Mustaqil ish mavzu: nomanfiy butun sonlar ustida arifmetik amallar ustida ishlash

NOMANFIY BUTUN SONLAR TO'PLAMIDA BO'LINISH MUNOSABATINING TA'RIFI VA XOSSALARI

Reja:

1. Nomanfiy butun sonlar to‘plamida bo‘linish munosabati ta’rifi.
2. Bo‘linish munosabatining xossalari.
3. Nomanfiy butun sonlar to‘plamida yig‘indi, ayirma va ko‘paytmaning bo‘linishi haqida teoremalar.
4. Bo‘linish alomatlari.
XULOSA

a) Bo`lish amalining ma’nosini qaysi turdagi sodda masalalar bilan tekshirasiz?
Mazmunga ko`ra bo`lish vat eng qismga bo`lish.

1-masala: O`qituvchi 6 ta olmani o`quvcxilarga 2 tadan bo`lib berdi. Nechta o`quvchi olma oldi?
(3 ta o`quvchi)

2-masala: Oyiga 6 ta daftarni 2 ta ukasiga teng bo’lib berdi. Ukalari nechtadan daftar oldi?
(3 tadan daftar oldi)

b) qachon yig’indi songa bo`linadi?
1-Teorema. Agar a va b sonlari c soniga bo`linsa.

1.Sonlarning bo‘linish munosabati nomanfiy butun sonlar to‘plamida qaraladi. Nomanfiy butun sonlar to‘plami M₀ = {0}N. Bu to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallari har doim bajariladi. Ayirish va bo‘lish amallari esa, har doim ham bajarilavermaydi. Masalan, N₀ to‘plamda 5 va 9 sonlarning ayirmasi va bo‘linmasi mavjud emas. a -b ayirma mavjud bo‘lishi uchun a≥b bo‘lishi zarur va etarli. Lekin a:b bo‘linma mavjud bo‘lishining bunday umumiy qoidasi yo‘q, shunga qaramay, a:b bo‘lishni bajarmay, a soni b ga bo‘linadimi - yo‘qmi aniqlash uchun ba’zi alomatlar topilgan,

Bo‘linish munosabati ta’rifi;
Agar a  N₀ va b N sonlar uchun shunday c N₀ son topilib, a=bc teng lik bajarilsa, a soni b soniga bo‘linadi deyiladi va a b ko‘rinishda yoziladi.
(aN₀ "bÎN) ($cÎ N₀)(a b  a = bc).
a b -a soni b ra bo‘linadi, a soni b ga karrali yoki b soni a ning bo‘linuvchisi deb o‘qiladi.
Maslan: 18 3 chunki 18 = 3•6, , chunki 18=5•s shart bajariluvchi s N₀ son mavjud emas.
«Sonning bo‘luvchisi» tushunchasi umuman «bo‘luvchi» tushuchasidan farq qiladi. Sonning bo‘luvchisi shu sondan katta bo‘lmagani uchun bo‘luvcxilar to‘plami cheklidir. Sonning karralilari to‘plami cheksizdir. a N₀ uchun na ko‘rinishdagi barcha sonlar x ga karrali bo‘ladi, bu erda nÎN₀ .
5.2. Bo‘linish munosabati quyidagi xossalarga ega:
1°. Bo‘linish munosabati refleksiv, ya’ni istalgan natural son o‘ziga bo‘linadi, (a N) (a a),chunki $1 N₀, a = a•1(ta’rifga ko‘ra).
2°. Istalgan nomanfiy butun son 1 ga bo‘linadi a 1  a = 1•a.
3°. Agar a b va a>0 bo‘lsa a>b bo‘ladi, ya’ni (a,bN)(a b a >0 =>a>b).
Isbot: a b ekanligidan, ta’rifga ko‘ra shunday nomanfiy butun s son topiladiki, a=bc bo‘ladi:
a=bc  a–b = bc–b = b(c– 1) (*)
a = bc a bc >0 b>0 c>0 c 1 c-1 0 b'(c –1) 0 b b!
4°. Bo‘linish munosabati antisimmetrik, ya’ni
)

5°. Bo‘linish munosabati tranziv, ya’ni
Isbot
bo‘linish ta’rifiga ko‘ra .
6°. 0 soni istalgan natural songa bo‘linadi, ya’ni
7°. 0 dan farqli istalgan son 0 ga bo‘linmaydi

Isbot: teskarisini faraz qilay lik bu teorema shartiga zid. Demak,
8°. 0:0 amali aniqlanmagan. Chunki, 0:0 = a bo‘lsin, 0 = 0•a bajariladigan a- istalgan natural son bo‘lishi mumkin. Algebraik amal uning natijasi mavjud va yagona bo‘lsagina aniqlangan bo‘ladi. 0:0 natijasi istalgan son bo‘lgani uchun bu amal aniqlanmagan deyiladi.
Z.Bo‘linish munosabati haqida quyidagi teoremalarni isbot qilish mumkin:
1- teorema. Agar a va b sonlari s soniga bo‘linsa, ularning yigindisi ham s ga bo‘linadi.
Ya’ni )
Isbot: bo‘lgani uchun (a+b) c (ta’rifga ko‘ra).
Berilgan teoremaga teskari teorema to‘gri emas.
2 -teorema. Agar a₁,,a₂...,a_n sonlarning har biri bo‘linsa, a₁,,a₂...,a_n yig‘indi ham s ga bo‘linadi.
Isboti 1 - teoremaga o‘xshash.
3–teorema. Agar a va b sonlar s ga bo‘linsa, va a ≥ b bo‘lsa, a-b ham s ga bo‘linadi.

Isboti 1-teorema kabi.
4 -teorema. Agar ko‘paytuvcxilardan biri biror ko‘paytma ham s ga bo‘linadi.

Isbot: (ta’rifga ko‘ra).
5-teorema. Agar ko‘paytuvcxilardan biri m ga, ikkinchisi n ga bo‘linsa, ko‘paytma mn ga bo‘linadi.
Isboti 4 - teorema kabi.
6-teorema. Agar yigindida 1 ta qo‘sxiluvchidan tashqari hamma qo‘sxiluvcxilar s ga bo‘linsa, yig‘indi s ga bo‘linmaydi.

Isbot: S= bo‘lsin. S c deb, faraz qilay lik, u holda b =[S-( (Tz ga ko‘ra) bu shartga zid. Demak, .
4. Bo‘linish alomati x sonining yozuvchiga qarab, x ni a ga bo‘lishni bajarmay, x soni a ga bo‘linadimi yoki yo‘qmi, degan savolga javob beruvchi qoidadir. Yuqorida aytilganiday, matematikada bunday umumiy qoida yo‘q. Lekin ba’zi sonlarga bo‘linish alomatlari topilgan va biz ularni ko‘rib chiqamiz.