Microscopic and Mesoscopic Traffic Models

Fig. 5.6 Sketch of a single cluster

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5.3 Mesoscopic Traffic Models
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∂ P(n, t)
∂t
= w
+
(n − 1)P(n − 1, t) + w
−
(n + 1)P(n + 1, t)
−[w
+
(n)P(n, t) + w
−
(n)P(n, t)]
(5.24)
where w
+
(n) and w
−
(n) are the attachment rate and the rate of vehicles leaving the
cluster when it has size n, respectively. These rates can be considered as constant
values and expressed as w
+
= q, w
−
= 1/τ, where q is the traffic flow before the
cluster and
τ is the characteristic time needed to the first vehicle in the cluster to
leave it and to go out from its downstream boundary at a distance approximately
equal to the headway distance in the free-flow state.
On the basis of the balance equation (
5.24
) and the Fokker–Planck approximation
to calculate mean first passage times or escape rates, it is possible to determine the
dynamics of the traffic pattern formation and, specifically, the time in which the
traffic conditions vary from free-flow to congested, including the influence of the
parameters affecting the discharge and adhesion rates.
The single-cluster case can then be extended to consider the presence of several
clusters of different sizes [
98
]. It is in this case necessary to model the dynamics of
all the sizes of the clusters and to make the transition rates of the attachment and
detachment of individual vehicles to a cluster consistent with the empirical obser-
vations in real traffic. To this end, the analogy with first-order phase transitions and
nucleation phenomena in physical systems (like supersaturated vapour) is exploited.
In order to make a comparison with real measurements, the results are repre-
sented with a Fundamental Diagram of traffic flow (i.e. the steady-state flow–density
relation), and, then, compared with empirical data. It is also possible to analyse dif-
ferent traffic conditions (free-flow, congested mode and heavy viscous traffic) and to
include on-ramp effects.