Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для треугольника со сторонами см, см и см

Сложность 1
1. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см..
2. Найти радиус r окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, если АВ=ВС=10 см и АС=12 см.
3.Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 см и 5 см. Найти больший катет треугольника.
4.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, проекция меньшего катета на гипотенузу равна см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
5.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
6. Дан треугольник АВС. В него вписана окружность, касающаяся ВС и АС в точках М и N. Найдите МР, если АВ=22 см, ВС=20 см, СМ=2,5 см.
7. Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС. Они касается гипотенузы АВ в точке М, причем АМ=12 см и ВМ=8 см. Найдите площадь треугольники АОВ.
8. Дан треугольник АВС. В него вписана окружность, касающаяся ВС и АС в точках М и N. Найдите МР, если АВ=22 см, ВС=20 см, СМ=2,5 см.
9. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 9 см и 17 см. Найти радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5 см.
Сложность 2

1. 
   В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший катет равен . Найти радиус опи­санной окружности.
   
2. 
   В прямоугольном треугольнике ABC известно, что , . Около треугольника описана окружность с центром О, Найти .
   
3. 
   Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найти радиус описанной окружности.
   
4. 
   В прямоугольном треугольнике один катет равен 3, радиус описанной окружности . Найти другой катет.
   
5. 
   Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 описана окружность. Найти ее радиус.
   
6. 
   Диаметр окружности, описанной около прямоугольно­го треугольника, равен 10, а один из катетов равен 6. Найти другой катет.
   
7. 
   Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника рав­ны соответственно 10 и 26. Найти радиус вписанной окружности.
   
8. 
   Найти радиус круга, описанного около равносторонне­го треугольника со стороной .
   
9. 
   Найти площадь равностороннего треугольника, если радиус вписанной окружности .
   
10. 
    В равностороннем треугольнике высота равна 9. Най­ти радиус вписанной в треугольник окружности.
    
11. 
    Радиус окружности равен 10. Найти длину медианы вписанного в нее правильного треугольника.
    
12. 
    Около равнобедренного треугольника описана окружность радиуса 2 . Угол при основании треугольни­ка 60°. Найти площадь треугольника.
    
13. 
    Найти радиус окружности, описанной около равнобед­ренного треугольника, боковая сторона которого рав­на , а угол при вершине 60°.
    
14. 
    В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса . Угол при основании 60°. Найти основание.
    
15. 
    Основание равнобедренного треугольника в 3 раза меньше его боковой стороны, а его периметр равен 14 см. Найти основание треугольника.
    
16. 
    В треугольнике даны две стороны a=6 и b=4 и вы­сота h=2, опущенная на третью сторону. Найти ра­диус описанной окружности.
    
17. 
    Найти радиус окружности, описанной около равно­бедренного треугольника с основанием 12 и углом при основании 30°. Ответ дать в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 ( =1,73).
    
18. 
    Найти площадь круга, если сторона правильного тре­угольника, вписанного в этот круг, , . Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
    
19. 
    Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а проекция меньшего катета на гипотенузу 3,6. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
    
20. 
    В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания окружности и гипотенузы делит ее на отрезки 3 и 10. Найти больший катет.
    
21. 
    Радиусы вписанной н описанной окружностей прямо­угольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти больший катет треугольника.
    
22. 
    В равнобедренном треугольнике углы при основании 30°, а высота; опущенная на это основание, равна 3. Найти радиус описанной окружности треугольника.
    
23. 
    В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 30°, а само основание 3 . Найти радиус описан­ной окружности.
    
24. 
    Боковая сторона равнобедренного треугольника, осно­вание которого равно 4, делится точкой касания впи­санной в него окружности в отношении 3:2, считая от вершины. Найти периметр треугольника.
    
25. 
    В равнобедренном треугольнике боковая сторона рав­на 5, а косинус угла при основании 0,6. Найти радиус вписанного круга.
    
26. 
    Найти радиус окружности, описанной около равнобед­ренного треугольника с основанием 16, высотой 4.
    
27. 
    Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5. Сторона АВ = 5, высота BD=4. Найти длину стороны ВС.
    
28. 
    Найти радиус окружности, описанной около треуголь­ника со сторонами 8, 15, 17.
    
29. 
    Расстояние от боковой стороны равнобедренного тре­угольника, равной 16, до центра описанной около него окружности равно 6. Найти радиус этой окружности.
    
