Модельдеу әдістері

4.3 Теңдеулерді сызықтандыру
Модельдерді қарапайымдаудың бір әдісі алынған теңдеуді сызықтандыру болады, басқа сөзбен айтқанда сызықты математикалық модельге көшу.
Процестердің динамикасын модельдеудің соңғы мақсаты динамикалық сипаттамаларын анықтау үшін алған модельдерді басқару жүйелерде қолдану болып табылады. Сондықтан міндетті түрде теңдеулердің шешімін табу керек. Сызықты дифференциалдық теңдеулер жеңіл шешіледі. Бірақ объекттің жүріс-тұрысын әр кезде сызықты теңдеумен бейнелеу мүмкін емес. Сондықтан сызықты емес тәуелділіктер аргументтердің берілген диапазонында сызықты өрнектермен жуықталады. Басқа сөзбен айтқанда, кірудегі аргументтердің берілген диапазонында сызықты емес теңдеулер сызықты теңдеулермен алмастырылады, сызықтандырылады. Сызықты объектілерде кірудегі және шығудағы сигналдар арасындағы байланыс беріліс функциямен жеңіл бейнеленеді. Сызықтандыру әдетте сызықты емес теңдеулерді бастапқы стационарлы режим аймағында Тейлор қатарына жіктеу жолымен орындалады. Жіктеудің тек қана сызықты мүшелерін қалдырып, соңынан теңдеулерден статика теңдеулерін алып тастаймыз. Осы жолмен алынған объект моделі бастапқы стационарлы режимнен кіші ауытқуларда орындалады.
5 дәріс. Жинақталған параметрлері бар объектілерді аналитикалық әдістермен модельдеу
Дәрістің мазмұны:
- жинақталған параметрлері бар объекттерді модельдеудің аналитикалық әдістері.
Дәрістің мақсаты:
- жинақталған параметрлері бар объекттерді модельдеудің негізгі аналитикалық әдістерін мысалдарда оқып білу.
Жинақталған параметрлері бар объекттердің дифференциалдық теңдеулерін құрастырғанда әдетте материалды және жылулық баланс теңдеулерін қолданады.
Материалды баланс заңы бойынша бекітілген кеңістікте зат массасының уақыт бірлігінің өзгеруі кірудегі және шығудағы ағындардың алгебралық қосындысына тең:
(5.1)
мұнда: D_i (i=1,k) – i-ші кірудегі ағынның массалық шығыны, D_j (j=1,r) - j-ші шығудағы ағынның массалық шығыны, G – қарастырылып отырған көлемдегі зат массасы,, t -уақыт.
Сол сияқты уақыт бірлігінде заттың энтальпиясының өзгеруі қарастырылып отырған затқа жылуды әкелетін (немесе алып кететін) жылулық ағындардың алгебралық қосындысына тең:
, (5.2)
мұндағы Q_i (i=1,k) – i-ші кірудегі жылу ағыны, Q_j (j=1,r) - j-ші шығудағы жылу ағыны, I – дене энтальпиясы.
Әртүрлі процестердің олардың әртүрлі жүріс-тұрысындағы жалпы модельдеу теориясын орнату мүмкін емес. Сондықтан негізгі масса, энергия, қозғалыс мөлшерін сақтау заңдарын қолдануды көрнекі көрсету үшін бірсыпыра мысалдарды қарастырамыз.
5.1 мысалы. Резервуардағы сұйықтық деңгейін реттеу моделі.
Тәуелсіз кірудегі G_к(t) ағыны және шығудағы тәуелді G_ш(t) ағыны бар ағу резервуар біздің зерттеу объектіміз болып табылады. Шығудағы ағын көлемі саңылаудан жоғары орнатылған сұйықтықтың H деңгейінен және саңылаудың f_c кесіндісінен тәуелді.
Объекттің математикалық моделін жасағанда келесі теңдеулер қолданылады.
Жүйенің материалды баланс теңдеуі (М – жинақтағы сұйықтық қоры):
(5.3)
Бірақ G_с тәуелсіз айнымалы болып табылмайды, ол М шамасының функциясы. Гидродинамика заңына сәйкес саңылаудан шыққан ағын қозғалысты сақтау заңдылығына бағынды. Ол келесі теңдеумен көрсетіледі:
(5.4)
мұнда μ – шығын коэффициенті, f_c –саңылау қимасының ауданы, g - еркін құлау үдеуі, H - резервуардағы сұйықтық деңгейі.
Бірнеше жағдайларды қарастырайық.
а) Жүйенің тепе-теңдік жағдайдағы жүріс-тұрысын зерттейік. Тепе-теңдік деп уақыт бойынша күй координаттарының (бұл арада Н және G_ш) өзгермеуін түсінеміз. Тепе-теңдік жағдайда резервуарда зат мөлшері өзгермейді, сондықтан 
Сонымен материалдық баланс теңдеуі келесі анық өрнекпен көрсетіледі:

