Navoiy davlat konchilik va texnologiyalar universiteti konchilik fakulteti

Yuqori tartibli determinantning ta’rifi

Determinant tushunchasidan dastlab chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda foydalanilgan bo‘lib, keyinchalik ular matematikaning bir qancha masalalarini yechishga, jumladan xos sonlarni topishga, differensial tenglamalarni yechishga, vektor hisobiga keng tatbiq etildi ^[1].

Matritsaning muhim tavsiflaridan biri determinant hisoblanadi. Determinant faqat kvadrat matritsalar uchun kiritiladi.
kvadrat matrisaning determinanti  bilan belgilanadi. Masalan,  matritsaning determinanti  kabi aniqlanadi. Bunda matritsani uning determinanti bilan adashtirmaslik kerak: matritsa – bu sonlar massivi (jadvali); determinant – bu bitta son.
Ikkinchi tartibning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning ko‘paytmasi bilan yon diagonaldagi elementlarning ko‘paytmasi orasidagi ayirmaga teng (2.1-rasm).

Birinchi qatorni va bitta ustunni o'chirishda biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarning determinantlarini olamiz:
Ushbu ikkinchi tartibli determinantlarni (2.2) formula bo'yicha yozamiz va uchinchi tartibli determinantni hisoblash formulasini olamiz.

Aniqlovchi (2.3) olti hadning yig'indisi bo'lib, ularning har biri turli satrlarda va turli ustunlarda joylashgan aniqlovchining uchta elementining mahsulotidir. Bundan tashqari, uchta atama ortiqcha belgisi bilan, qolgan uchtasi esa minus belgisi bilan olinadi.

Formulani (2.3) eslab qolish uchun uchburchaklar qoidasi qo'llaniladi: asosiy diagonalda va yon tomoni asosiy diagonalga parallel bo'lgan ikkita uchburchakning uchlarida uchta elementning uchta mahsulotini qo'shishingiz kerak (2.2-rasm, a), va yon diagonallarda va yon diagonalga parallel bo'lgan ikkita uchburchakning tepalarida elementlarning uchta mahsulotini ayirish (2.2.6-rasm).

Rasmda ko'rsatilgan hisoblash sxemasidan ham foydalanishingiz mumkin. 2.3 (Sarrus qoidasi): o'ngdagi matritsaga birinchi va ikkinchi ustunlarni belgilang, ko'rsatilgan oltita satrning har biridagi elementlarning mahsulotini hisoblang, so'ngra ushbu mahsulotlarning algebraik yig'indisini toping, elementlarning mahsuloti esa asosiy diagonalga parallel chiziqlar ortiqcha belgisi bilan olinadi va yon diagonalga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlardagi elementlarning mahsuloti minus belgisi bilan (2.3-rasmdagi yozuvga muvofiq).

N> 3 tartibli determinantlarni hisoblash.
Shunday qilib, biz ikkinchi va uchinchi tartiblarning determinantlarini hisoblash uchun formulalarni oldik. Siz (2.1) formuladan foydalanib hisob-kitoblarni davom ettirishingiz va to'rtinchi, beshinchi va boshqalarning determinantlarini hisoblash uchun formulalarni olishingiz mumkin. buyurtmalar. Shuning uchun induktiv ta'rif har qanday tartibdagi determinantni hisoblash imkonini beradi. Yana bir narsa shundaki, formulalar noqulay va amaliy hisob-kitoblar uchun noqulay bo'ladi. Shuning uchun yuqori tartibli determinantlar (to'rtinchi va undan ko'p), qoida tariqasida, determinantlarning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda hisoblanadi.
2.1-misol. Determinantlarni hisoblang

Yechim. (2.2) va (2.3) formulalar bo'yicha topamiz;

Determinantni qator (ustun) elementlari bo'yicha kengaytirish formulasi
Tartibning kvadrat matritsasi berilgan bo'lsin.
Qo'shimcha kichik element matritsadan o'chirish yo'li bilan olingan tartibli matritsaning determinanti deb ataladi. i-chi qator va j-ustun.
Matritsa elementining algebraik to'ldiruvchisi bu elementning qo'shimcha minoriga ko'paytiriladi.
Teorema 2.1 - determinantni qator (ustun) elementlari bo'yicha kengaytirish formulasi. Matritsaning determinanti elementlarning mahsuloti yig'indisiga teng ixtiyoriy qator(ustun) algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha:
(i-qatorda parchalanish);
(j-ustundagi parchalanish).
Izohlar 2.1.
1. Formulani isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.
2. Induktiv ta'rifda (2.1), aslida, birinchi qatorning elementlari bo'yicha determinantni kengaytirish formulasi qo'llaniladi.
2.2-misol. Matritsaning determinantini toping

Yechim. Determinantni 3-qator bo'ylab kengaytiramiz:
Endi biz oxirgi ustundagi uchinchi tartibning determinantini kengaytiramiz:
Ikkinchi tartibning determinanti (2.2) formula bo'yicha hisoblanadi:
Uchburchak matritsaning aniqlovchisi
Yuqori uchburchak matritsaning determinantini topish uchun kengaytirish formulasini qo'llaymiz

Determinantni oxirgi qatorga (n-chi qatorga) kengaytiramiz:
elementning qo'shimcha minori qayerda. Belgilaymiz. Keyin. E'tibor bering, determinantning oxirgi qatori va oxirgi ustunini o'chirishda biz bir xil ko'rinishdagi yuqori uchburchak matritsaning determinantini olamiz, lekin (n-1) --tartibli. Determinantni oxirgi satr bo'ylab ((n-1) th chiziq) kengaytirib, biz olamiz. Davom etilmoqda xuddi shunday va shuni hisobga olib, formulaga kelamiz. yuqori uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng.