoremasining

barcha shartlarini qanoatlantirib, biror
c (a, b)
nuqtada
g^' (c)  0
bo’lib qoladi. Bu

esa
x  (a, b) da
g^(x)  0
shartga zitdir. Demak
g(b)  g(a) .

Endi
f ( x) va
g(x)
funksiyalar yordamida quyidagi

F (x)  f (x)  f (a) 

funksiya tuzaylik. Bu funksiya [a, b]

^{f (b)  f (a)} [g(x)  g(a)]
g(b)  g(a)
segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lib,

(a, b)
intervalda
F ^' (x)  f ^(x) 
f (b)  f (a) _{ g(x)} g(b)  g(a)

hosilalarga ega. So’ngra
F (x)
funksiyaning ^{x  a} , x  b
nuqtalardagi qiymatlarini

hisoblaymiz:
F (b)  F (a)  0 . Demak,
F (x)
funksiya [a, b]
segmentda Roll

teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun ^a va b lar

orasidagi shunday ^{c (a  c  b)}
topiladiki,
F ^(c)  0
bo’ladi. Shunday qilib,

0  F ^(c)  f ^(c) 
f (b)  f (a) _{ g(c)} g(b)  g(a)

va undan (12) tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi.