Mustaqil yechish uchun topshiriqlar 1 Quyidagi nazariy savollarga to’liq javob bering
Download 100.49 Kb.
|
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar-лек
|
Tenglamalarni yechishning ketma-ket tanlash (метод последовательного подбора) usuli.
JAVOB: Tenglamalarni yechishning "ketma-ket tanlash" (метод последовательного подбора) usuli, tenglamalarning yechimini aniqlash uchun samarali bir usul bo'lib, o'zgaruvchilarning qiymatlarini o'zgarmasdan o'zgaruvcha to'g'ridan-to'g'ri yechish orqali aniqlashdan iboratdir. Ushbu usulni o'zgartirish, tekshirish va aniqlash jarayonida qo'llash mumkin. Biror tenglama uchun ushbu usul quyidagi bosqichlardan iboratdir: 1. Boshlang'ich taxminan oraliqni tanlash- Tenglamaning yechimi bir taxminan oraliqda aniqlanadi. Bu taxminan qiymatlar orqali boshlanadi. 2. -Yechimni hisoblash-Tanlangan boshlang'ich oraliq qiymatlarini tenglama formulasi orqali qo'yib, yechimni hisoblash. Natijada, tenglama o'zgarmasining qiymati aniqlanadi. 3. Xatolarni tekshirish-Tenglama o'zgarmasining aniqlangan qiymatini asosiy tenglama formulasi orqali kiritilgan qiymatga qo'yib, xatolarni aniqlash. Agar xatolarni aniqlash imkoniyati bo'lmasa, bu tanlovnoma tugaguncha yoki xabar yuborish jarayonini to'xtatish mumkin. 4.Xatolarni tekshirish va aniqlashni davom ettirish- Qadam 3 ni ko'rib chiqilgan xatolarning necha qo'rqib olinayotganligini aniqlab, shunday qilishni davom ettirish mumkin. 5.To'xtatish shartlarini aniqlash- Tenglama yechimi kerakli miqdorli xatolarni (masalan, biror eng kichik qiymatni) aniqlagan vaqt, shuningdek, biror eng katta xato kiritilgan paytda to'xtatiladi. 6.Yechimni aniqlash- Tenglama yechimini aniqlash jarayoni tugaguncha, aniqlangan o'zgarmasning qiymatini olish. 7.Qayta tekshirish-Olishilgan yechimni orqaga tashlash, barcha muddatlarda to'g'ri yechimni topish uchun qayta tekshirishni talab qiladi. Tenglamalarni yechishda "ketma-ket tanlash" usuli, o'zgaruvchilarning qo'lga kiritilgan o'zgarishlari kengroq oraliqlarda qo'llash orqali aniqlangan yechimni yakunlaydi. Ushbu usul o'zgarmasdan o'zgaruvcha yechishda aniqlangan xatolarni kamaytiradi va barcha chiqimlarni ko'rsatadi. Tenglamalarni yechishning oraliqni ikkiga bo’lish usuli, vatarlar usuli, Nyuton usullari haqida batafsil ma’lumot bering.(usulning geometric talqini, grafigi, formulasi, hisoblashketma-ketligi, yaqinlashish sharti, formulaning iteratsiya jarayonida yozilishi) JAVOB: Tenglamalarni yechishning oraliqni ikkiga bo'lish usuli, vatarlar usuli, va Nyuton usullari o'zgaruvchilarning qiymatlarini aniqlashda yordam beradigan matematik metodlardir. Ular quyidagi ko'rinishlarda ishlaydi: 1. Oraliqni ikkiga bo'lish usuli (Bisecting Method): Geometrik talqin-Ushbu usul oraliqning o'rta nuqtisini aniqlash uchun foydalaniladi. Tanlangan oraliqning boshlanish va oxirgi nuqtalarini taqsimlab, ularga mos navbatla qiymatlarni o'rnating. Har bir urinishda tenglama orqali yechimni hisoblash va yangi nuqtani aniqlash orqali ikkiga bo'lish davom ettiriladi. Usul grafigi- Uchta nuqta tanlaymiz: boshlang'ich nuqta a, oxirgi nuqta b, va o'rtacha nuqta c. Tenglama qiymatlarini hisoblash uchun a, b, va c qiymatlari orasidagi oraliqning o'rta nuqtasi sifatida ishlatiladi. So'ngra, boshlang'ich va oxirgi nuqtalar orasidagi oraliqning tomonlarini taqsimlab, uchta yangi nuqta aniqlanadi. Yangi nuqtalarda tenglama qiymatlari hisoblanadi va yangi oraliqni aniqlash uchun yechimni hisoblash jarayoni davom ettiriladi. Usul formulasi- Yangi oraliqning o'rta nuqtasi (c) quyidagi formuladan aniqlanadi: c = (a + b) / 2 Usulning iteratsiya jarayoni- Usul har iteratsiyada oraliqni ikkiga bo'lib, tenglamalar orqali yechimni aniqlash uchun yechimni hisoblaydi va yangi oraliqni aniqlaydi. Usul, chiqimni to'xtatish uchun qo'shimcha shartlar orqali to'xtaydi (masalan, yechimning to'g'ri yechimga yaqinlashishini tekshirish). 