Namangan davlat universiteti iqtisodiyot kafedrasi

5.3- jadval

Kamaytirilgan variantlar bo’yicha o’rtachani hisoblash

Intervalni o’rtacha qiymati (x)	X-A	Sotuvchilar soni (f)	(X-A)f
120	0	12	0
160	40	20	800
200	80	24	1920
240	120	14	1680
280	160	10	1600
Jami	-	80	6000

х  А  195  120  ⁶⁰⁰⁰  75; х  75  120  195
80


минг
су⁽м

3. 
   Agarda har bir variantga (x) qandaydir bir A sonini qo’shsak, yangi o’rtacha o’sha A soniga katta bo’ladi:
   

(х  А) f
f

 х  А,

бу ердан
_{х } ( х  А) f _{ A}
f

Bu xossa oldingi xossaga o’xshash bo’lganligi sababli uni qo’llanishiga to’xtamaymiz.

4. 
   Agarda har bir variantni (x) qandaydir bir A soniga bo’lsak, yangi o’rtacha haqiqiy o’rtachaga nisbatan A marta kichik bo’ladi.
   

 ^х  f
А _ ^х _,
f А


бу ердан
 ^х  f
х  ^А
f

• 
  A .
  

Oldingi keltirilgan misol raqamlari asosida bu xossani qo’llanilishini ko’rib chiqamiz. (5.4-jadval). Hamma variantlarni 100 (A=100) ga bo’lamiz. Olingan o’rtacha, haqiqiy o’rtachadan 100 marta kichik bo’lishi kerak yoki 195/100 = 1,95 ming so’m.

4. – jadval

Qisqartirilgan variantlarda o’rtachani hisoblash

Intervalni o’rtacha qiymati (x)	Х А	Sotuvchilar soni (f)	^Х f А
120	1,2	12	14,4
160	1,6	20	32,0
200	2,0	24	48,0
240	2,4	14	33,6
280	2,8	10	28,0
Jami:	-	80	156,0

 ^х  f
^А  ^156,0  1,95.


x  1,95  100  195минг cу⁽м

f 80

5. 
   Agarda har bir variantni (x) qandaydir bir A soniga ko’paytirsak, yangi o’rtacha haqiqiy o’rtachaga nisbatan A marta katta bo’ladi:
   

(х  А) f
f
 х  А ; bu erdan
_{х } ( х  А) f _{ A}
f

Bu xossa oldingi xossaning teskarisi bo’lganligi sababli, uni qo’llash texnologiyasiga to’xtashni lozim deb topmadik.

6. 
   Agarda chastotalarni f qandaydir bir A soniga bo’lsak yoki ko’paytirsak,
   

yangi o’rtacha o’zgarmaydi. Nimaga bunday? O’rtacha arifmetikni hisoblashda chastotalar mutlaq miqdorlar emas, bor yo’g’i vazn rolini o’ynaydi. Chastotalarning sonini oshirish yoki kamaytirish bilan, variantlarning ulush qiymati o’zgarmaydi.
Bu xossaning qo’llanilishini oldingi misol asosida tekshirib ko’ramiz. Qatorning hamma chastotalarini 10 ga kamaytiraylik va yangi o’rtachani hisoblaylik (5.5- jadval). Yangi hisoblangan o’rtacha 195 ming so’mligicha qoladi.

4. - jadval Qisqartirilgan chastotalar bilan o’rtachani hisoblash

Intervalni o’rtacha qiymati (x)	Sotuvchilar soni (f)	f 10	х  ^f 10
120	12	1,2	144
160	20	2,0	320
200	24	2,4	480
240	14	1,4	336
280	10	1,0	280
Jami:	80	8,0	1560

5.5-jadvaldan keltirilgan ma’lumotlar asosida o’rtacha hisoblaymiz:

x  ^f

х ^10  ¹⁵⁶⁰  195
минг
су⁽м

^f 8,0
10

7. 
   Variantlar bilan o’rtacha arifmetik o’rtasidagi tafovut yig’indisi doimo nolga
   

teng.

(х  х) f  0

ёки

(x  x)  0

Bu xossani ham 5.6-jadvalda tekshirib ko’ramiz.

5.6-jadval

Tekshirish uchun bajarilgan hisob-kitob

Intervalni o’rtacha qiymati (x)	Sotuvchilar soni (f)	х  х	(x  x) f
120	12	- 75	- 900
160	20	- 35	- 700
200	24	5	120
240	14	45	630
280	10	85	850
Jami:	80	-	-1600 +1600

Demak,

(х  х) f

 0 . Bu xususiyat o’rtacha arifmetik miqdorlarning to’g’ri yoki

noto’g’ri hisoblanganligini tekshirish uchun zarurdir.
Yuqorida ko’rib chiqilgan o’rtacha arifmetikni xossalarini o’rganishdan maqsad nima degan savol tug’ilishi mumkin. Maqsad - hisob-kitoblarni osonlashtirish va tekshirish.

