Mustaqil ish mavzu: metrik fazoda ketma-ketliklar va uning limiti. Fan

3-teorema (Koshi teoremasi). ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental bo’lishi zarur va yetarli.
Bu teorema 9-ma’ruzada keltirilgan 3-teorema kabi isbotlanadi.
3⁰. Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar prinsipi. fazoda markazlari

nuqtalarda, radiuslari bo’lgan ushbu

yopiq sharlar ketma-ketligini qaraylik. Agar bu yopiq sharlar ketma-ketligining hadlari uchun quyidagi

munosabat o’rinli bo’lsa, ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi deyiladi.
Aytaylik, fazoda ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi bo’lsin.
4-teorema. Agar da shar radiuslari nolga intilsa, yani

bo’lsa, u holda barcha yopiq sharlarga tegishli bo’lgan nuqta mavjud va u yagona bo’ladi.
◄ Shar markazlaridan tuzilgan

ketma-ketlikni qaraylik. Uning fundamental ketma-ketlik bo’lishini ko’rsatamiz.
Shartga ko’ra
. Unda

bo’ladi. Ayni paytda, yopiq sharlar ichma-ich joylashganligidan ixtiyoriy

uchun

Bo’lib

bo’ladi.
Demak, fundamental ketma-ketlik. Unda Koshi teoremasiga ko’ra u yaqinlashuvchi bo’ladi:

Bu nuqta to’plamning limit nuqtasi va yopiq bo’lganligi uchun bo’ladi. Demak, barcha sharlarga tegishli bo’lgan nuqta. Faraz qilaylik, nuqtadan farqli barcha sharlarga tegishli bo’lgan nuqta mavjud bo’lsin: . Masofaning 3-xossasidan foydalanib topamiz:
.
Agar да bo’lishini e’tiborga olsak, keyingi munosabatdan , yani bo’lishi kelib chiqadi.►
Odatda, bu teorema ichma-ich joylashgan yopiq sharlar printsipi deyiladi.
4⁰. Qismiy ketma-ketliklar.Bolsano-Veyershtrass teoremasi.
fazoda :

ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Ushbu ketma-ketlik

bunda,

Berilgan ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi. У kabi belgilanadi.
Ravshanki, bitta ketma-ketlikning turlicha qismiy ketma-ketliklari bo’ladi.
Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’lsa, bu ketma-ketlikning har qanday qismiy ketma-ketligi ham yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’ladi.
Bu tasdiqning isboti ketma-ketlik limiti ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
Aytaylik, fazoda biror to’plam berilgan bo’lsin: . Agar fazoda markazi , radiusi bo’lgan shar

topilsaki:
bo’lsa, chegaralangan to’plam deyiladi.
Endi Bolsano-Veyershtrass teoremasini isbotsiz keltiramiz.