30. 
    В треугольнике ABC сторона ВС=6,5, сторона АС=10. Расстояние от центра окружности, описанной около этого треугольника, до стороны АС равно 12. Найти синус угла А.
    
31. 
    Окружность касается большего катета прямоугольно­го треугольника и проходит через вершину противоле­жащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, а длины катетов рав­ны 3 и .
    
32. 
    Радиус окружности, вписанной в правильный тре­угольник, равен . Через центр окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти отрезок этой прямой, заключенный между дву­мя другими сторонами треугольника.
    
33. 
    Около равностороннего треугольника описана окруж­ность радиуса , через центр которой проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного меж­ду двумя другими сторонами треугольника.
    
34. 
    В параллелограмме ABCD со сторонами АВ=3 см и ВС=2 см и углом BAD = arccos1/3 из вершины В опущены высоты, одна из которых пересекает сторону AD в точке М, а другая — сторону CD в точке N. Найти радиус окружности, описанной около треугольника MBN.
    
35. 
    В треугольнике АВС точка М-точка касания вписанной в треугольник окружности со стороной ВС. Найти отношение длин отрезков ВМ:МС, если отношение длин сторон треу­гольника А В:ВС:СА=5:4:2.
    
36. 
    В остроугольном треугольнике АВС точка О — центр описанной окружности. Отрезок ОА делит угол А на углы ВАО=23° и ОАС=18°. Найти углы В и C.
    
37. 
    В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС=6 см и ВС=8 см проведена через вершины А и С окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке D, а катет ВС в точке E, причем AD=5 см. Найти СЕ.
    
38. 
    В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС=3 см и ВС=4 см. Найти R — радиус окружности, касающейся катета АС и продолжений катета ВС и гипотенузы АВ.
    
39. 
    Внутри правильного треугольника взята точка, из кото­рой опущены перпендикуляры ко всем сторонами треу­гольника. Сумма длин перпендикуляров равна d = 9 см. Найти радиус описанной около треугольника окруж­ности.
    
40. 
    Вершины треугольника делят описанную около него окружность на дуги, длины которых относятся как 2:5:8. Найти величину наибольшего внутреннего угла треу­гольника.
    
41. 
    В треугольник вписа­на полуокружность радиуса r=12 см так, что ее центр лежит на сто­роне с. Найти S, если а+b=92 см.
    
42. 
    В треугольнике АВС проведены биссектрисы внутрен­них углов AM и CN, пересекающиеся в точке О, причем OAC=49° и OCA=11°. Радиус окружнос­ти, описанной около треугольника АВС, равен 3 см. Найти радиус окружности, описанной около треугольника АОС.
    
43. 
    В прямоугольный треугольник вписана полуокруж­ность, радиус которой равен 12 см. Центр полуокруж­ности делит гипотенузу в отношении 3:4. Определить отрезки, на которые делится гипотенуза.
    
44. 
    Основание АС равнобедренного треугольника ABC является диаметром полуокружности, которая пересекает боковую сторону АВ в точке М, а ВС в точке N. Опреде­лить площадь треугольника, если хорда MN=6 см и АМ:МВ=2:3.
    
45. 
    Из вершины В равнобедренного треугольника ABC (АВ=ВС) проведена дуга окружности, которая касает­ся стороны АС и пересекает стороны АВ и ВС в точках D и Е. Определить периметр треугольника ABC, если отре­зок DE равен 24 см и удален от стороны AC на 4 см.
    
46. 
    В равнобедренный треугольник ABC (АВ=ВС) вписана окружность, и к окружности проведена каса­тельная, параллельная стороне АС и пересекающая сто­рону АВ в точке D, а ВС в точке E. Определить отре­зок DE, если AD=15 см и DB=30 см.
    
47. 
    В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся боковых сторон треугольника в точках D и Е. Определить периметр треугольника ABC, если хорда DE равна 12 см, а отрезок касательной, заклю­ченный между боковыми сторонами и параллельный осно­ванию, равен 10 см.
    
48. 
    Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 40⁰. Определить острый угол между радиусом описанной окружности, про­веденным в вершину прямого угла, и гипотенузой.
    
49. 
    Окружность радиуса описана около равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти радиус вписанной в этот треуголь­ник окружности.
    
50. 
    В окружность радиуса вписан прямоугольный треугольник так, что один из катетов в раз ближе к центру, чем другой. Опре­делить больший катет.
    