Басқа жақтан қарасақ, математикалық көзқарасы бойынша тепе-теңдік жағдайда барлық күй координаттарының туындылары нөлге тең болады
сондықтан 
Осыдан келесі шығады
немесе
Нәтижесінде келесіні аламыз
(5.5)
(5.4) өрнегін (5.5) теңдеуіне қойып резервуардағы сұйықтық деңгейін есептеуге келесіні аламыз
.
Сонымен, тепе-теңдікте болатын жүйенің математикалық моделін келесі түрде жаза аламыз
немесе
мұндағы x₁ = G_к, x₂ = f_c; y₁ = G_ш, y₂ = H - модель айнымалылары, 
p =  - параметрі.
Бұл модель статикалық болып табылады, модельдің атауы объекттің тепе-теңдік жағдайдағы статикалық күйімен байланысты.
б) Сұйықтығы бар резервуардың тепе-теңдікті орнатпай, жалпы кездегі жүріс-тұрысын зерттеу керек.
Резервуардағы саңылаудан жоғары орнатылған сұйықтық мөлшері келесі өрнектен анықталады:
,
мұнда F – резервуар қимасының ауданы, ρ – тығыздылық.
F пен ρ шамалары тұрақты яғни F= F₀, ρ= ρ₀ деп есептеп және орнына (5.4) өрнекті қолданып, келесі дифференциалды теңдеуді аламыз
(5.6)
Бұл теңдеуді жалпы түрде келесідей жазуға болады

(5.4) өрнекті де келесі жалпы түрге келтіруге болады

Сонымен, екі белгісіз айнымалысы бар екі теңдеуден тұратын жүйе
(5.7)
сұйықтығы бар резервуардың динамикалық моделі болады. Динамика жүйе күйінің өзгеруімен байланысты.
Бұл мысалда статикалық модель динамикалық модельдің жеке түрі болады. Мұндай жағдай міндетті түрде орындалмайды. Әдетте, модельдердің осындай екі түрі бір-бірін толықтырады.
в) Сұйықтығы бар резервуардың сызықтандырылған динамикалық моделін алайық. Бастапқы тепе-теңдік жағдай t₀ уақытына сәйкес деп есептейміз.
Бастапқы тепе-теңдік жағдайдағы жүйе күйінің координаттарын статикалық модельден аламыз. Сонда

.
Теңдеулер жүйесінде негізгі сызықсыздықты орнататын (5.4) өрнегі. Оны Тейлор қатарына жіктеп, жіктеудің тек қана сызықты мүшелерін қалдырамыз
(5.8)
Қатардың коэффициенттерін анықтаймыз

Бастапқы тепе-теңдік күйді есепке алып, модельде тек қана айнымалылардың өзінің бастапқы мәндерінен ауытқуын зерттейміз
(5.9)
Сонда:

Бұл теңдеу сызықтандырылған модельдің бірінші теңдеуі болады. Келесілерді есепке алып
және ,
сызықтандыру (5.8) нәтижесін (5.5) –ке қойып, келесіні аламыз
.
Келесі
y_{1 =} ΔG_ш, y₂ = ΔΗ, x₁ = ΔG_к және x₂ = Δf_c,
белгілеулерді қолданып, сұйықтығы бар резервуардың сызықтандырылған динамикалық моделін келесі теңдеулер жүйесімен көрсетуге болады
(5.10)
Мұнда

Модельдің жалпы (5.7) түрі толығымен (5.10) теңдеумен сәйкес, тек қана φ₁ және φ₂ функциялары өзгереді.
k_i және T - теңдеулер коэффициенттері, сызықтандырылған модельдің параметрлері болып табылады және өтпелі процесс алдындағы тепе-теңдік жағдайдан тәуелді. Сондықтан, модельденетін объекттің бастапқы күйлері  өзгерсе, модель параметрлерінде қайтадан табу керек болады.
Режимдердің кең диапазонында сипаттамаларының шұғыл өзгеретін жағдайларында объектті модельдеу қажет болса, сипаттамаларды координаттар өзгеретін бөлек бөліктерде сызықтандырады. Сонда сызықты емес объект сызықты тәуелділіктер жиынтығымен бірге олардың орындалатын диапазонын білдіретін логикалық өрнектермен белгіленеді.