Nazariy mexanika

 
Asosiy savollar 
1.Nuqtaning nisbiy, ko’chirma va absolyut harakatlari 
2. Tezliklarning qo’shish teoremasi. 
 
3.Koriolis teoremasi.  
4. «To’xtatish» usuli. 
 
Tushuncha va tayanch iboralar 
Nisbiy harakat,  ko’chirma harakat, absolyut harakat, murakkab harakat, nisbiy, ko’chirma  va 
Koriolis tezlanishi.
 
 
Dars maqsadi:Nuqtaningmurakkabharakati to’g’risidagi ko’nikmalarini shakllantirish 
 
Foydalanilgan adabiyotlar 
1.Xusanov Q. Nazariy mexanika (statika, kinematika ). Toshkent -2012 
2.Shoobidov S.H. ba boshqalar. Nazariy mexanika. (statika, kinematika) Toshkent -2007 
3. Ahmadxojaev B. Nazariy mexanika.  O’quv qo’llanma. Toshkent -2009 
4. Rashidov T. va boshqalar. Nazariy mexanika asoslari. - T.: O’qituvchi, 1990. 
PDF created with pdfFactory Pro trial version 
www.pdffactory.com

79
 
 
 
 
 
1. Nuqtaning nisbiy, ko’chirma va absolyut harakatlari 
 
Mexanika  masalalarini  yechishda  ko’pincha  nuqtaning  harakatini  bir  vaqtning  o’zida  ikkita 
koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  tekshirish  maqsadga  muvofiq  bo’ladi.  Bu  holda  koordinatalar 
sistemalaridan  birini  qo’zg’almas  deb  qabul  qilamiz  va  uni  asosiy  koordinatalar  sistemasi  deb 
ataymiz. 
Masalan,  o’zgarmas  tezlik  bilan  to’g’ri  chiziq  bo’yicha  harakatlanayotgan  samolyotdan 
boshlang’ich  tezliksiz  tashlangan  yukning  harakatini  Yer  bilan  bog’langan  asosiy  koordinatalar 
sistemasiga hamda samolyotga biriktirilgan koordinatalar sistemasiga nisbatan tekshirish mumkin. 
 
 
M    nuqta  biror  0xuz  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  harakatlansin.  O’z  navbatida  bu 
koordinatalar  sistemasi  qo’zg’almas  deb  olinadigan  O
1
ξηζ
                                                                        asosiy 
koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatlansin. 
 
Nuqtaning  ko’zg’aluvchi  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  harakati  nisbiy  harakat 
deyiladi. 
M  nuqtaning  qo’zg’aluvchi  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  radius-vektorini 
ρ 
koordinatalarini,  x,u,z    hamda  qo’zg’aluvchi  koordinata  o’qlarining  birlik    yo’naltiruvchi 
vektorlarini mos ravishda  
k
j
i
r
r
r
,
,
  bilan belgilasak, 
k
z
j
y
i
x
r
r
r
r
+
+
=
ρ
   
 
 
 
 
(1) 
munosabat  o’rinli bo’ladi. 
PDF created with pdfFactory Pro trial version 
www.pdffactory.com

80
 
 
M  nuqtaning  nisbiy  harakat  tenglamalarini  Dekart  koordinata  o’qlaridagi  ifodasi 
quyidagicha yoziladi 




=
=
=
).
(
),
(
),
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x
   
 
 
 
 
 
(2) 
Nuqtaning    qo’zg’aluvchi  koordinatalar    sistemasiga  nisbatan,  trayektoriyasi  nisbiy 
trayektoriya deyiladi. Nuqtaning bunday harakatdagi tezlik va tezlanishi mos ravishda nisbiy tezlik 
va nisbiy tezlanish deyiladi hamda 
r
r
w
ва
v
r
r
          bilan belgilanadi. 
Qo’zg’aluvchi  koordinatalar  sistemasining  va  u  bilan  o’zgarmas  ravishda  bog’langan  fazo 
nuqtalarining qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan harakati ko’chirma harakat deyiladi. 
Ko’chirma tezlik  
е
v
r
   ko’chirma tezlanish   
е
w
r
  bilan belgilanadi. 
Nuqtaning  qo’zg’almas  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  harakati  absolyut  harakat 
deyiladi.  Nuqta  bir  vaqtning  o’zida  ikki  yoki  undan  ortiq  harakatda  ishtirok  etsa,  bunday  harakat 
murakkab harakat deyiladi. 
Absolyut harakatdagi  nuqtaning tezlik va tezlanishi  mos ravishda absolyut tezlik   
а
v
r
    va 
absolyut tezlanish   
а
w
r
   deyiladi. 
 