51. 
    В прямоугольном треугольнике АВС B = 30°, C = 90⁰, О — центр вписанной окружности. Отрезок ОА равен 12. Вычислить радиус вписанной окружности.
    
52. 
    Окружность радиуса 6 описана около равнобедренного треугольник. с углом 120°. Найти его основание.
    
53. 
    Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямо­угольный треугольник, равен . Найти длину высоты треугольника.
    
54. 
    Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а угол при основании равен 30°. Определить диаметр описанной окружности.
    
55. 
    Окружность радиуса описана около прямоугольного треугольника с острым углом 30°. Найти его периметр.
    
56. 
    Сумма меньшего катета и гипотенузы равна 3. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Найти радиус описанной окружности
    
57. 
    Острый угол между радиусом описанной окружности, прове­денным в вершину прямого угла, и меньшим катетом прямоугольного треугольника равен 52⁰. Определить меньший острый угол треугольника.
    
58. 
    Окружность касается одного из катетов равнобедренного пря­моугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипо­тенузе. длина которой равна .
    
59. 
    Окружность касается большего катета прямоугольного тре­угольника с углом 60⁰ и проходит через вершину этого угла. Найти пе­риметр треугольника, если центр окружности лежит на гипотенузе, а длина ее радиуса равна .
    
60. 
    Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3, а меньший катет равен 10.
    
61. 
    Окружность касается большего катета прямоугольного тре­угольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, а длины Катетов равны 3 и 2 .
    
62. 
    Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2. Один из катетов равен 14. Найти гипотенузу.
    
63. 
    В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 и 10. Найти больший катет.
    
64. 
    Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноудаленная от обоих катетов, делит ее на отрезки 6 и 8. Найти больший катет.
    
65. 
    Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3, а один из катетов равен 8.
    
66. 
    Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 4. Один из катетов равен 9. Найти второй катет.
    
67. 
    В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной ок­ружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найти меньший катет.
    
68. 
    В треугольнике АВС величина угла ВАС равна 60⁰, а радиус ок­ружности с центром в точке О, описанной около треугольника, равен ⁴ . Найти площадь треугольника ОВС.
    
69. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­ветственно 30° и 45°. Найти площадь четырехугольника АОВС, если О — центр окружности радиуса , описанной около треугольника.
    
70. 
    Найти радиус описанной около треугольника АВС окружнос­ти, если величина угла BАС равна 60⁰, а расстояние от центра описан­ной окружности до стороны ВС равно 1,3.
    
71. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­ветственно 30⁰ и 45⁰. Найти периметр четырехугольника АОВС, если О — центр описанной около треугольника АВС окружности, а ее радиус равен 3- .
    
72. 
    В треугольнике АВС длина стороны ВС равна длине радиуса описанной окружности. Найти величину угла ВАС (в градусах).
    
73. 
    В треугольнике АВС величина угла АСВ равна 120⁰. Найти длину стороны АВ, если радиус описанной окружности равен .
    
74. 
    В треугольнике АВС длина стороны ВС равна 2 , величина угла ВАС равна 45⁰. Найти радиус окружности, описанной около треугольника.
    
75. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­ветственно 15⁰ и 45⁰. Вычислить косинус угла АОВ, если О — центр описанной около треугольника окружности.
    
76. 
    Около треугольника АВС с острым углом BA С, величина кото­рого равна 45°, описана окружность с центром в точке О. Найти ее ра­диус, если площадь треугольника ОВС равна 18.
    
77. 
    В треугольнике АВС величина угла АВС равна 45°. Вычислить длину стороны АС, если радиус окружности, описанной около треуголь­ника. равен .
    
78. 
    В треугольнике АВС длина стороны АС равна величина угла АВС равна 60°, а периметр треугольника равен . Найти пло­щадь вписанного в треугольник круга.
    
79. 
    Длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна . Периметр треугольника равен . Найти площадь вписанного в треугольник круга.
    
80. 
    Периметр треугольника АВС равен 9, радиус вписанной в этот треугольник окружности равен . Найти расстояние от центра впи­санной окружности до вершины В, если длина стороны АС равна 3,5.
    
81. 
    В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины пря­мого угла до центра вписанной окружности равно , а радиус описан­ной окружности равен 2,5. Найти периметр треугольника.
    
