Мустақил иш Фан: Математик анализ

Риман теоремаси.

Маълумки, конформ акслантиришлар назарияси-нинг мухим масалаларидан бири ℂ_z комплекс текисликдаги сохани ℂ_w текисликдаги сохага утказувчи конформ акслантиришнинг мавжудлигини курсатишдан иборат.

Конформ акслантиришлар назариясининг асосини куйидаги теорема ташкил килади.
Теорема (Риман). Кенгайтирилган комплекс текис-ликдаги D соха куйидаги шартларни бажарсин:
1) D бир бођламли соха булсин;
2) D соханинг чегараси иккита нуктадан кам булмасин.
У холда D сохани ℂ_w текисликдаги бирлик доирага утказувчи конформ акслантириш мавжуд.
◄ Бу теоремани боскичма-боскич исботлаймиз.
1. D сохада модули бирдан кичик булган голоморф ва бир варакли функция мавжудлигини исботлаймиз.
Агар D чегараланган соха булса, равшанки бундай функция мавжуд булади.
Масалан, , бу ерда R сони D сохани узида сакловчи доиранинг радиуси D{|z|R}
Агар D чегараланмаган соха булиб, унинг ташкарисида нукта ва доира мавжуд булса, у холда ушбу


5-таъриф. Агар хар бир тупламда текис якинлашувчи f_n(z){f(z)} кетма-кетликнинг лимити {f(z)} системага тегишли булса унда {f(z)} система узида компакт система дейилади.
4-теорема. Узида компакт система {f(z)} да берилган хар кандай узлуксиз функционал I чегараланган ва узининг аник юкори чегарасига эришади, яъни шундай функция топиладики, ихтиёрий f(z) {f(z)} да

булади.



функция D сохада модули буйича чегараланган

голоморф ва бир варакли функция булади.
Айтайлик, D чегараланмаган соха булиб, у ташки нуктага эга булмасин. Теореманинг шартига кура D соханинг хеч булмаганда иккита турли чегаравий нукталари мавжуд:
дD, дD.
Ушбу

функцияни карайлик. Бу F(z) функция D сохадаги ихтиёрий йул буйича аналитик давом эттирилади. D бир бођламли соха булганлигидан монодромия хакидаги теоремага биноан бу функциянинг иккита F₁(z) ва F₂ (z) бир кийматли тармоклари булиб, улар D сохада бир-бирларидан ишораси билан фарк килади: F₁(z)=-F₂(z). Айни пайтда, F₁(z) ва F₂ (z) бир варакли функциялар булади. Хакикатдан хам F₁(z₁)=F₁(z₂), F₂(z₁)=F₂(z₂)

тенгликлардан

яъни

булиб, ундан каср-чизикли функциянинг бир варакли эканлигига асосан z₁=z₂ булиши келиб чикади.
F(z) функциянинг F₁(z) ва F₂(z) тармоклари D сохани мос равишда
D₁=F₁(D), D₂=F₂(D)
сохаларга конформ акслантиради. Бу D₁ ва D₂ сохалар умумий нуктага эга булмайди, чунки агар z₁, z₂D нукталарда F₁(z₁)=F₂(z₂) булиб коладиган булса, унда юкорида айтилганларга кура z₁=z₂=z булиб, F₁(z₁)=-F₂(z₂) булади. Бу эса F₁(z) 0, F₂(z) 0 булишига зиддир.
Демак, D₂ соханинг хар бир w₀ нуктаси D₁ соха учун ташки нукта булиб, шундай доира топиладики, D сохада F₁(z) функциянинг кийматлари бу доирага тегишли булмайди. Унда

функция D сохада голоморф хамда бир варакли булиб, zD да булади.
Шундай килиб, барча холларда D сохада модули бирдан кичик булган голоморф ва бир варакли функциянинг мавжудлигини курсатдик.
2) D сохада, модул буйича бирдан кичик булган голоморф хамда бир варакли функциялар системасини (тупламини) S дейлик: .
Равшанки, чунки, . Монтель теоремасига кура S система D сохада компакт булади. функция D сохада бир варакли булгани учун тайинланган нуктада булади.
Энди S функциялар системасидан
(1)
шартни каноатлантирувчи функцияларни олиб, улардан иборат тупламни S₁ дейлик. Равшанки, . Бу S₁ функциялар системаси узида компакт булади. Хакикатдан хам, D сохада компакт жойлашган ихтиёрий K тупламда