Mustaqil ish iqtisodiyot 30-22gruh talabasi Qurbonova Ug’iloy tomonidan

1-misol. funksiyaning monotonlik oraliqlarini va ekstremumlarini toping.
Yechish. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi – butun Ox o’qi bo’lib, uning hosilasi .
Hosilani nolga tenglashtirsak bo’lib, u kritik nuqta bo’ladi.
Ox o’qini bu nuqta bilan ikkita oraliqqa bo’linadi: va .
Bu oraliqlarda hosilaning ishorasini tekshirib, natijalarni quyidagi jadvalga yozamiz:

		0	+
		min

Demak, funksiyaning hosilasi nuqtada o’ngdan chapga o’tishda o’z ishorasini manfiy ( ) dan musbat (+) ga o’zgartirar ekan. Berilgan funksiyaning o’zi nuqtada uzluksiz. Demak, funksiya nuqtada minimumga erishadi. Uning minimum qiymati

bo’ladi.
9-MAVZU Aniq integral yordamida yoy uzunligi, chegaralangan soha yuzi va aylanma jismlarning hajmini hisoblashga doir masalalar yechish.

1-MISOL chiziqlar bilan chegaralangan shakl

yuzini hisoblang.
formulada a=0, b=1,
2-MASALA Tezligi qonun bo’yicha o’zgaradigan notekis harakatda vaqt oralig’ida bosib o’tilgan S masofa topilsin.
Yechish: formuladan foydalanamiz. Demak,


3-MASALA o’qining yuqorisida joylashgan yarim aylana og’irlik markazining koordinatalari topilsin.
Yechish: Og’irlik markazining ordinatasini topamiz.
, , , ,

bo'ladi. Chunki yarim aylana o’qqa nisbatan simmetrik joylashgan.

10-MAVZU Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumlariga doir misollar yechish.

Misol. Ushbu

funksiya ekstremumga tekshirilsin.
Avvalo berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:

Bu hosilalarni nolga tenglab quyidagi sistemani yechamiz: Demak, nuqtada berilgan funksiyaning xususiy hosilalari nolga teng bo‘ladi:

Endi berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblab, larni topamiz:


Demak, bo‘lib,

bo‘ladi.
va bo‘lgani uchun berilgan funksiya nuqtada minimumga erishadi.

11-MAVZU Bir jinsli, nomalumi ajralgan va chiziqli differensial tenglamalarga doir misollar yechish.

1-MISOL

12-MAVZU Kombinatorika masalalariga doir misollar yechish hamda hodisalar ustida amallar.

1. 
   Korxonada 10 erkak va 8 ayol xodim ishlaydi. Shu korxonadan bitta xodimni necha xil usulda tanlab olish mumkin?
   

Yechish: - erkak xodimni tanlash, - ayol xodimni tanlash bo’lsin. U holda, shartga ko’ra, bo’lgani uchun bitta xodimni usulda tanlash mumkin.

2. 
   10 ta talabadan iborat guruhga ikkita yo’llanma ajratildi. Bu yo’llanmalarni necha xil usul bilan tarqatish mumkin?
   

Yechish: birinchi yo’llanmani, esa ikkinchi yo’llanmani tarqatishni ifodalasin. U holda va chunki bitta talabaga birinchi yo’llanma berilganda, ikkinchi yo’llanmaga to’qqizta talaba davogar bo’ladi. Demak, ikkinchi yo’llanmani tarqatishlar soni ga teng bo’ladi.

3. 
   Qurilishda 10 ta suvoqchi va 8 ta bo’yoqchi ishlaydi. Ulardan bir suvoqchi va bir bo’yoqchidan iborat juftlikni necha usulda tanlash mumkin?
   

Yechish: va bo’lgani uchun

4. 
   Nazoratchi korxonada ishlab chiqarilgan 5 ta maxsulot sifatini ketma-ket tekshirishi kerak. Nazoratchi buni nechta usulda amalga oshirishi mumkin?
   

Yechish: Bu 5 ta maxsulot sifatini ketma-ket tekshirishlar 5 tadan o’rinlashtirishlardan iborat.
Ya’ni, bo’ladi.

5. 
   Ishlab chiqarish korxonasini tekshirish uchun besh kishidan iborat guruh ajratildi. Shu besh kishidan tarkibida uch kishi bo’lgan guruhni necha xil usulda tuzish mumkin.
   

