Microsoft Word sonlar ketma ketligi va uning limiti

lim x  

n  
n

yoki

^x_n ^{ } kabi

Agar har qanday M > 0 son berilganda ham shunday n₀N son topilsaki, barcha n > n₀ uchun x_n > M(x_n < – M ) tengsizlik o’rinli bo’lsa, {x_n} ketma – ketlikning limiti +  (–  ) deb qaraladi.

T a’ r i f. Agar {x_n } ketma – ketlikning limiti cheksiz
u holda {x_n } cheksiz katta miqdor deyiladi.

lim x

n  
n


^{ } , bo’lsa,

Masalan, x_n=2n ketma – ketlik cheksiz katta miqdor bo’ladi,

chunki

lim 2 n  

n  

T a’ r i f. Agar {x_n} ketma – ketlikning limiti 0 ga teng bo’lsa,

lim x
n

n  

^{ 0} , u holda {x_n} cheksiz kichik miqdor deyiladi.

Masalan,

x _n 

1

n  1

ketma – ketlik cheksiz kichik miqdor bo’ladi,

chunki

lim

1 _{ 0 .}

n  

n  1

T e o r e m a. {x_n} ketma – ketlikning a limitga ega bo’lishi uchun ^_n ^{ x}_n ^a

cheksiz kichik miqdor bo’lishi zarur va etarli. Demak, {x_n} ketma –
^{ketlikning limiti a bo’lsa, uning umumiy hadi x}n ⁿⁱ

x_n  a  _n

ko’rinishda yozish mumkin, bunda ^_n
cheksiz

kichik miqdor va aksincha

T a’ r i f. Agar {x_n} ketma – ketlikning limiti chekli son bo’lsa, uni yaqinlashuvchi ketma – ketlik, agar ketma – ketlikning limiti cheksiz yoki ketma – ketlik limitga ega bo’lmasa, uni uzoqlashuvchi ketma – ketlik deyiladi.

x  ^{ n }
n






x  ⁿ

 1 ¹

M i s o l. ⁿ
  ¹

 _{ 1} 

ketma – ketlikda: ⁿ

n 1

n 1 ^.

Ravshanki,


ⁿ n 1

cheksiz kichik miqdor. Demak, berilgan ketma –

ketlikning limiti 1 ga teng:

lim

n _{ 1 .}

n   _{n  1}

1–Lemma. Ikki cheksiz kichik miqdor yig’indisi yana cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
2–Lemma. Chegaralangan ketma – ketlik bilan cheksiz kichik miqdor ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’ladi.

Endi cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog’lanishni keltiramiz:

1⁰. Agar ^{x }

x 0,

n1,2,...
cheksiz kichik miqdor bo’lsa,

^ 1 ^

_{n n}  

 ^x n 

cheksiz katta miqdor bo’ladi.

2⁰. Agar <sup>x

</sup> cheksiz katta miqdor bo’lsa,

^ 1 ^
cheksiz kichik miqdor

n
bo’ladi.

 

 n 
x

Yaqinlashuvchi ketma – ketliklar va ularning хossalari.

Ketma – ketlik limitining mavjudligi (ya’ni yaqinlashuvchi) haqidagi masala muhim masalalardan biridir. Bu masalani hal qilib beruvchi teoremalar mavjud. Biroq ular matematik tahlilning nozik faktlariga asoslanib isbotlanadi.

1–teorema. Agar ^x_n ^
ketma – ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan

chegaralangan bo’lsa, ketma – ketlik chekli limitga ega (ya’ni yaqinlashuvchi) bo’ladi.

2–teorema. Agar ^x_n ^
ketma – ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan

chegaralangan bo’lsa, ketma – ketlik chekli limitga ega (ya’ni yaqinlashuvchi) bo’ladi.

T a’ r i f. Agar ^{  0} son olganda ham shunday n₀ЄN topilsaki, barcha n

> n₀, barcha m > n₀ uchun

x_n  x_m  

tengsizlik bajarilsa, ^x _n ^

fundamental ketma-ketlik deyiladi.

Har qanday yaqinlashuvchi ketma – ketlik fundamental ketma – ketlik bo’ladi.

3–teorema. (Koshi teoremasi). Agar ^x_n ^ ketma – ketlik fundamental ketma

– ketlik bo’lsa, u yaqinlashuvchi bo’ladi.

Yaqinlashuvchi ketma – ketliklar qator хossalarga ega. Bu хossalarni isbotsiz keltiramiz.

1⁰. Agar ^x_n ^

bo’ladi.

ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, uning limiti yagona

2⁰. Agar ^x_n ^ ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, chegaralangan bo’ladi.

3⁰. Agar ^x_n ^

_va y_n 
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

x_n 

y_n 
ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim x
n


n  

 y_n  

lim x

n  
n

 lim y

n  
n

bo’ladi.

4⁰. Agar ^x_n ^

_va y_n 
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

x_n  y_n 
ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim x
n


n  

 y_n  

lim x

n  
n

 lim y

n  
n

bo’ladi.

N a t i j a. Agar ^x_n ^ ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, ^{c  x}_n ^ ketma

– ketlik ham yaqinlashuvchi va bo’ladi, bu yerda c – o’zgarmas son.

lim

n  

c  x_n

 c  lim x

n  
n

5⁰. Agar ^x_n ^

_va y_n 
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib,

y_n  0

n  1,2,3,... _va

lim y  0

n  
n

bo’lsa, u holda

^ x _n ^

 

 ^y n 

_xn lim x_n

ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim

_ n  

bo’ladi.

n   _yn

lim y

n  
n

6⁰. Agar ^x_n ^

_va y_n 

ketma – ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, nN da

x_n y_n

x_n y_n
bo’lsa, u holda

lim x_n

 lim y_n lim x_n

 lim y_n 
bo’ladi.

n

n n

n

7⁰. Agar ^x_n ^

_va z_n 
ketma – ketliklar yaqinlashuvchi va

lim x

n

 lim z  a

n
n

n

bo’lib nN da

x_n  y_n

 z_n

bo’lsa, u

holda ^y_n ^

bo’ladi.
ketma – ketlik ham yaqinlashuvchi va

lim y  a

n 
n

8⁰. Agar ^x_n ^ ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lib,

lim x

n 

^{ a} bo’lsa,

u holda miqdor.

x_n 

a  _n

bo’ladi va aksincha, bunda ^ _n

cheksiz kichik
n

Sonlar ketma-ketliklari limitini hisoblash.
Sonlar ketma – ketligi mavzusining asosiy masalalaridan biri uning limitini topishdan iborat. Ketma – ketliklarning limitlarini topishda ta’rifdan va ketma – ketlik limitining хossalaridan foydalaniladi.

1. 
   – m i s o l. Ketma – ketlik limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang.
   3
   
   

1. 
   lim x_n
   

^{ 1} , agar
x _n 

2 n  1

2 n  1
; b)
lim x_n

^ ₅ , agar

3 n ²  1

x _n 

5 n ²  1

bo’lsa va qaysi n nomerdan boshlab

x _n 

 0,01

tengsizlik bajarilishi ko’rsatilsin.

Y e c h i s h. a) Har qanday ^{  0}

uchun shunday

N ( )

son topiladiki,

n  N ( ) _da

x_n 1  

tengsizlik bajariladi. Buning uchun absalyut qiymat

ayirmasini topamiz:

2n 1 _{1 }

2n 1

 2 2n 1

_ 2 2n 1

Demak,

x_n 1  
tengsizlik bajariladi, agar

²  

2n  1
, bundan

n  ¹  ¹

 2

. Shuning uchun

N ( )
sifatida

1 _ 1

 2
sonning butun qismi, ya’ni

N   ^{ 1}  <sup>1 






 </sup> ni olamiz.

 



2

Shunday qilib, har qanday

  0

uchun N son topiladiki, n>N bo’lganda

x 1  
bajariladi, bu esa
lim

2n  1

 1 _.

n

2. 
   Endi
   

 ³ 

x_n 
8

^{n  } 2n  1
absalyut miqdor farqini topamiz:

5 5(5n ²

 1) ^.

  0

berilgan n ni shunday tanlaymizki

⁸  

5(5n ²  1)

tengsizlik

bajarilsin. Bu tengsizlikni yechib:

_{n2 } 8

 ¹  n  ¹ _.

25 5 5



N  ^





^ deb,



n  N _da



x_n  3,5


  _.

 

Agar

  0,01

bo’lsa,

N  <sup>

</sup>  _

^{  5} , bundan

_{ }  

^{ 3}  0,01; ³  0,01^

ketma – ketlikning 6-hadidan boshlab barcha hadlari ^{ }

 ⁵ 
5

intervalda yotadi.

1

2. 
   – m i s o l. Ushbu 0,1; 0,11; 0,111; … ketma – ketlikning limiti ₉ ga teng.
   

I s b o t. Buning uchun

¹  0,1  ¹  ¹ _; ¹  0,11  ¹ _< ¹ _{… ,}

9 9 10 10 9

9 100

100

¹  0 ,11

... 1 

1 _ 1

ekanligini e’tiborga olib,

¹  a

9

n ta raqam

9  10

ⁿ 10 ⁿ 9 ⁿ

ayirma 0,11… davriy kasrda o’nli kasr хonalarini yetarli darajada ko’proq olish

bilan iхtiyoriy kichik ^{  0} sondan ham kichik bo’lishi mumkin ekanligini ko’rish

1

oson. Demak, berilgan ketma – ketlik limiti ₉

3. 
   – m i s o l.
   

ga teng.

_a) f (x)  x³
funksiya

x  0
da (ya’ni nol atrofida);

_b) f (x)  (x  3)²

funksiya

^{x  3} nuqta atrofida;

c) ^f

( x )  sin( x  a )
funksiya

x  2
nuqta atrofida va shuningdek 2-kП

nuqtalardan istalgan birining atrofida cheksiz kichik funksiyalardir.

^ 2 n ³ 1  5 n ^{2 }

3. 
   – m i s ol.
   

lim

^  ^

2 n ²  3 5 n  1

ni toping.

n   _{ }

Y e c h i s h. Agar yig’indining limiti хossasidan foydalansak, har bir qo’shiluvchi cheksiz katta miqdor bo’lib, chegaralanmagan. Shuning uchun ular limitga ega emas; kasrlarni qo’shsak:

2n³ 13n²  3

^{xn } 10n³  2n² 15n  3 ^{. Bundan}

lim x

 lim

2  ¹³ 

n
10

3

_n 3 _{ 1}

n   ⁿ

n  

_ 2 _ 15 _ 3 ₅

n n ² n ³

I z o ҳ. Limitni hisoblashda kasrning surat va maхrajini n ning eng yuqori darajasi (n=3) ga bo’ldik.

lim

5n ²  3

 lim

5  ³

_n 2

 ⁵ 

2,5

3. 
   – m i s o l.
   

n  

2 n ²

 n  2

^{n  } 1 2 ₂

n n ²




2

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar.

