Mundarija kirish aniq integrallarni taqribiy hisoblash. Eng sodda interpolyatsion kvadratur formula to‘G’ri to‘rtburchaklar formulasi trapetsiyalar formulasi

Kurs ishining maqsadi. Aniq integrallarni taqribiy hisoblash, trapetsiya va Simpson kvadratur formulalari va ularning xatoliklari, Monte-Karlo usuli haqida o`rganib, bilimlarni amaliyotda qo`llash.

ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASH. ENG SODDA INTERPOLYATSION KVADRATUR FORMULA

Bizdan aniq integralni hisoblash talab qilingan bo‘lsin. Agar f(x) funktsiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu masalani umumiy holda Nyuton-Leybnits formulasi

(1)
yordamida hal qilinadi. (F(x)=f(x)). Ammo ma’lumki, ko‘pchilik funksiyalarning boshlang’ich funktsiyalari (aniqmas integrallari) elementar funktsiyalar bo‘lmasligi mumkin. Undan tashqari, boshlang’ich funktsiya elementar bo‘lgan ba’zi hollarda (1.1) formulaning o‘ng tomoni hisoblash uchun amaliy jihatdan yaroqsiz (noqulay) bo‘lishi mumkin.

Bunday hollarda integralni taqribiy hisoblash formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu formulalar, asosan, integralning geometrik ma’nosiga suyangan holda chiqariladi. Ma’lumki, integral y=f(x) egri chiziq, x=a va x=b to‘g’ri chiziqlar hamda abtsissalar o‘qi bilan chegaralangan xOy koordinatalar tekisligidagi egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (f (x)>0 deb faraz qilamiz).

1.1-rasm

Endi S= integralni taqribiy hisoblash maqsadida, kesmani n ta bo‘laklarga bo‘linadi va bo‘linish nuqtalarini (tugunlarini) o‘sish tartibida:
a=x₀ <x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b ko‘rinishida belgilanadi. U holda, integral
(2) ekanligini payqash qiyin emas.
Ta’rif. Agar (2) kvadratur formula m-darajali ixtiyoriy algebraik ko‘phadlar uchun aniq bo‘lib, f ( x ) = uchun aniq bo‘lmasa, u holda uning algebraik aniqlik darajasi m ga teng deyiladi.
Interpolyatsion kvadratur formula
Faraz qilaylik, [ a,b] oraliqda o‘zi va n + 1 tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyadan p(x) > 0 vazn funksiya bilan olingan integralni taqribiy hisoblash lozim bo‘lsin. Buning uchun [ a,b] ga tegishli va turli bo‘lgan , k = 0,l,...n tugun nuqtalar olib f(x) fimksiyaning n-tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadini tuzamiz, ya’ni
(3) bu yerda,
- Lagranj interpolyatsion ko‘phadining qoldiq hadi. (3) tenglikning ikki tomonini p(x) vazn funksiyaga ko‘paytirib, [ a,b] oraliq bo‘yicha integrallasak,
ni hosil qilamiz. Agar interpolyatsiyalash yetarlicha yaxshi o'tkazilgan bo`lsa,
u chun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini ham kichkma deb, tashlab yuborsak,
kvadratur formulaga ega bo`lamiz. Bunda

Yuqorida ko‘rsatilgan tartibda hosil qilingan (4) formula, odatda, interpolyatsion kvadratur formula deyiladi va uning algebraik aniqlik darajasi n ga teng. Uning qoldiq hadi

Eng sodda kvadratur formulalar bilan tanishamiz. Bu yerda p(x) = l.
ni topish uchun f(x) ni \a,b\ da ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko‘ra:
bu yerda
Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha integrallasak,
Integral ostidagi funksiya o‘z ishorasini saqlaydi,
shuning uchun (5) integralga umumlashgan o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo`llash mumkin:
[ a,b] oraliqda (x-a )(x-b )<=0 bo‘lganligi uchun o‘rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo‘llasak,