Nechta uch xonali sonlar bor ularning teskari raqamiga qo'shilganda, ular 5 ga bo'linadi? Yechim

Yechish. Ko'rinib turibdiki, n = 1 ko'rsatilganlarga ega emasxususiyatga ega bo'lgan vazifa sharoitida: masalan, 2 raqami bo'lishi mumkin emasnatijada olingan son 39 ga bo'linishi uchun bitta raqamni belgilang. Boshqa tomondan, ikkita raqamni belgilash orqali istalgan natija raqamlariga har doim erishish mumkin: bu 100 ta raqam orasida ekanligidan kelib chiqadi

natijada a raqamiga 00, 01 raqamlari xosdir, 02, . . "99, har qanday a uchun kamida bitta (va hatto ikkidan kam boʻlmagan) 39 ga boʻlinadigan sondir. Shunday qilib, kerakli n soni 2 ga teng.
1860. Найти все двузначные цисла, равные половине
суммы все< своих натуrльных делителей.
Р е ш е н и е. Пусть Х - множество искомых двузначных чисел. Рассмотрим в множестве всех двузначных
чисел следующие подмножества:
А - множество простых чисед;
В - множество чисел вида pq, где р и q - простьiе
числа;
С - множество чисел вида p2q, где р и q - простые
чис.ла;
D - множество чисел, дел?щихся на 6.
Ес.чи р Е А, то сумма е г о делителей равна 1 + р <
< 'р, так что р t Х. Если чис.�о а = pq Е В, то е го
делители - числа 1 , р, q и pq, и тогда а Е Х, е сли
выполняется равенство 1 + р + q = pq, или
p + l
q =
р - 1 .
Но p+ l делится на р - 1 только при р = 2 и при р = З,
откуда легко получаем, что а = pq= 6 - число однозначное. Следовательно, никакое число из множества В не
входит в Х.
Пусть теперь а = p2q Е С, тогда а Е Х, если вьшолняется равенство
1 + р + р2 + q + pq + p2q = 2p'q,
откуда
р' + р + 1
q =
р2 - р - 1 ·
Поскольку q";2, то p2+p+ l -;2р2 - 2р - 2, так что
р2:; 3р+З. Это неравенство выполняется лишь при р =
= 2 и р = 3 ; п р и р=2 мы получаем q = 7, а п р и р = 3
частное (p2+p+ l ) : (р2-р-1 ) н е является целым числом. Поэтому
а = pq = 28 Е Х.
Заметим теперь, что 6=3+2+ 1 , и поэтому при k > l
6k= 3k+2k+k, откуда ясно, что 6k меньше суммы всех
своих делителей. Другими словами, 6k $ Х, так, что
ни одно число из множества D не входит в Х.
Рассмотрение всех двузначных чисел показывает, что
в объединение А U В U С U D не входят лишь числа 20,
40, 56, 70, 80, 88, и непосредственная проверка показывает, что эти числа не входят в Х. Таким образом Х =
= {28}.
1861. Найти все натуральные числа, илtеющие два
простых делителя и равные половине суммы всех своих
натуральных делителей.
Р е ш е н и е. Многие читатели истолковали условие
задачи так, будто искомое число должно быть равно
произведению двух своих простых делителей; в этой
формулировке задача очень проста и решена при рассмотрении множества В в задаче 1860. Полное же решение задачи значительно сложнее. Мы пrиведем решение, присланное участниками математического кружка
1 0-й школы г. Ангарска (рук. В. А. Васильева) .
Пусть a= pmqn - искомое чисJю; тогда его делители
составляют множество
{1, р, • • •, рт; q, pq, • . ., ртq; . . . ; qn, pqn, . • •, ртqп},
так что выполняется равенство
(1 + . . . + рт) (l + q + . . . + qn) = 2ртqп. (1)
Заметим теперь, что либо первый множитель в левой
части не меньше, чем -,рт, либо второй множитель
не меньше, чем y'qn, в противном случае левая часть
была бы меньше 2pmqn. Пусть для определенности
1 + р + . . . + рт " у2рт,
откуда

т. е. р Е {2; З}.
Рассмотрим сначала р = 3. Равенство ( 1 ) принимает
вид
(3т+I _ 1 ) (1 + q + .. . + qn) = 4.3тqп.
Так как I +q+. . .+qn не
.
делится на q, а 3m+1 _ J не
делится на 3, то из этого равенства следует, что вы
полняется одна из следующих трех систем�
{ 31m++ql -+ 1. .=. +4qnqn , = зm; { 31m++lq + _ 1. . . = + q 'ql� = 2.зт;
{ 3m 1 ++lq_+l. . . = +qn,qn = 4.зm.
Рассмотрим первую систему. Из первого ее уравне
ния имеем 3m = 4qn --+ 1
3-- , и после подстановки . во вто
рое уравнение получаем qn+1 _ 1
q - 1
4q1 + 1
3
qn+1 = 4qn - q - 2 < 4qn,
откуда q = 2 или q = 3. Но q = р, так что q = 2.
Решая вторую и третью систему, мы также придем к
равенству q = 2. Таким образом, если р = 3, то q=2, и,
следовательно, один из простых делителей каждого ис
комого числа равен 2.
Итак, будем считать, что р=2; тогда р авенство ( 1 )
принимает вид
(1 + 2 + . . . + 2т) (1 + q + . . . + qn) = 2т+lqn, (:)
и поскольку первый множитель - нечетное число, а вто
рой не делится на q, то выполняется система
{ 1 1 ++ 2 + q + . . . . . . ++2qn т == qn 2т,+l 0
Отсюда 2т+l _ l = qn,
1 + q + . . . + qn = J + qn,
и, следовательно, n= 1, в противном случае q+. . .+
+qn-1 = 0, что неверно.
Итак, искомое число имеет вид 2mq, где q=2m+1 _
- 1 - простое число. Проверка показывает, что числа
такого вида удовлетворяют равенству (2) , т. е. условию
задачи. Одним из них является число 22 (28 - 1 ) =28.
1 862. Число 1 9771977 разбили на несколько слагаемых,
возвели эти слагае.мые в куб, сложили и полученную
сумму разделили на 6. Какой получился ос·ток?
Р е ш е н и е. Обозначим данное число через а, и пусть
оно разбито на несколько слагаемых:
а = а1 + а, + . . . + а1•
Тогда
а� + а� + . . . + а� = (ау- а1) + (а� - а2) + . . .
. . . + (а� - ап) + а.
Однако любая разность вида п3 - п делится на 6 (как
произведение трех последовательных натуральных чи
сел). Поэтому остаток от деления на 6 суммы кубов
слагаемых совпадает с остатком от деления на 6 самого
числа а. Но а - нечетное число, делящееся на 3, т. е.
a = 3 (2k+l ) = 6k+3, так что искомый остаток равен 3.