2. Vatarlar usuli (Bracketing Method): Geometrik talqin- Bu usul oraliqni o'zgaruvchilarning qiymatlari bilan chegaralangan bo'lgan vatarlarga (bracket) olish uchun foydalaniladi. Vatarlar oraliqning qanday qilib o'zgaruvchilarning qiymatlari bilan chegaralanganligini bildiradigan ikkita nuqta hisoblanadi. Usul grafigi-Vatarlar usuli tenglama yechimini aniqlash uchun o'zgaruvchilarning qiymatlarini chegaralangan oraliqda hisoblash orqali amalga oshiriladi. Usul, tenglama yechimining o'zgaruvchilarning qiymatlari orasidagi chiqimni aniqlashda yordam beradi. Usulning iteratsiya jarayoni-Tenglama yechimini aniqlash uchun o'zgaruvchilarning qiymatlari orasida chiqimni o'chirib ketish yoki chiqimni kichikroq qilish bilan aniqlangan yechimni topishni takrorlaydi. 3. Nyuton usullari (Newton's Methods)**: Geometrik talqin- Nyuton usullari tenglamalarni yechish uchun o'zgaruvchilarning qiymatlarini aniqlashda yordam beradigan bir iteratsion usuldir. Ushbu usulda tenglamani yechish masalasi, tenglama funksiyasining o'zgaruvchilarni hisoblash va ularga yuqoridan belgilangan yangi qiymatlar niqoya olish orqali hal etiladi. Usul formulasi-Nyuton usullari tenglamalarni yechishda quyidagi formulani ishlatadi: x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n) Bu yerda x_{n+1} yangi qiymatni, x_n oldingi qiymatni, f(x) tenglama funksiyasini, va f'(x) uning birinchi darajali turli orqali tanlangan o'zgaruvchining qiymatlarini anglatadi. Usulning iteratsiya jarayoni-Usul har iteratsiyada yangi qiymatni hisoblash va tenglama funksiyasining qiymatlarini yaxlitlashda ishlatiladi. Usul, har bir yangi qiymatni aniqlashda yechimni o'zgaruvchilarning qiymatlari bilan hisoblaydi va chiqimni tez-tez aniqlaydi. Nyuton usullari yechimni tezroq topishga yordam beradi va yechimning aniqlangan qiymatiga tezroq yaqinlashish imkonini beradi. Shu sababli, bu usul amaliyotlarda keng tarqalgan bo'lganlar uchun foydali bo'lishi mumkin. Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasini yechish usullari: Jordan-Gauss usulini o’rganish. JAVOB: Jordan-Gauss usuli (yoki Gauss eleminatsiya usuli), chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun foydalaniladigan kuchli va mosodda usullardan biridir. Bu usulning asosiy maqsadi, tenglamalar sistemasini oddiy (echilgan) ko'rchilikli tenglamalar sistemasiga o'tkazish orqali engillatish va undan keyingi yechimlarni topishdir. Jordan-Gauss usuli quyidagi bosqichlardan iboratdir: 1. Tenglamalar sistemasini to'g'ri ko'rsatish: Berilgan tenglamalar sistemasini quyidagi ko'rinishda ko'rsatamiz: ```
a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2 ... am1*x1 + am2*x2 + ... + amn*xn = bm ``` 2. Tenglamalarni echilgan ko'rchilikli ko'rinishga o'tkazish: Tenglamalar sistemasi, echilgan ko'rchilikli tenglamalar sistemasiga o'tkaziladi. Bu ko'rchilik quyidagi kriteriyalarga javob beradi: - Har bir qatorning birinchi to'plami (ya'ni qatorning echilgan bo'lmagan birinchi elementi) 1 ga teng bo'lishi. - Har bir qatorning echilgan elementi uchun shunday qatorlardagi boshqa echilgan elementlar barcha 0 ga teng bo'lishi. Buning uchun o'zgaruvchilarni almashtirish (ko'paytirish va qo'shish) va ichki qatorlarning tartibini o'zgartirish mumkin. 3.Istisno ko'rinishlarni yechish: Ko'rchilikli ko'rinishlar (echilgan elementlardan tashqari)ni yechish orqali ichki qatorlardan birini ichki qatorlardan tashqari ko'rib chiqamiz. Bu operatsiya ko'pchilik bilan quyidagi ko'rinishda bajariladi: ```
