Model uchun foydalanuvchi talablari

1.2 Uchun raqamli usullardaner-xotin

Matematik model uchun muammoni hal qilish uchun dastlabki ma'lumotlardan kerakli natijani olish algoritmini ko'rsatish kerak.

Eritma algoritmlari an'anaviy ravishda quyidagilarga bo'linadi:

yakuniy natijani cheklangan sonli harakatlarda olishga imkon beradigan aniq algoritmlar;

taxminiy usullar - ba'zi taxminlar tufayli muammoning echimini aniq natija bilan kamaytirishga imkon beradi;

sonli usullar - berilgan boshqariladigan xato bilan echimni ta'minlovchi algoritmni ishlab chiqishni o'z ichiga oladi.

Strukturaviy mexanikadagi muammolarni hal qilish katta matematik qiyinchiliklar bilan bog'liq bo'lib, ularni sonli usullar yordamida yengib chiqiladi, bu esa kompyuterlardan taxminiy echimlarni olishga imkon beradigan, ammo amaliy maqsadlarni qondiradigan.

Raqamli echim chegara masalasini diskretlash va algebraizatsiya qilish yo'li bilan olinadi. Diskretizatsiya - uzluksiz to'plamni diskret nuqtalar to'plami bilan almashtirish. Ushbu nuqtalar panjara tugunlari deb ataladi va faqat ularda funktsiya qiymatlari qidiriladi. Bunday holda, funktsiya panjara nuqtalarida uning qiymatlarining cheklangan to'plami bilan almashtiriladi. Tarmoq nuqtalaridagi qiymatlardan foydalanib, siz qisman hosilalarni taxminiy hisoblashingiz mumkin. Natijada, qisman differentsial tenglama algebraik tenglamalarga aylanadi (chegara masalasini algebraizatsiyasi).

Diskretizatsiya va algebraizatsiyani amalga oshirish usullariga qarab har xil usullar ajratiladi.

Chegaraviy masalalarni echishda birinchi bo'lib keng qo'llaniladigan usul bu chekli farq usuli (FCD). Ushbu usulda diskretizatsiya eritma maydonini panjara bilan qoplash va uzluksiz nuqtalar to'plamini diskret to'plam bilan almashtirishdan iborat. Doimiy intervalli (odatiy panjara) panjara ko'pincha ishlatiladi.

MCS algoritmi uch bosqichdan iborat:

1. Ma'lum bir sohada mesh qurish. Funktsiyaning taxminiy qiymatlari (tugun qiymatlari) panjara tugunlarida aniqlanadi. Tugun qiymatlari to'plami - bu panjara funktsiyasi.

2. Qisman hosilalar farqli ifodalar bilan almashtiriladi. Bunday holda, uzluksiz funktsiya panjara funktsiyasi bilan taxmin qilinadi. Natijada algebraik tenglamalar tizimi hosil bo'ladi.

3. Hosil bo'lgan algebraik tenglamalar tizimining echimi.

Boshqa bir sonli usul bu chegara elementlari usuli (BEM). U faqat domen chegaralarida o'zgaruvchilar qiymatlarini o'z ichiga olgan tenglamalar tizimini ko'rib chiqishga asoslangan. Namuna olish sxemasi faqat sirtni bo'linishni talab qiladi. Mintaqaning chegarasi bir qator elementlarga bo'linadi va dastlabki chegara masalasiga yaqinlashadigan taxminiy echimni topish kerak deb hisoblanadi. Ushbu elementlar chegara elementlari deb ataladi. Faqatgina chegarani diskretizatsiyasi muammo uchun butun tanani diskretizatsiyasiga qaraganda kichikroq tenglamalar tizimiga olib keladi. IGE asl muammoning o'lchamini bittaga kamaytiradi.

Turli xil texnik ob'ektlarni loyihalashda cheklangan element usuli (FEM) keng qo'llaniladi. Cheklangan element usulining paydo bo'lishi 50-yillarda kosmik tadqiqotlar muammolarini hal qilish bilan bog'liq. Hozirgi vaqtda cheklangan elementlar usulini qo'llash sohasi juda keng va differentsial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan barcha jismoniy muammolarni qamrab oladi. Cheklangan element usulining eng muhim afzalliklari quyidagilardan iborat:

1. Qo'shni elementlarning moddiy xususiyatlari bir xil bo'lishi shart emas. Bu usulni bir nechta materiallardan tashkil topgan jismlarga qo'llashga imkon beradi.

2. Egri mintaqani to'g'ri elementlar bilan taxmin qilish yoki egri elementlar bilan to'liq tavsiflash mumkin.

3. Elementlarning o'lchamlari o'zgaruvchan bo'lishi mumkin. Bu, agar kerak bo'lsa, maydonni elementlarga bo'lish uchun meshni kattalashtirish yoki yaxshilashga imkon beradi.

4. Cheklangan elementlar usulidan foydalanib, sirt yuki buzilgan chegara shartlarini, shuningdek aralash chegara sharoitlarini ko'rib chiqish qiyin emas.

FEM muammolarini hal qilish quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:

1. Berilgan maydonni cheklangan elementlarga bo'lish. Tugunlarni va elementlarni raqamlash.

2. Cheklangan elementlarning qattiqlik matritsalarini qurish.

3. Tugun kuchlariga cheklangan elementlarga qo'llaniladigan yuklarni va harakatlarni kamaytirish.

4. Umumiy tenglamalar tizimini shakllantirish; undagi chegara shartlarini hisobga olgan holda. Olingan tenglamalar tizimining echimi.

5. Sonli elementlardagi kuchlanish va shtammlarni aniqlash.

FEM-ning asosiy kamchiliklari - bu butun tanani diskretizatsiya qilish zarurati, bu juda ko'p sonli elementlarga olib keladi va shuning uchun noma'lum vazifalar. Bundan tashqari, FEM ba'zan o'rganilayotgan miqdorlarning uzilishlariga olib keladi, chunki usul protsedurasi faqat tugunlarda uzluksizlik shartlarini yuklaydi.

Muammoni hal qilish uchun cheklangan element usuli tanlandi, chunki bu murakkab geometrik shaklga ega tuzilmani hisoblash uchun eng maqbuldir.