Mustaqil ishi mavzu: Gauss usuli yordamida tenglamalar sistemasini yechish algoritmi Tekshirdi

OʻZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
MIRZO ULUGʻBEK NOMIDAGI OʻZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETINING JIZZAX FILIALI
Amaliy matematika fakulteti
Kompyuter ilmlari va dasturlashtirish kafedrasi
Axborot tizimlari va texnologiyalari yo’nalishi
21-21-guruh talabasi Bo’riboyev Diyorning
“Algoritmlar va berilganlar strukturasi” fanidan yozgan

MUSTAQIL ISHI

Mavzu: Gauss usuli yordamida tenglamalar sistemasini yechish algoritmi
Tekshirdi: Tojiyev Ma’ruf
Jizzax 2023

Variant	Mustaqil ish 1	Mustaqil ish 2	Mustaqil ish 3	Mustaqil ish 4
2	2	8	4	27

2-variant. 2-Mustaqil ish
Mavzu: Gauss usuli yordamida tenglamalar sistemasini yechish algoritmi
Reja:

1. 
   Gauss funksiyasi haqida batafsil ma’lumot
   
2. 
   Gauss funksiyasining algoritmi
   
3. 
   Gauss funksiyasining dasturiy ta’minoti
   

Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.
Ixtiyoriy, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo`lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Bunday sistema uchun yechim yagona bo`lmasligi yoki umuman yechim mavjud bo`lmasligi ham mumkin. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo`lmasa, sistema birgalikda bo`lmagan sistema deyiladi. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo`lsa, bunday sistema birgalikda deb hisoblanadi.
Koeffitsientlari sonlardan iborat bo`lgan tenglamalar sistemasi yechimlarini topish uchun qulay bo`lgan noma`lumlarni ketma – ket yo`qotish (chiqarish) usulini, ya’ni Gauss usulini ko`rsatamiz.
Quyidagi ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:

(1)

(1) da deb faraz qilaylik. Dastlab birinchi tenglamadan tashqari barcha tenglamalardan 𝑥 ni yo`qotib, (1) sistemani o`zgartiramiz. Buning uchun birinchi tenglamaning har ikkala tomonini ga bo`lib chiqamiz. Natijada (1) sistemaga ekvivalent bo`lgan yangi sistemani hosil qilamiz:

(2)

Endi (2) sistemaning birinchi tenglamasini 𝑎 ga ko`paytiramiz va uni ikkinchi tenglamadan ayiramiz. So`ngra birinchi tenglamani 𝑎₃₁ ga ko`paytiramiz va uchinchi tenglamadan ayiramiz va hokazo. Natijada quyidagi, yana (1) sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:

(3)

bunda
;

;
Endi (3) sistemaning ikkinchi tenglamasini 𝑎₂₂̀ koeffitsientga bo`lamiz va hosil bo`lgan sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma – ket 𝑎₃₂̀ , 𝑎_𝑚̀₂ koeffitsientlarga ko`paytirib uchinchi tenglamadan boshlab navbati bilan ayiramiz.
Natijada (3) ga teng kuchli sistema hosil bo`ladi.
Agar (1) sistema birgalikda bo`lsa, u holda natijada quyidagi
(4)
sistemaga (bunda p) yoki
(5)
sistemaga ega bo`lamiz. (4) sistema pog’onali sistema, (5) sistema esa uchburchak sistema deb ataladi.
(5) sistema uchburchak bo`lgan holda so`nggi tenglamadan 𝑥_𝑛 ni topamiz, so`ngra 𝑥<sub>𝑛</sub> ning qiymatini oldingi tenglamaga qo`yib 𝑥_𝑛−1 ni topamiz va hokazo.
Demak, agar (1) tenglamalar sistemasi bir qator elementar almashtirishlarni bajargandan so`ng (5) uchburchak sistemaga keltirilsa, u holda (1) sistemaning birgalikda va u yagona yechimga ega ekenligi kelib chiqadi.
Agar (1) sistema (4) pog’onali sistemaga keltirilsa, u holda (1) sistema yechimga ega bo`lmaydi yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
(4) tenglamalar sistemasini quyidagi ko`rinishda yozib olamiz:

Bu sistemadagi 𝑥_𝑝+1, … , 𝑥_𝑛 noma’lumlarga ixtiyoriy 𝛼_𝑝 , … , 𝛼_𝑛 qiymatlar berib, uchburchak sistemani hosil qilamiz. Undan esa qolgan barcha 𝑥_𝑝, 𝑥_𝑝−1, … , 𝑥₁ noma’lumlarni ketma – ket topamiz. 𝛼_𝑝+1, … , 𝛼_𝑛 sonlar turli qiymatlarni qabul qilishligidan (5) sistema cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega ekanligi kelib chiqadi.
5 – misol. Quyidagi sistemani Gauss usul bilan yeching:
𝑥₁ + 2𝑥₂ − 3𝑥₃ + 5𝑥₄ = 1
{𝑥1 + 3𝑥₂ + 3𝑥₃ + 22𝑥₄ = −1
3𝑥₁ + 5𝑥₂ + 𝑥₃ − 2𝑥₄ = 5
2𝑥₁ + 3𝑥₂ + 4𝑥₃ − 7𝑥₄ = 4