Yechish: formuladan foydalanamiz. Bizda bo’lgani uchun

6. 
   Tikuvchilik fabrikasida ishlayotgan xodimga haftaning ixtiyoriy ikki kunini dam olish uchun tanlash imkoni berildi. Xodim dam olish kunlarini necha usulda tanlashi mumkin?
   

Yechish: Hafta kunlarini elementli to’plam sifatida qarasak, dam olish kunlari kabi juftliklardan iborat bo’ladi. Bunda va bitta variantni ifodalaydi. Demak, dam olish kunlarini tanlash elementdan tadan kombinatsiyalarni tashkil etadi va ularning soni bo’ladi.

7. 
   Talaba 4 ta fan bo’yicha qo’shimcha tayyorlanish uchun ularning har biriga haftaning bir kunini ajratmoqchi bo’ldi. Talaba hafta kunlarini fanlarga necha usulda taqsimlashi mumkin?
   

Yechish: Talabani I-IV fanlari uchun haftaning tanlagan kunlarini ta elementli to’plam, hafta kunlarini esa elementlidan iborat to’plam sifatida qaraymiz. Bu holda bo’lib, uni hosil etish elementlidan tadan o’rinlashtirishlarga mos keladi, chunki bu holda elementlarning joylashishi tartibi ham ahamiyatga ega. Masalan, taqsimotda birinchi fanga dushanba (2), ikkinchi fanga chorshanba (4), uchinchi fanga juma (6) va to’rtinchi fanga shanba (7) kunlari ajratilgan bo’ladi. Unda kabilar turlicha taqsimotlarni ifodalaydi. Demak, talaba fanlarga hafta kunlarini

13-MAVZU Muavr-Laplasning local va integral teoremalariga doir real masalalar tahlili.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
.
Teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar ta bog’lanmagan tajribalarning har biror hodisaning ro’y berish ehtimoli ( ) bo’lsa u holda bo’ladigan hamma va lar uchun
(1)
o’rinli bo’ladi. Bu yerda .
Bu teoremani Muavr 1730 yilda bo’lgan hol uchun, so’ngra Laplas ixtiyoriy uchun isbotlagan.
Isbot. Teorema isbotida bizga matematik analiz fanidan ma’lum bo’lgan Stirling formulasidan foydalanamiz.
, .
bo’lgani uchun
, (2)
Shunga o’xshash dan
, (3)
tenglik o’rinli bo’ladi.
(2) va (3) tengliklardan ko’rinadiki, da va lar ham cheksizlikka intiladi.
Bernulli formulasiga asosan:
.
Stirling formulasiga asosan:

(4)
bu yerda va . (2) va (3) larga asosan
(5)
Bundan ko’rinadiki (6).
Belgilash kiritamiz:

deb belgilaymiz.
U holda (2) va (3) ga asosan:

. (7)
yetarlicha katta bo’lganda va larni yetarlicha kichik qilish mumkin? Shuning uchun va larni darajali qatorga yoyish mumkin.

(8)

(9)
(8) va (9) larga asosan (7) ni quyidagicha yozish mumkin:





bo’lgani uchun da
(10)
(2) va (3) larni hisobga olsak,
, (11)
va da
(12)
(6), (10), (11), (12) larni hisobga olsak (4) dan teoremaning isboti kelib chiqadi.
Masalalar yechishda qulaylik tug’dirish uchun

funksiya uchun jadval tuzilgan.
Bu jadval faqat argumentning manfiy bo’lmagan qiymatlari uchun tuzilgan.
juft bo’lgani uchun ning manfiy qiymatlari uchun ham shu jadvaldan foydalanish mumkin.
Masalalar yechiashda quyidagi taqribiy formuladan foydalaniladi:
(13)
Endi oldingi ma’ruza oxirida keltirilgan masalani (13) formuladan foydalanib yechamiz.
Masala shartiga ko’ra: , , ,
.
; .
Demak, .
14-MAVZU Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlariga doir misollar yechish.

Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir.

Ta’rif. Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo’lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari (yoki grek alifbosining kichik harflari (ksi), (eta), (dzeta),…) bilan, qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar bilan belgilanadi.
Amaliyotda asosan 2 xildagi tasodifiy miqdorlar bilan ish ko’riladi:Dikret va uzluksiz.
Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) ta o’q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) asbobning beto’xtov ishlash vaqti; 4) kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) bir kunda tug’iladigan chaqaloqlar soni va h.k.