1. 
   Sonli ketma-ketlik limiti
   

lim a_n  a

n  

ekanligi isbotlansin. ( N ( )

ko‘rsatilsin)

1. 
   ^a
   

_ 2n  2 _{; a } 2

2. ^a

_ 5n  4 _{; a } 5

ⁿ 3n  1 3 ⁿ 3n  1 3

3. 
   ^an
   

_ 2n  1 _{; a } 2 3n  2 3

n³  1 1

4. 
   ^an
   

 ^{5n  1} ; a  5

n  1

4n²  1

5. 
   ^an
   

^ 2n³  1 ^{; a } 2

6. 
   ^an
   

 _{2n2  1} ; a  2

7. 
   ^an
   

_ n  1 2n  1

; a  ¹

2

8. 
   ^an
   

_ n  1 1  2n

; a  ¹

2

9. ^a

_ 3n  1 _{; a } 3

10. ^a

_ 5n  2 _{; a } 5

ⁿ 2n  1 2 ⁿ 3n  1 3

11. 
    
    

_{a } 3n  4 _{; a } 3

ⁿ 2n  1 2

12. 
    
    

a  ^{3n  4} ; a  1

ⁿ 3n  1

13. 
    
    

a_n 

^{ 6n} ; a  6

n  1

14. 
    
    

a  ⁷ⁿ ; a  <sup>1

n</sup> 14n  1 2

15. 
    
    

a_n 

2n²  1

n²  3

; a  2

16. 
    
    

a_n 

n  1 3n

; a  ¹

3

2. 
   Sonli ketma-ketlik limiti hisoblansin.
   

1. lim

n

(n  2)³  (n 1)³

(n  3)³  (n  4)³

2. lim

n

(4  n)²  (4  n)²

(4  n)²  (2  n)²

3. lim

n

(1  n)²  (1  n)²

(2  n)²  (2  n)²

4. lim

n

(1  n)⁴  (1  n)³

(2  n)⁴  (2  n)³

5. lim

n

(2  n)³  n³

(1 2n)²  4n²

6. 
   lim
   

n

(2  n)²  (2  n)³

(1 n)³

7. lim

n

(n  3)³  (n  2)³

(n  2)⁴  (n  1)⁴

8. lim

n

(n  2)²  (n  3)²

(n  2)³  (n  3)³

9. lim

n
(n 1)³  (n 1)³

n⁴ 1

(2n  3)²

10. 
    
    

lim

n
(n  1)³  (n  1)³

(n  1)⁴  (n  1)⁴

1  (n  1)³

11. 
    
    

lim

n

(n  2)³  (n  2)³

12. 
    
    

lim

n

(2  n)³

13. 
    
    

lim

n

(n  3)³  (n  2)³

(n  1)³  (n  1)³

14. 
    
    

lim

n

(n  3)³  (n  1)³

(n  3)²  (n  2)²

3. 
   Sonli ketma-ketlik limiti hisoblansin.
   

_ n  2 _ⁿ

1. lim _{ n  1 }

^ n³  ^n3

lim
 ¹ 

2.

n³  1

n _



ⁿ 1

n _



n 1

 

_{3. lim } n  4 _{ 4}
 




n ^{n 2}

_{4. lim } 10n  2 _

n ^{10n 8}


   

^ n³ 

_n 2

^ n²  5n  4 ^{2n 1}

_5. lim ^{ 1 }

6. lim ^{ }

n ^{ n3  2 } n ^{ n2  6n  5 }

   

^8. 2

_{ n  2 }1 n

^ 2n ²

• 
  4n ^n
  

6. 
   lim _{ n  3 }
   

lim ^

2n

 4n  1 ^

n _{ } ^n _{ }


FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   Ё. У. Соатов Олий математика. I, II ва III жилдлар, Т.: Ўқитувчи, 1992, 1994 й.
   
2. 
   Т. Ш. Шодиев Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра, Т.: Ўқитувчи, 1984 й.
   
3. 
   Б.А. Абдалимов ва бошқалар. Олий математикадан масалалар ечиш бўйича қўлланма. Т.: Ўқитувчи, 1985, 1994 й.
   
4. 
   Н.С. Пискунов Дифференциал ва интеграл ҳисоб, I, II жилдлар Т.: Ўқитувчи, 1974 й.
   
5. 
   В. П. Минорский Олий математикадан масалалар тўплами. М.: Наука, 1987 й.