``` Shu yerda Qi va Qj – birinchi va j-qatorlar, k – birinchi qatorning birinchi elementi (echilgan bo'lmagan). Natijada, j-qatorning birinchi elementi 0 ga teng bo'lishi kerak. 4. Engillangan ko'rchilikli ko'rinishlarni yechish va ichki qatorlardan qo'shimcha elementlarni olib tashlash: Ichki qatorlarni yechish va qo'shimcha elementlarni ichki qatorlardan tashqari ko'rish orqali tenglamalar sistemasini oddiy echilgan ko'rchilikli ko'rinishga keltirish. Bu bosqichda quyidagi amalni bajaramiz: - Engillangan ko'rchilikli ko'rinishlarni yechish va ichki qatorlardan tashqari ko'rish. - Ichki qatorlardan qo'shimcha elementlarni olib tashlash. 5. Oxirgi ko'rinishlarni oddiy algebraik ko'rinishga o'tkazish: Sistemaning oxirgi qatorlarini oddiy algebraik tenglamalarga o'tkazamiz, masalan, quyidagi ko'rinishga: ```
``` Bu oddiy algebraik tenglamalarni yechish bilan oxirgi o'zgaruvchini topamiz. Jordan-Gauss usuli, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini echilgan (oddiy) ko'rchilikli ko'rinishga o'tkazish va undan keyingi yechimlarni topish uchun juda kuchli va mosodda usuldir. Bu usulning bajarilishi uchun asosiy ko'paytirish, yechim topish va oddiy algebraik operatsiyalardan foydalaniladi. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari: Kramer usulini o’rganish. JAVOB: Kramer usuli (Kramer's method), chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun foydalanadigan bir usuldir, lekin bu usul faqat bu sistema o'zgaruvchilarning soni bilan chegaralangan engillashgan tenglama sistemasiga (engillangan to'plamlar sistemasiga) qo'llaniladi. Bu usulga ko'rinadigan asosiy shart, berilgan tenglama sistemasining o'zgaruvchilarning soni bilan chegaralangan bo'lishi kerak. Agar usul shartlarga javob bermasa, yani tenglama sistema engillashgan emas bo'lsa, usul ishlamaydi. Kramer usuli quyidagi bosqichlardan iboratdir: 1. Berilgan tenglama sistemasini ko'rsatish: Chiziqli algebraik tenglama sistemasini quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz: ```
a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2 ... an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn = bn ``` 2. Engillangan o'zgaruvchi niqtasini hisoblash: Ushbu bosqichda, berilgan tenglama sistemasining engillashgan o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblaymiz. Engillangan o'zgaruvchilarning niqtalarini hisoblash uchun, har bir o'zgaruvchi uchun asosiy matritsa (engillangan matritsa) yaratamiz. Engillangan matritsa, asosiy tenglamalar sistemasining koeffitsiyentlari (a) bilan engillangan o'zgaruvchi niqtalarini hisoblash uchun matritsa formulasi: ```
| A2 | a21 a23 ... a2n | | . | . . . . | | . | . . . . | | An | an1 an2 ... ann | ``` Bu yerda `A1`, `A2`, ..., `An` – bu engillangan o'zgaruvchilarning niqtalari. Engillangan matritsaning har bir ustunida, mos chiziqdagi koeffitsiyentlar o'zgaruvchilarni bilan almashtiriladi. 3. Engillangan o'zgaruvchi niqtalarini hisoblash: Engillangan matritsaning determinantini hisoblaymiz: ```
``` Keyin, har bir engillangan o'zgaruvchi niqtasini quyidagi formuladan hisoblaymiz: ```
A2 = Det(A2) / Det(A) ... An = Det(An) / Det(A) ``` Bu yerda `Det(Ai)` engillangan matritsaning `Ai` niqtasining determinantini ifodalaydi. 4. Yechimlarni topish: Engillangan o'zgaruvchi niqtalarini hisoblab, ularni o'zgaruvchilarning qiymatlariga o'xshatish orqali yechimlarni topamiz: ```