 
2. Tezliklarni qo’shish teoremasi
 
 
Agar    M  va  O  nuqtalarning  qo’zg’almas  koordinata  sistemasiga  nisbatan    radius-vektorini 
mos ravishda   
r
r
  va   
o
r
r
    bilan belgilasak, rasmdan 
ρ
r
r
r
+
=
o
r
r
 
 
 
 
 
 
 
(3) 
munosabat  o’rinli bo’lishini ko’ramiz  (1) ni nazarda tutib,    (3) ni 
k
z
j
y
i
x
r
r
o
r
r
r
r
r
+
+
+
=
 
 
 
 
 
(4) 
ko’rinishda  yozish mumkin. 
M nuqtaning  absolyut tezligini aniqlash uchun (4) dan vaqt bo’yicha hosila olamiz: 
.
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
k
z
j
y
i
x
dt
r
d
dt
r
d
o
r
r
r
r
&
r
&
r
&
r
r
+
+
+
+
+
+
=
 
 
 
(5) 
 (5) da quyidagi belgilashlarni  kiritamiz: 
.
k
z
j
y
i
x
v
r
r
&
r
&
r
&
r
+
+
=
   
 
 
 
 
(6) 
.
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
v
v
o
e
r
r
r
r
r
+
+
+
=
   
 
 
 
(7) 
.
;
dt
r
d
v
dt
r
d
v
a
o
o
r
r
r
r
=
=
   
 
Shunday qilib, quyidagi tenglik hosil bo’ladi: 
PDF created with pdfFactory Pro trial version 
www.pdffactory.com

81
 
 
.
e
r
a
v
v
v
r
r
r
+
=
 
 
 
 
 
 
(8) 
(8)  tenglama  murakkab  harakatdagi  nuqtaning  tezliklarini  qo’shish  haqidagi  teoremani 
ifodalaydi:  nuqtaning  absolyut  tezligi  mazkur  nuqta  nisbiy  va  ko’chirma  tezliklarining  geometrik 
yig’indisiga teng. 
 
Absolyut tezlikning moduli kosinuslar teoremasidan foydalanib aniqlanadi 
α
cos
2
2
2
e
r
e
r
a
v
v
v
v
v
+
+
=
   
 
 
 
(9) 
α
 = 90
0
    bo’lgan holda 
2
2
e
r
a
v
v
v
+
=
 
 
 
 
 
(10) 
α
 = 0
0
    bo’lganda 
.
2
2
2
e
r
e
r
a
v
v
v
v
v
+
+
=
   
 
 
 
(11) 
Nisbiy va ko’chirma tezliklar qarama-qarshi tomonga yo’nalsa, 
.
2
2
2
e
r
e
r
e
r
a
v
v
v
v
v
v
v
+
=
+
+
=
 
 
 
 
(12) 
munosaabatlar  o’rinli bo’ladi. 
Nuqtaning  ko’chirma  tezligini  aniqlash  ustida  batafsiya  to’xtalamiz.  Agar  qo’zg’aluvchi 
koordinatalar  sistemasining  berilgan  ondagi  burchak  tezligi          ma’lum  bo’lsa,  u  holda 
dt
k
d
dt
j
d
dt
i
d
r
r
r
,
,
  kattaliklarni  mos  ravishda 
k
j
i
r
r
r
,
,
  birlik  vektorlarning  uchlaridagi  nuqtalarning 
tezligiga teng deb qarash mumkin. Shu sababli Eyler  formulasiga ko’ra ushbu 
.
,
,
k
dt
k
d
j
dt
j
d
i
dt
i
d
е
е
е
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
=
×
=
×
=
ω
ω
ω
 
 
 
(13) 
tenglik  o’rinli bo’ladi. 
     (13) ni (7) ga qo’yib, (1) ni e’tiborga olsak, 
(
)
.
ρ
ω
ω
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
+
=
+
+
×
+
=
е
o
е
o
e
v
k
z
j
y
i
x
v
v
   
 
(14) 
formula o’rinli bo’ladi. 
PDF created with pdfFactory Pro trial version 
www.pdffactory.com

82
 
 
 
 
3.Koriolis teoremasi 
 
M  nuqtaning 
a
w
r
  absolyut  tezlanishi    mazkur  nuqtaning  absolyut  tezligidan  vaqt  bo’yicha 
olingan hosilaga teng bo’ladi: 
.
dt
v
d
w
o
o
r
r
=
 
