Misol. Xulosa. Kvantorlar

2- misol. To‘g‘ri chiziqlar to‘plamida aniqlangan : « » predikatni ko‘raylik. Agar predikatga nisbatan kvantorli amallarni tadbiq etsak, u holda quyidagi sakkizta mulohazaga ega bo‘lamiz:
1. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq har qanday to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
2. – «Shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, u har qanday to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
3. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq uchun shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chizig‘i to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
4. – «Shunday to‘g‘ri chiziq va shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
5. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq har qanday to‘g‘ri chiziqqga perpendikulyar».
6. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq uchun shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqqga perpendikulyar».
7. – «Shunday to‘g‘ri chiziq va shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
8. – «Shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, u har qanday to‘g‘ri
chiziqqa perpendikulyar». ■
Bu misoldan ko‘rinib turibdiki, umumiy holda kvantorlar tartibi o‘zgarishi bilan mulohazaning mazmuni va, demak, uning mantiqiy qiymati ham o‘zgaradi.
Chekli sondagi elementlari bo‘lgan to‘plamda aniqlangan predikat berilgan bo‘lsin. Agar predikat aynan chin bo‘lsa, u holda mulohazalar ham chin bo‘ladi. Shu holda mulohaza va kon’yunksiya ham chin bo‘ladi.
Agar hech bo‘lmaganda bitta element uchun yolg‘on bo‘lsa, u holda mulohaza va kon’yunksiya ham yolg‘on bo‘ladi. Demak,
teng kuchli ifoda to‘g‘ri bo‘ladi.
Yuqoridagidek fikr yuritish yo‘li bilan
teng kuchli ifodaning mavjudligini ko‘rsatish mumkin.
Bu yerdan kvantorli amallarni cheksiz sohalarda kon’yunksiya va diz’yunksiya amallarining umumlashmasi sifatida qarash mumkinligi kelib chiqadi.
Kvantorlar va ularning turlari.
P(x) predikat uchun qŏyidagi ŏzgarmas mulohazalarni qaraylik:

x P(x):=”barcha (ixtiyoriy) x uchun P(x)”

x P(x):=”biror x uchun P(x)”,

bu erda  va  belgilar mos ravishda umumiylik va mavjudlik kvantorlari deyiladi.

Shunga ŏhshash belgilar dastlab 1879 yilda Fregening «Begriffsschrift» («Tushunchalar hisobi») kitobida keltirilgan bŏlib, xozirgi kŏrinishda Peanoning «Formulaire de Mathematiques» kitobida ilk bor uchraydi. «Kvantor» terminini 1885 yilda Ch. Pirs kiritgan.

Shŏyidagi misollarda x natural sonni bildiradi.

1. (x ) (2x – juft son) 
2. (x ) x>0 
3. (x ) x 2 ga qoldiqsiz bŏlinadi.
4. (x ) x > 2 .
Mulohazalarni mantiqiy belgilar yordamida yozish.

Matematik mulohazalarni mantiqiy belgilar yordamida yozish uchun odatda chekli sondagi asosiy predikatlar tanlab olinib, qolgan xossa va munosabatlar ushbu predikatlar hamda erkli ŏzgaruvchilar yordamida yordamida tuzilgan ta’rif, teoremalar orqali ifodalanadi.

Misol. P(x)=” x - tŏrtburchak”, Q(x)=” x - kvadrat” predikatlar berilgan bŏlsa, u holda “ixtiyoriy kvadrat tŏrtburchakdir” mulohaza x Q(x) P(x) kŏrinishda, ” Ba’zi tŏrtburchaklar kvadratdir” mulohaza esa x Q(x) P(x) kŏrinishda yoziladi.
Predikatli formulalar. 
Bu erda biz isbotsiz muxim bŏlgan tavtologiyalarni keltiramiz.

1. 
    (x P(x))  x (  P(x))
   “P(x) barcha x uchun ŏrinli emas “ “P(x) ni qanoatlantirmaydigan x mavjud“
   

1. 
    ( x P(x))  x (  P(x))
   

“P(x) birorta x uchun ŏrinli emas “ “Barcha x P(x) qanoatlantirmaydi“

1. 
   x P(x)   x (  P(x))
   
2. 
   x P(x)   x (  P(x))
   
3. 
   xP(x)  x Q (x)  x (P(x)  Q (x))
   
4. 
   xP(x)  x Q (x)  x (P(x)  Q (x))
   

Isbotlash usullari
Matematikada kŏp teoremalar