Моделирование температурной зависимости осцилляций Шубникова-де Гааза в полупроводниках

II. Теоретический анализ
Когда электрическое и магнитное поля направлены одинаково, ток образуется неквантованным движением носителей заряда. Мы рассмотрим зависимости продольного сопротивления от магнитного поля и температуры в полупроводниках. В этом случае для каждого уровня Ландау можно ввести свою больцмановскую функцию распределения и свое время релаксации _N. Функция распределения удовлетворяет кинетическому уравнению [8]:
. (1)
Ток, связанный с N-м квантовым уровнем, может быть вычислен обычным путем:
. (2)
В результате получаем проводимость по оси z в сильном магнитном поле [8]:
. (3)
Здесь _c  циклотронная частота; _N(E)  время релаксации по энергии. Время релаксации возьмем в следующем виде:  = ₀E^r. Показатель степени r имеет различные значения для разных механизмов рассеяния. Например, в случае рассеяния на акустических колебаниях и ионах примеси показатель степени равен соответственно 1/2 и 3/2 [9]; N_s(E_N, H)  плотность состояний в квантующем магнитном поле при абсолютном нуле температуры; f₀(E)/E  производная по энергии от функции распределения Ферми-Дирака. Для анализа этой функции рассмотрим ее производную по энергии:
. (4)
В работе [10] обсуждалось определение термодинамической плотности состояний в сильном магнитном поле. Термодинамическая плотность состояний такой системы представляет собой набор дельта-функционных пиков, отстоящих друг от друга на .
Термическое уширение будет учитываться с помощью производной по энергии функции распределения Ферми-Дирака df₀(E, , T)/dE. При абсолютном нуле темпе­ратуры функция df₀(E, , T)/dE превратится в дельта-функцию Дирака. Исследова­нием плотности состояний с помощью разложения в ряд по функциям df₀(E,,T)/dE удалось объяснить температурную зависимость энергетических щелей в полупроводниках [6]. Результирующая плотность состояний, учитывающая вклад термического уширения всех состояний, будет описываться суммой всех уширений в рассматриваемой области энергий. Математически это сводится к разложению в ряд плотности состояний N_s(E,Н,T) при температуре Т по функциям df₀(E,,T)/dE. Причем коэффициентом разложения N_s(E_N,Н) является плотность энергетических состояний без учета термического уширения уровней. При стремлении к абсолютному нулю термодинамическая плотность состояний превратится в коэффициент разложения в ряд по функциям df₀(E,,T)/dE. Отсюда мы определяем температурную зависимость осцилляций ШдГ в квантующем магнитном поле:
(5)
и продольное сопротивление .
В результате мы получили осцилляции ШдГ при низких температурах с помощью формулы (5). На рис. 1 приведена зависимость продольного сопротивления от сильного магнитного поля при температуре Т = 5 К при числе уровней Ландау N = 10. Каждая осцилляция амплитуды соответствует одному дискретному уровню Ландау. Таким образом, осцилляции плотности состояний наблюдаются при температурах . С ростом магнитного поля амплитуда осцилляций продольного магнетосопротивления увеличивается. С ростом температуры амплитуда таких осцилляций уменьшается.

Рис. 1. Осцилляции Шубникова-де Гааза при температуре Т=5 К, вычисленная по формуле (5) для  = ₀ E^1/2.

На рис. 2 приведены осцилляции ШдГ при разных температурах. Как видно из рисунка, с ростом температуры уменьшаются резкие пики амплитуды осцилляций ШдГ, обусловленные квантованием уровней Ландау. На рис. 3 показано трехмерное изображение осцилляций продольного сопротивления, полученное по формуле (5). На этом рисунке продольное сопротивление изменяется по температуре и по магнитному полю. Как видно из рисунков, амплитуды осцилляций ШдГ исчезают при Т=80 К. Это трехмерное изображение получено для механизма рассеяния на акустических колебаниях. Такие же графики можно получить и для других механизмов рассеяния.

Рис. 2. Влияние температуры на осцил­ляции Шубникова-де Гааза, рассчитанные по формуле (5) для  = ₀E^1/2.

Рис. 3. Трехмерное изображение осцил­ляций Шубникова-де Гааза, вычисленных по формуле (5) для  = ₀E^1/2.