(5) dan vaqt bo’yicha hosila olsak, quyidagi ifoda hosil bo’ladi: 
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2




+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
k
z
j
y
i
x
dt
r
d
w
o
a
r
&
r
&
r
&
r
r
r
r
&
&
r
&
&
r
&
&
r
r
 
 
 
(15) 
     (15) da quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 
,
k
z
j
y
i
x
w
r
r
&
&
r
&
&
r
&
&
r
+
+
=
  
 
 
 
 
(16) 
,
2
2
2
2
2
2
2
2
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
dt
r
d
w
o
e
r
r
r
r
r
+
+
+
=
 
 
 
 
(17) 
.
2




+
+
=
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
w
k
r
&
r
&
r
&
r
   
 
 
 
(18) 
Bu  yerda 
r
w
r
  -  nuqtaning  nisbiy tezlanishi, 
e
w
r
  -  nuqtaning  ko’chirma  tezlanishi,  
k
w
r
      -  
Koriolis tezlanishi. 
Shunday  qilib, nuqtaning absolyut tezlanishi uchun quyidagi tenglikni olamiz: 
.
k
e
r
a
w
w
w
w
r
r
r
r
+
+
=
   
 
 
 
(19) 
(19)  tenglik  murakkab  harakatdagi  nuqtaning  tezlanishlarini  qo’shish  haqidagi  G.Koriolis 
teoremasini  ifodalaydi:  murakkab  harakatdagi  nuqtaning  absolyut  tezlanishi  uning  nisbiy, 
ko’chirma va Koriolis (yoki) kushimcha tezlanishlarining geometrik yig’indisiga teng. 
Agar  ko’chirma  harakat  ilgarilama  harakatdan    iborat  bo’lsa,  u  holda  qo’zg’aluvchi 
koordinatalar  sistemasining 
k
j
i
r
r
r
,
,
  birlik  vektorlari  harakat    davomida  hamisha  o’ziga  parallel 
ravishda ko’chadi. (17) va (18) da 
k
j
i
r
r
r
,
,
                               vektorlardan  vaqt bo’yicha olingan 
birinchi va ikkinchi tartibli hosilalar nolga teng bo’ladi, va 
0
,
=
=
k
о
е
w
w
w
r
r
r
 
  munosabatlar  o’rinli bo’ladi. 
Natijada     
 
 
e
r
a
w
w
w
r
r
r
+
=
 
 
 
 
 
 
(20)                    
bo’ladi. 
Absolyut tezlanishning moduli 
PDF created with pdfFactory Pro trial version 
www.pdffactory.com

83
 
 




+
+
=
∧
e
r
e
r
e
r
a
w
w
w
w
w
w
w
r
r
,
cos
2
2
2
 
 
 
 
 
(21) 
(21) tenglik tezlanishlarning parallelogramm qoidasi deyiladi. 
 
Murkkab harakatdagi nuqtaning nisbiy, ko’chirmava Koriolis tezlanishlari 
Nuqtaning  nisbiy  tezlanishini  bevosita  (16)  formula  yordamida  yoki  ko’zg’aluvchan 
koordinatalar sistemasini fikran qo’zg’almas deb qarab aniqlash mumkin. 
Nuqtaning  ko’chirma  tezlanishi  (17)  dan  foydalanib  hisoblanadi.  Bu  formulada     
о
o
w
dt
r
d
r
r
=
2
2
    qo’zg’aluvchi 0xuz koordinatalar sistemasi boshining tezlanishini ifodalaydi. (13) ni 
e’tiborga olib (17) xadlarini quyidagicha o’zgartirish mumkin: 
(
)
(
)
,
2
2
i
i
dt
i
d
i
dt
d
i
dt
d
dt
i
d
dt
d
dt
i
d
e
e
e
e
e
e
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
×
+
×
=
×
+
×
=
×
=




=
ω
ω
ε
ω
ω
ω
 
 
bu  tenglikda 
dt
d
e
e
ω
ε
r
r
=
  bilan  berilgan  ondagi  ko’chirma  harakat  burchak  tezlanishi  belgilangan. 
Xuddi shu singari   
2
2
2
2
,
dt
k
d
dt
j
d
r
r
  larni hisoblash mumkin: 
(
)
(
)
.
,
2
2
2
2
k
k
dt
k
d
j
j
dt
j
d
e
e
e
e
e
e
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
×
+
×
=
×
×
+
×
=
ω
ω
ε
ω
ω
ε
 
