Mustaqil ish №1 ixtiyoriy davrga EGA bo‘lgan funksiyani furye qatoriga yoyish. Furye qatorlarining tatbiqlari. Taqribiy hisoblashlarda darajali qatorlarning

Вариант 1.

1.
2.
3.	funksiyani Furʼye qatoriga x [- ; ] oraliqda yoying

23-Variant

1.
2.
3.	, b o‘lgan funksiya x (-π ; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

Вариант 2.

1.
2.
3.	funksiyani Furʼye qatoriga x [- ; ] oraliqda yoying

Вариант 3.

1.
2.
3.	funksiya Furʼye qatoriga x [ ; ] oraliqda yoyilsin

Вариант 4.

1.
2.
3.	funksiya Furʼye qatoriga x [- ; ] oraliqda yoyilsin

Вариант 5.

1.
2.
3.	funksiyani Furʼye qatoriga x [ ; ] oraliqda yoyilsin

6-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda bo‘lgan funksiya x (-π; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

7-Variant

1.
2.
3.	f(x)=1 funksiya x (0; π) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye qatoriga yoyilsin; undan foydalanib qatorning yig’indisi topilsin.

8-Variant

1.
2.
3.	f(x)=x^2 funksiyaning Furye qatoridan foydalanib qatorning yig’indisi topilsin

9-Variant

1.
2.
3.	funksiya x (-π; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

10-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda bo‘lgan funksiya x (-π; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

11-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda bo‘lgan funksiya intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

12-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda funksiya intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

13-Variant

1.
2.
3.	bo‘lgan funksiya x (0; π) intervalda sinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin

14-Variant

1.
2.
3.	bo‘lgan funksiya x (0; π) intervalda sinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin.

15-Variant

1.	ekanligidan foydalanib ni qiymatini xatolik bilan darajali qator yordamida hisoblang.
2.
3.	bo‘lgan funksiya x (0; π) intervalda kosinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin.

16-Variant

1.
2.
3.	funksiya x (-l; l) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

17-Variant

1.
2.
3.	funksiya x (0;1) intervalda sinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin.

18-Variant

1.	-?
2.
3.	bo‘lgan funksiya x (0; ) intervalda sinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin.

19-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda bo‘lgan funksiya x (0 ;2) intervalda sinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin.

20-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda bo‘lgan funksiya x (-π ; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

21-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda , bo‘lgan funksiya x (-π ; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

22-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda , bo‘lgan funksiya x (-π ; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

24-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda , bo‘lgan funksiya x (-π ; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.

25-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lganda , bo‘lgan funksiya x (0 ; 2) intervalda kosinuslar bo‘yicha qatoriga yoyilsin.

26-Variant

1.
2.
3.	bo‘lganda , bo‘lgan funksiya Furye qatoriga yoyilsin.

27-Variant

1.
2.
3.	, bo‘lgan funksiya x [0 ; π] intervalda sinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin.

28-Variant

1.
2.
3.	, funksiyani x [0; π] oraliqda kosinuslar bo‘yicha qatorga yoyilsin.

29-Variant

1.
2.
3.	, bo‘lgan funksiya x [- ; ] oraliqda Furye qatoriga yoyilsin.

30-Variant

1.
2.
3.	Davri 2π ga teng bo‘lgan juft funksiya x [-π; π] oraliqda , tenglik bilan berilgan. Shu funksiyaning Furye koeffisentlari hisoblansin va qatorga yoyilsin.

Vazifani bajarish tartibi:
1. Vazifa talabalar tomonidan 1 - semestr davomida bajariladi va grafik bo‘yicha ko‘rsatilgan muddatlarda topshiriladi va himoya qilinadi.

2. 
   Nazariy savol va mashqlarga javoblar, masala va misollarning yechimlari yozma ravishda bajarilib topshiriladi.
   
3. 
   Nazariy savol va mashqlar hamma studentlar uchun umumiy bo‘lib, masala va misollar esa har bir student uchun alohida variantdan iborat.
   
4. 
   Ishni himoya qilishda talaba nazariy savollarga javob bera olishi, ishdagi masala va misollarni, shuningdek o‘xshash masala va misollarni yecha bilishi lozim.
   