Variatsion qatorlarda o’rtachani hisoblashning payt(moment) usuli. Bu usulda o’rtacha arifmetikni xossalaridan foydalanib o’rtacha miqdorlar hisoblanadi. Yuqorida keltirilgan misol raqamlari asosida o’rtachani payt usuli bilan hisoblashni ko’rib chiqamiz (5.7-jadval).

5.7-jadval

Payt usuli bilan o’rtachani hisoblash

x	х  А  x i ^1	f	x1f
120	- 2	12	- 24
160	- 1	20	- 20
200	0	24	0
240	1	14	14
280	2	10	20
Jami:	-	80	^^44⎫  10  34^⎬ ⎭

Bu ish quyidagi bosqichlarda bajariladi. Birinchi navbatda qatorning har bir variantidan doimiy son ajratiladi. Doimiy son sifatida bizni micolimizda 200 ishlatilishi mumkin. Odatda doimiy son deb eng ko’p uchraydigan variant qabul qilinadi. Ikkinchidan variantalar bir doimiy songa bo’linadi. Odatda bu son o’rnida guruh oralig’i olinadi (bizning misolda 40). x₁ – birinchi variant uchun teng – 2 va

h.k. Nolga teng deb olingan variantdan yuqorida salbiy, pastda ijobiy natural sonlar paydo bo’ladi. Shu yangi variantlar asosida hisoblangan o’rtachani (m₁) birinchi darajali payt deb atashadi va quyidagi formula bilan aniqlashadi:

_{m } х₁ f
¹ f
 ^{ 10}  0,125 80

Endi, o’rtacha arifmetikni hisoblash uchun, birinchi darajali payt (m₁) miqdorini o’sha guruh oraliq miqdoriga ko’paytirib, kelib chiqqan natijaga ajratilgan doimiy son qo’shiladi


х =im+A=40•(-0,125)+200=195 ming so’m.

O’rtacha arifmetik miqdorni payt usulida hisoblash variatsion qator teng intervalli bo’lsa ishni ancha osonlashtiradi.

O’rtacha garmonik. Statistikada o’rtacha arifmetik miqdor bilan bir qatorda o’rtacha garmonik miqdor ham keng qo’llaniladi.
O’rtacha garmonik miqdor – bu o’rtacha arifmetik miqdorning teskari , ya’ni z=- 1 bo’lgan darajasiga tengdir.
O’rtacha garmonik miqdor ham o’rtacha arifmetik miqdorga o’xshab oddiy va tortilgan shakllariga ega.
Agarda variantlar va ularning chastotalari ko’paytmasining yig’indisi bir xil bo’lsa, oddiy o’rtacha garmonik formulasi qo’llaniladi.

Masalan. Ikkita mashina (jiguli va neksiya) Toshkentdan Samarqandgacha bo’lgan masofani (260 km) bosib o’tdi. Jigulining tezligi soatiga - 60 km, Neksiyaniki – 80 km. Ikkala mashina uchun o’rtacha tezlik (km/coatda) hisoblansin.
Agarda oddiy o’rtacha arifmetik miqdor formulasi bilan aniqlasak, o’rtacha tezlik 70 km/soat [(60+80):2]. Bu noto’g’ri. Sababi o’rtacha tezlikni aniqlash uchun mantiqiy tahlil qilmadik. Mantiq bo’yicha o’rtacha tezlikni aniqlashda bosilgan masofani shu masofani bosib o’tish uchun sarflangan vaqtga bo’lish zarur.

У⁽ртача тезлик
_ умумий
босилган
^масофа  км / соат

умумий сарфланган вакт
Bizning misolimizda ikkala mashinada bosilgan umumiy masofa 520 (260+260) km. Birinchi mashina 260 km masofani bosib o’tish uchun 4,33 soat vaqt sarflagan bo’lsa, ikkinchi mashina – 3,25. Ikkalasi birgalikda 7,58 soat vaqt sarflangan. U holda o’rtacha tezlik teng:

У⁽ртача тезлик 
Босилган масофа
(км)
_ 520
 68,6км / соат

сарфланган
вакт
(соат)
7,58

Xuddi shunday natijani o’rtacha garmonik miqdorning oddiy formulasini qo’llash bilan ham olinadi:

х  ⁿ 
1  1 _
²  ⁹⁶⁰⁰  68,6км / соат

_ 1 1 _ 1
x 60 80
80  60

4800
140

Berilgan yoki keltirilgan variatsion qatorlarda chastotalar har bir variant bo’yicha noma’lum bo’lib, ularning o’rniga variantlar va chastotalarning ko’paytmasi berilgan bo’lsa, o’rtacha miqdorni hisoblashda garmonik tortilgan formuladan foydalaniladi.

Misol uchun, o’rtacha baho quyidagi nisbat bilan ifodalanadi:

У⁽ртача бахо 
Сотишдан умумий тушум

Сотилган бирликлар сони ( микдор)