82. 
    В треугольнике АВС длина стороны АС равна 6 , величина угла АВС равна 60⁰, а периметр треугольника равен I4 . Найти рас­стояние от центра вписанной в треугольник окружности до вершины В.
    
83. 
    В треугольнике АВС длина стороны АС равна 13, величина угла АВС равна 120°, а радиус вписанного круга равен . Найти периметр треугольника.
    
84. 
    В прямоугольном треугольнике отрезки гипотенузы, на кото­рые ее делит точка касания вписанной окружности, равны 2 и 3. Найти радиус вписанной окружности.
    
85. 
    Периметр прямоугольного треугольника равен 24, а радиус описанной около него окружности равен 5. Найти радиус вписанной окружности .
    
86. 
    Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен 3,5, а периметр треугольника равен 36. Найти радиус описанной окружности.
    
87. 
    В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга сос­тавляет высоты, опущенной на основание. Найти длину боковой стороны треугольника, если длина основания равна 11.
    
88. 
    В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 5:3 (считая от вершины), а боковая сторона равна 8,5. Найти длину основания треугольника.
    
89. 
    Дан треугольник со сторонами 8, 12 и 12,5. Проведена окруж­ность, касающаяся меньших сторон и имеющая центр на большей сто­роне. Найти длины отрезков, на которые центр окружности делит боль­шую сторону.
    
90. 
    В равнобедренном треугольнике высота равна 32, а боковая сторона относится к основанию как 2:1. Определить радиус вписанной окружности.
    
91. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны со­ответственно 60° и 45⁰, а радиус описанной около него окружности ра­вен . Найти площадь треугольника.
    
92. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и АВС равны соот­ветственно 30⁰ и 75°. Найти длину стороны АВ, если радиус описанной около треугольника окружности равен 3 .
    
93. 
    Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если ра­диус описанной окружности равен 4 , а длина отрезка прямой, сое­диняющего середины основания и боковой стороны, в раз меньше радиуса описанной окружности.
    
94. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соот­ветственно 30⁰ и 75°. Найти расстояние от центра описанной окружнос­ти до стороны АС, если длина ВС равна 3 .
    
95. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соответственно 45° и 60°, а длина стороны ВС равна . Найти площадь треугольника АВС, где О — центр описанной около треугольника АВС окружности.В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соот­ветственно 30° и 75°. Найти высоту треугольника, опушенную на сторону ВС. если радиус описанной около треугольника окружности равен .
    
96. 
    В треугольнике АВС расстояние от центра описанной окружности до стороны ВС равно , а величины углов ВАС и АСВ равны соответственно 45° и 60°. Найти длину стороны АВ.
    
97. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соответственно 45⁰ и 60°, расстояние от центра описанной окружности до стороны ВС равно . Найти длину высоты треугольника, опушен­ной на сторону ВС.
    
98. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА соответст­венно равны 45⁰ и 60⁰, а радиус описанной окружности равен Найти длину стороны АС.
    
99. 
    В треугольнике АВС величины углов ВАС и ВСА равны соответственно 45⁰ и 60⁰, а длина стороны АС равна . Найти радиус окружности, описанной около треугольника.
    
100. 
     К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 8 и боковой стороной 6, проведена касательная, параллель­ная основанию. Найти длину отрезка касательной, заключенной между сторонами треугольника.
     
101. 
     К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 16 и боковой стороной 17, проведена касательная, парал­лельная высоте треугольника. Найти длину отрезка касательной, заклю­ченной между сторонами треугольника.
     
102. 
     В равнобедренный треугольник с основанием 15,5 вписана ок­ружность. К окружности проведена касательная, параллельная основа­нию треугольника. Найти боковую сторону треугольника, если длина отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника, рав­на 10,5.
     
103. 
     К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 и высотой 8, проведена касательная, параллельная основанию. Найти площадь трапеции, отсекаемой этой касательной от треугольника.
     
104. 
     В равнобедренный треугольник с боковой стороной 2,5 и ос­нованием 3 вписана полуокружность так, что она касается боковых сто­рон, а центр окружности лежит на основании. Найти расстояние между точками касания полуокружности с боковыми сторонами треугольника.
     

105. В равно бедренном треугольнике углы при основании 30⁰, а высота, опущенная на это основание, равна 5 см. Найти радиус описанной окружности.
106. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 см и 5 см. Найти больший катет треугольника.