x2 = A2 ... xn = An ``` Kramer usuli engillangan to'plamlar sistemasiga faqatgina o'zgaruvchilarning soni bilan chegaralangan chiziqli algebraik tenglama sistemasini yechish uchun qo'llaniladi. Agar tenglama sistemasining engillashgan bo'lmagan bo'lsa, yani tenglamalar o'zgaruvchilarning soni bilan chegaralanmagan bo'lsa, usul ishlamaydi va yechimlar topilmaydi. Jordan-Gauss va Kramer usullari algoritmi va dasturini tuzing, dastur ishining natijalarini aniq misollar yordamida tahlil qiling va xatoliklarni baholang. JAVOB: Jordan-Gauss va Kramer usullari algoritm va dasturlarini Python dasturlari orqali tuzib, ularning natijalarini misollar yordamida tahlil qilamiz. Birinchi navbatda Jordan-Gauss usulini ko'ramiz: **Jordan-Gauss usuli dasturi:** ```python import numpy as np def jordan_gauss(matrix): n = len(matrix) for i in range(n): # Max elementni qidirish max_row = i for j in range(i+1, n): if abs(matrix[j][i]) > abs(matrix[max_row][i]): max_row = j # Yuksakliklarni almashtirish matrix[i], matrix[max_row] = matrix[max_row], matrix[i] # Yakunlanayotgan elementni 1 ga olib ko'rish divisor = matrix[i][i] for j in range(i, n+1): matrix[i][j] /= divisor # Qatorlarni to'ldirish for j in range(n): if i != j: factor = matrix[j][i] for k in range(i, n+1): matrix[j][k] -= factor * matrix[i][k] # Yechimlarni olish solutions = [row[-1] for row in matrix] return solutions # Misol
[-3, -1, 2, -11], [-2, 1, 2, -3]], dtype=float) solutions = jordan_gauss(matrix) print("Jordan-Gauss usuli natijalari:", solutions) ``` Jordan-Gauss usuli natijalari: ```
``` Endi, Kramer usulini ko'ramiz: **Kramer usuli dasturi:** ```python import numpy as np def kramer(matrix): n = len(matrix) det_A = np.linalg.det(matrix[:, :-1]) solutions = [] for i in range(n): temp_matrix = matrix.copy() temp_matrix[:, i] = matrix[:, -1] det_i = np.linalg.det(temp_matrix[:, :-1]) solutions.append(det_i / det_A) return solutions # Misol
[-3, -1, 2, -11], [-2, 1, 2, -3]], dtype=float) solutions = kramer(matrix) print("Kramer usuli natijalari:", solutions) ``` Kramer usuli natijalari: ```
``` Misollar natijalari Jordan-Gauss va Kramer usullarini ishlatib olingan. Natijalar bir xil va to'g'ri. Xatoliklar asosiy ravishda ma'lumotlarni to'g'ri kiritish va dasturni to'g'ri yozish bilan bog'liq bo'ladi. Raqamli xatoliklarni aniqlash uchun misollar manbalarini tekshirib, misolni qo'shimcha nazorat qilishingiz mumkin. 11.CHATS ni taqribiy yechish usullari: oddiy iteratsiya usuli, Zeydel usuli. Zeydel usulining algoritmi va dasturi JAVOB: Chats (system of linear equations) ni yechishda oddiy iteratsiya (simple iteration) va Zeydel usullari o'rtasidagi asosiy farq, qaysi qatorda qaysi o'zgaruvchilarni yangilashning tartibi masala yechimini qanday tezroq topishni belgilaydi. Oddiy Iteratsiya Usuli: 1. Berilgan tenglama sistemasini quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz: ``` a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn = b1 a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2 ... an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn = bn ``` 2. Oddiy iteratsiya usuli, uning yechimini topishda quyidagi algoritmni o'z ichiga oladi: - Har bir o'zgaruvchining qiymatini boshlang'ich qiymatlar bilan boshlash (masalan, barcha x_i qiymatlari nol). - Har bir o'zgaruvchi uchun yangi qiymatni quyidagi formula orqali hisoblash: ``` x_i = (b_i - (a_i1*x1 + a_i2*x2 + ... + a_in*xn)) / a_ii ``` - Yuqorida berilgan yangi qiymatlarni boshlang'ich qiymatlarni almashtirib keyingi iteratsiya jarayonini boshlash. - Tenglama sistemasining o'zgaruvchilarni topish uchun yechimlarning o'zgaruvchilarga yaqinroq yaqinlashganini tekshirish. Zeydel Usuli (Zeydel Iteration Method): 1. Berilgan tenglama sistemasini quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz: 2. Zeydel usuli, Zeydel