Nazariy savollar:
1. Qatorlar va ularning yaqinlashish belgilari
2. Ishoralari almashinuvchi qatorlar, Leybnits teoremasi.
3. Funksional qatorlar. Kuchaytirilgan qatorlar haqida teorema.
4. Qatorlarni hadlab integrallash va differensiallash.
5. Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusini va sohasini topish.
6. Teylor va Makloren qatorlari.
7. Binomial qatorlar.
8. Furye qatorlari. Berilgan funksiyaning Furye koeffitsentlarini hisoblash.
Davri “2l” bo‘lgan juft yoki toq funksiyalar uchun Furye qatori.

NAZARIY MASHQLAR
1. garmonik qatorning uzoqlashuvchi qator ekani isbotlansin.
2. qator “r” – sonning qanday qiymatida uzoqlashadi va qanday qiymatlarida yaqinlashadi? Ko‘rsatilsin.
3. - funksiya qatorga yoyilsin va ning qiymati 0,00001 gacha aniqlik bilan hisoblansin.
4. Binominal qatordan foydalanib va funksiyalar qatorga yoyilsin.
5. va funksiyalar qatorga yoyilsin.
6. , , aniq integrallar qatorlar yordamida hisoblansin.
7. x=1, y=1, va =0 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi differensial tenglamaning yechimi qator shaklida topilsin.
8. bo‘lganda f(x)=x va bo‘lganda f(x)=2x bo‘lgan funksiya x (-π; π) intervalda Furye qatoriga yoyilsin.
1. Nazariy mashqning javobi:
Agar qator yaqinlashuvch bo‘lsa, chеksiz o‘sib borganda uning -hadi nolga intiladi, ya'ni va aksincha da qatorning -hadi nolga intilmasa, qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Masalan, qator uzoqlashuvchi, chunki
.
tеnglik o‘rinli bo‘ladigan har qanday qator ham yaqinlashuvchi bo‘lavеrmaydi. Bu shartning bajarilishi qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun zaruriy, ammo utarli emas, ya'ni qator umumiy hadining nolga intilishi bilan qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kеlib chiqavеrmaydi, qator uzoqlashuvchi bo‘lishi ham mumkin. Masalan, garmonik qator dеb ataluvchi

qator uchun bo‘lishiga qaramasdan uning yaqinlashuvchi emasligini isbotlaymiz. Garmonik qatorning dastlabki bir nеcha hadlarini quyidagidеk gruxlab yozamiz:
.
har qaysi qavs ichidagi qo‘shiluvchilarni ularning kichigi bilan almashtirib yordamchi qator tuzamiz. Natijada

ga ega bo‘lamiz.
Har qaysi qavs ichidagi qo‘shiluvchilar yig’indisi kichiklashadi va ga tеng
bo‘ladi. Oxirgi qator chеksiz ko‘p qavslarga ega bo‘lganligi sababli ularning yig’indisi chеksizlikka intiladi. Dеmak, garmonik qatorning yig’indisi lbatta
chеksizlikka intiladi..Shunday qilib, biz garmonik qatorning uzoqlashuvchi ekanligini isbotladik.
2. Nazariy mashqning javobi.
Bеrilgan qator bo‘lganda
uzoqlashuvchi, bo‘lganda esa yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. Bеrilgan qatorda n ni x ga almashtirib ni deb belgilaymiz. Natijada


ga ega bo‘lamiz.
Bundan Koshining intеgral alomatiga ko‘ra 01 bo‘lganda esa yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Masalan: a) bo‘lganda hosil bo‘lgan qator taqqoslash alomatiga ko‘ra uzoqlashadi, chunki uning hadlari (ikkinchidan boshlab) uzoqlashuvchi bo‘lgan garmonik qatorning mos hadlaridan katta bo‘ladi yoki Koshining intеgral alomatiga ko‘ra:
.
Dеmak, qator uzoqlashuvchi.
b) bo‘lganda
.
Bu xosmas intеgral yaqinlashuvchi. Dеmak,

qator ham yaqinlashuvchidir.
3. Nazariy mashqning javobi:
funktsiyani Maklorеn qatoriga yoyish uchun uning bir nеcha hosilalarini topamiz: