Многофакторный регрессионный анализ

Многофакторный регрессионный анализ
В действительности на результативный признак влияет, как правило, не один фактор, а множество различных одновременно действующих факторных признаков. Так, себестоимость единицы продукции зависит от количества произведенной продукции, цены закупки сырья, заработной платы работников и производительности их труда, накладных расходов.
Количественно оценить влияние различных факторов на результат, определить форму и тесноту связи между результативным признаком у и факторными признаками x_it х₂,...»х* можно, используя многофакторный регрессионный анализ, который сводится к решению следующих задач:

• 
  — построение уравнения множественной регрессии;
  
• 
  — определение степени влияния каждого фактора на результативный признак;
  
• 
  — количественная оценка тесноты связи между результативным признаком и факторами;
  
• 
  — оценка надежности построенной регрессионной модели;
  
• 
  — прогноз результативного признака.
  

Уравнение множественной регрессии характеризует среднее изменение у с изменением двух и более признаков-факторов: у = /(лг_р x_v x_k).
При выборе признаков-факторов, включаемых в уравнение множественной регрессии, нужно прежде всего рассмотреть матрицы коэффициентов корреляции и выделить те переменные, для которых корреляция с результативной переменной превосходит корреляцию с другими факторами, т.е. для которых верно неравенство

Не рекомендуется совместно включать во множественную регрессию
объясняющие переменные, тесно связанные между собой: при г > 0,7
У' j
переменные и х_} дублируют друг друга, и совместное включение их в уравнение регрессии не дает дополнительной информации для объяснения вариации у. Линейно связанные переменные называются коллинеар- ными.
Нс рекомендуется включать в круг объясняющих переменных признаки, представленные как абсолютные и как средние или относительные величины. Нельзя включать в регрессию признаки, функционально связанные с зависимой переменной у, например, те, которые являются составной частью у (скажем, суммарный доход и заработная плата).
Наиболее простым для построения и анализа является линейное уравнение множественной регрессии:

Интерпретация коэффициентов регрессии линейного уравнения множественной регрессии следующая: каждый из них показывает, на сколько единиц в среднем изменяется у при изменении .г, на свою единицу измерения и закреплении прочих введенных в уравнение объясняющих переменных на среднем уровне.
Так как все включенные переменные х_х имеют свою размерность, то сравнивать коэффициенты регрессии Ь_{ нельзя, т.е. по величине Ъ_х нельзя сделать вывод, что одна переменная влияет сильнее на г/, а другая слабее.
Параметры линейного уравнения множественной регрессии оцениваются методом наименьших квадратов (МНК). Условие МНК: или 

Условие экстремума функции равенство нулю частных производных первого порядка данной функции:

Отсюда получаем систему нормальных уравнений, решение которой дает значения параметров уравнения множественной регрессии:

При записи системы уравнений можно руководствоваться следующим простым правилом: первое уравнение получается как сумма п уравнений регрессии; второе и последующее — как сумма п уравнений регрессии, все члены которой умножены на затем на х₂ и т.д.
Параметры уравнения множественной регрессии получаем через отношение частных определителей к определителю системы:

Рассмотрим построение уравнения множественной регрессии на примере линейной двухфакторной модели:

Представим все переменные как центрированные и нормированные, т.е. выраженные как отклонения от средних величин, деленные на стандартное отклонение. Обозначим преобразованные таким образом переменные буквой t

Тогда уравнение множественной регрессии примет следующий вид: 
где p_t и р₂ — стандартизированные коэффициенты регрессии (бс га-коэф- фициенты), определяющие, на какую часть своего среднеквадратического отклонения изменится у при изменении Xj на одно среднеквадратическое отклонение.