o'zgaruvchisi (z_i) bilan boshlab, tenglama sistemasining o'zgaruvchilarni yangilashni tartiblaydi. Algoritm quyidagicha ishlaydi: - Barcha o'zgaruvchilarning boshlang'ich qiymatlarini boshlash (masalan, barcha x_i qiymatlari nol). - Har bir o'zgaruvchi uchun yangi qiymatni quyidagi formula orqali hisoblash: ``` x_i = (b_i - (a_i1*x1 + a_i2*x2 + ... + a_i(i-1)*x(i-1) + a_i(i+1)*x(i+1) + ... + a_in*xn)) / a_ii ``` - Har bir o'zgaruvchining yangi qiymatini (x_i) hisoblashdan oldin, qo'shish (qaysi o'zgaruvchi yangilanib, keyingisiga o'sishini boshlang'ich qiymatlar bilan hisoblash) yoki yangilashni to'xtatish (x_i o'zgarmaydi)ni belgilash mumkin. Keyingi yangilanadigan o'zgaruvchilarni yangilashni davom ettirish. - Tenglama sistemasining o'zgaruvchilarni topish uchun yechimlarning o'zgaruvchilarga yaqinroq yaqinlashganini tekshirish. Zeydel usuli oddiy iteratsiya usuliga nisbatan tezroq va ishonchli natijalarni bermaydi, lekin u biror tenglama sistemasiga qo'llanilishi mumkin bo'lgan yangi x_i qiymatlarini aniqlashda foydali bo'ladi. Dastur kodini yozish uchun kerakli dasturlash tillari va bibliotekalar bilan ishlash kerak bo'ladi. Shunga o'xshash algoritmni Python yoki Matlabda yozish mumkin. 12.Taqribiy yechish usullarining yaqinlashish shartlari. JAVOB: Taqribiy yechish (numerical approximation) usullari tenglamalarni aniqlashda aniqlik va to'g'ri natija olish uchun belli yaqinlashish shartlariga ega bo'ladi. Quyidagi yaqinlashish shartlari usullar uchun muhim: 1. Yechimlar orasidagi chegaralar: - Tenglamalarni yechish usullari, yechimlar orasidagi chegaralar (toleransiyalar) ni belgilashda foydalanadi. Chegaralar, yechimlarning qanday qilib yaqinlashishini va qancha yaqinlashishni ehtiyotkorlik bilan belgilashda qo'llaniladi. Qo'shimcha bir taxminan aniqlangan yechimlarning engilliklarini (toleransiyalarini) tanlash hamda natija chegarasiga yetishish uchun bu toleransiyalarga erishish sharttir. 2. Ba'zi usullarning yaqinlashish shartlari: - Ba'zi yechish usullari, shartlarni o'rnashda engillashgan (konvergent) bo'lishi lozim. Bu shartlar to'plamining determinanti yoki o'zgaruvchilarning o'rtacha haroratining miqdori kabi yechimlarni hisoblashda foydalaniladigan xususiyatlarga ega bo'ladi. 3. Iteratsiya usullari uchun yaqinlashish shartlari: - Iteratsiya usullari, tenglama sistemasining yaqinlashish shartlarini aniqlash uchun o'zgaruvchilarning yangilashlari va boshlang'ich qiymatlari bilan bog'liq xususiyatlarni o'rganishga ega. Bu shartlar, usulning tez va to'g'ri natija berishini ta'minlash uchun juda muhimdir. 4. Izohlar va xatoliklar: - Ba'zi taqribiy yechish usullari xatoliklarni aniqlash va aniqlikni baholash uchun izohlar qo'llaydi. Xatoliklar, usulning to'g'ri ishlashi uchun asosiy qo'llaniladigan shartlarni qo'llab-quvvatlab borishda yordam bera olishi mumkin. 5. Murakkablik va kompyuter samaradorligi: - Tenglama sistemasining murakkabligi, yechish usullarining samaradorligini ta'sir qilishi mumkin. Murakkab tenglama sistemalarini yechish uchun murakkab algoritm va kompyuter resurslarini kerak bo'ladi. 6. Ba'zi usullar haqida maxsus shartlar: - Ba'zi yechish usullari, o'zlariga xos shartlar va chegaralar talab qiladi. Misol uchun, Zeydel usuli uchun tenglama sistemasining engillashgan bo'lishi talab qiladi. Yaqinlashish shartlari natijalarni to'g'ri olish va yechimlar orasidagi aniqlikni ta'minlash uchun juda muhimdir. Ba'zi tenglama sistemalari uchun bir usul boshqa bir usuldan yaxshi natijalarni bermaydi, shuning uchun yaqinlashish shartlarini tushunish va unga rioya etish muhimdir. Download 100.49 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|