Microsoft Word 2-mustaqil ish

---

Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi 
Toshkent Axborot texnologiyalari Universiteti 
Qarshi filiali Telekommunikatsiya va Kasbiy ta’lim fakulteti 
Telekommunikatsiya texnologiyalari yo’nalishi 
TT_11-22 guruh talabasi Ziyadova Shahnozaning 
Differensial tenglamalar fanidan tayyorlagan 
2-MUSTAQIL ISHI 

---

Mavzu: Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida taqribiy yechish. 
Reja: 
1. Qatorlar haqida umumiy ma’lumot . 
2. Qatorlarni differensial tenglamalrga tadbiq qilish. 
3. Taqribiy yechish . 
4. Sonli qator tushunchasi . 

---

---

---

Qatorlarni differensial tenglamalarga tadbiq qilish. 
Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish yordamida xar xil differensial 
tenglamalarni taqriban integrallash mumkin. Murakkab nazariy tasavvurlarga 
berilmasdan, xususiy yechimni topishning ikkita usulini qaraymiz. 
Birinchi usul. Differensial tenglama va xususiy yechimini aniqlovchi 
boshlangich shartlar berilgan bo’lsin. Tenglamaning yechimini boshlangich 
shartlar berilgan x
0
nuqta atrofida (x-x
0
)ning darajalari bo’yicha joylashgan 
qatorga yoyish mumkin: 
Hozircha nomalum koeffitsentli bu qatorni tenglamaning tartibi qanday 
bo’lsa shuncha marta differensiallaymiz. Shundan keyin tenglamada 
nomalum funksiya va uning xosilalari o’rniga tegishli qatorlarni qo’yib, 
ayniyatga ega bo’lamiz, undan qatorning nomalum koeffitsentlari 
aniqlaymiz. Bunda qatorning dastlabki koeffitsentlari (ularning soni 
tenglama tartibiga teng) boshlangich shartlardan aniqlanadi. Ayniqsa chiziqli 
tenglamalarni bunday usul bilan yechish qulay.
Ikkinchi usul. Agar tenglama chiziqli bo’lmasa, u holda u o’rniga 
uning qatori yoyilmasi: 

---

ni qo’shib nomalum koeffitsentlarni aniqlash uchun murakkab tenglamalarga 
olib keladi. Bunday xollarda quyidagicha ish ko’rish foydali. Tenglamada u 
ni x ning funksiyasi deb qarab uni bir necha martta differensialanadi. 
Tenglamaning o’zida va uning hosilasida x=x
0
(x
0
uchun boshlangich 
shartlar berilgan) deb olib va boshlangich shartlarni inobatga olgan xolda 
qator koeffitsentlari ketma ket topiladi. 
Birinchi usul bo’yicha:
1-misol. Ikkinchi tartibli chiziqli 
differensial tenglamani 
shartlarda yeching . 
Yechish : x
0
=0 bo’lgani uchun yechimni x ning darajalari bo’yicha tuzilgan 
qator ko’rinishida izlaymiz : 
Bu qatorni ikki martta differensiallaymiz: 
Boshlangich shartlardan foydalanib x=0 qiymatni boshida berilogan 
ikkita qatorga qo’yib dastlabki koeffitsentlarini topamiz: a
0
=1, a
1
=0. 
Shundan keyin berilgan tenglamadagi y va y lar o’rniga ularning 
qator yoyilmalarini qoyib
Ayniyatga ega bo’lamiz xning bir hil darajalari oldidagi koeffitsentlarni 
tenglab topamiz: 

---

Bundan a
0
=1 , a
1
=0 ekanini hisobga olib, quyidagilarni ko’rish oson: 
Boshqacha aytganda . qatorda
Bu qatorning qolgan koeffitsentlari esa nolga aylanadi. 
Shunday qilib biz tenglamaning qator ko’rinishdagi yechimiga ega 
bo’lamiz: 
Bu qator x ning har qanday qiymatida yaqinlashuvchi ekanini 
Dalamber akomati yordamida ko’rsatish mumkin . Shuni qayd qilamizki 
tenglamaning tartibi yordamida yechish usuliga hech bir ta’sir etmaydi . 
Ikkinchi usul bo’yicha : 
Misol. y =x +y tenglama yechimining darajali qatorga yoyilmasining 
bir necha xadini 
boshlangich shartlarda toping. 
Yechish . Yechimi: 

---

Qator ko’rinishida izlaymiz. Malumki bu qatorning koeffitsentlari 
Teylor koeffitsentlaridir , ular y funksiyaning x=1 nuqtadagi hosilalari orqali 
quyidagi formulalar bilan ifodalanadi: 
Bunda ushbu belgilashlar jiritilgan : 
berilgan 
tenglamani 
bir 
necha 
marta 
differensiallaymiz va hosilalarining x=1 nuqtadagi qiymatlarinihisoblaymiz. 
Shunday qilib: 
Xosilalarning 
topilgan 
qiymatlarini 
qator 
koeffitsentlarining 
formulalariga qoyamiz. Quyidagi qiymatlar hosil boladi : 
Shunday qilib tenglamaning:

---

Qator ko’rinishidagi yechimiga ega bo’lamiz . yechishning bu usulini xar 
qanday tartibli tenglamaga qo’llay olamiz. 

---

Foydalanilgan adabiyotlar va saytlar: 
Oliy matematika asoslari 1. Qism Yo.Soatov 
Oliy matematika asoslari 2. Qism Yo.Soatov 
Oliy matematika asoslari 3. Qism Yo.Soatov 
Oliy matematikaga kirish 1-2 qism Toshkent 2011 
www.fayl.org.uz 
www.ziyo.net 
www.arxiv.uz