Natijada  
 
(
)
(
)
[
]
(
)
ρ
ω
ω
ρ
ε
ω
ω
ε
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
×
+
×
=
=
+
+
×
×
+
+
+
×
=
+
+
е
е
е
е
е
е
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
2
2
2
2
2
2
 
tenglikni olamiz. 
     Shunday qilib, ko’chirma tezlanish uchun quyidagi ifoda hosil bo’ladi: 
 
(
)
ρ
ω
ω
ρ
ε
ε
r
r
r
r
r
r
r
r
×
×
+
×
×
+
=
е
е
е
е
o
e
w
w
 
 
 
(22) 
yoki 
 
,
ω
ε
e
e
o
e
w
w
w
w
r
r
r
r
+
+
=
 
 
 
 
 
(23) 
 
bu yerda    
ρ
ε
ε
r
r
r
×
=
е
e
w
   - aylanma tezlanish,      
ω
e
w
r
  - o’qqa intilma tezlanish. 
(13)ni  nazarda    tutib,  Koriolis  tezlanishini  ifodalovchi  (18)  tenglikni  quyidagicha  yoza 
olamiz: 
(
) (
)
(
)
[
]
(
)
[
]
.
2
2
k
z
j
y
i
x
k
z
j
y
i
x
w
e
e
e
e
k
v
&
r
&
r
&
r
v
r
&
r
r
&
r
r
&
r
+
+
×
=
×
+
×
+
×
=
ω
ω
ω
ω
 
PDF created with pdfFactory Pro trial version 
www.pdffactory.com

84
 
 
Koriolis tezlanishini ifodalovchi bu ifoda (6) ga ko’ra quyidagi ko’rinishni oladi: 
(
)
.
2
r
e
k
v
w
r
r
r
×
=
ω
 
 
 
 
 
 
(24) 
Demak,  murakkab  harakatdagi  nuqtaning  Koriolis  tezlanishi  qo’zg’aluvchi  0xuz 
koordinatalar  sistemasining  berilgan  ondagi  burchak  tezligi  bilan  nuqtaning  nisbiy  tezligi  vektorli 
ko’paytmasining ikkilanganiga teng. 
Koriolis tezlanishining moduli (24) tenglikka binoan 
.
,
sin
2




=
∧
r
e
r
e
k
v
v
w
r
r
r
r
ω
ω
 
 
 
 
 
(25) 
formula bilan aniqlanadi. 
 
 
 
Nuqtaning  murakkab  harakatiga  oid  masalalarni  yechishda  avvalo  qo’zg’almas  va 
qo’zg’aluvchi  koordinata  sistemalari  tanlanib,  nuqtaning  absolyut  harakati  nisbiy  va  ko’chirma 
harakatlarga ajratiladi. 
Murakkab  harakatdagi  nuqtaning  tezligini  topishda  (8)  formula  bilan  ifodalanadigan 
tezliklar parallelogrammi qoidasidan foydalaniladi. 
Murakkab  harakatdagi  nuqtaning tezlanishlarini aniqlashga oid  masalalarni 2 turga bo’lish 
mumkin: 
1.  Ko’chirma harakati ilgarilama harakat bo’lgan nuqtaning tezlanishlarini aniqlash. 
2.  Ko’chirma  harakati  ilgarilama  harakatdan  iborat  bo’lmagan  nuqtaning  tezlanishlarini 
aniqlash. 
 
PDF created with pdfFactory Pro trial version 
www.pdffactory.com

85
 
 
Nazorat savol va topshiriqlar 
1.  Nuqtaning nisbiy, ko’chirma va absolyut harakati deb qanday harakatlarga aytiladi? 
2.  Nuqtaning absolyut tezligi ifodasini keltiring 
3.  Absolyut tezlik moduli qanday aniqlanadi? 
4.  Nuqtaning absolyut tezlanishi  ifodasini keltiring 
5.  Koriolis tezlanishi nima? 
 
 
 
13-mavzu.QATTIQ JISMNING MURAKKAB HARAKATI 
 
Asosiy savollar 
2. Jismning ilgarilanma harakatlarini qo’shish haqidagi teorema. 
 
3. Jismning kesishuvchi o’qlar atrofidagi aylanma harakatlarini qo’shish. 
 
4. Jismning ikki parallel o’q atrofidagi aylanma harakatlarini qo’shish.
 
 
Tushuncha va tayanch iboralar 
Qattiq  jismning  murakkab  harakati,nisbiy  harakat,    ko’chirma  harakat,  absolyut  harakat, 
jismning ilgarilama va aylanma harakatlarini qo’shish