Nisbiy chastotaning o‘zgarmas ehtimollikdan chetlanishining ehtilolligi

Nisbiy chastotaning o‘zgarmas ehtimollikdan chetlanishining ehtilolligi

Reja:

1. Ehtimollarni bevosita hisoblashga doir misollar.
2. Nisbiy chastota. Nisbiy chastotaning turg‘unligi.
3. Ehtimolning klassik ta’rifining cheklanganligi.
4. Statistik ehtimol.
Ehtimollarni bevosita hisoblashga doir misollar.
1-misol. Qutida 3 ta oq va 9 ta qora shar bor. Qutidan tavakkaliga bitta shar olindi. Olingan sharning qora rangli chiqish hodisasi ehtimolini toping.
Yechish: A bilan tavakkaliga olingan sharning qora rangli chiqish hodisasini belgilaylik. A hodisani ro‘y berishiga 9ta hodisa qulaylik tug‘diardi (chunki 9 ta qora shar bor). Sinashlarning yagona mumkin bo‘lgan va teng imkoniyatli elemantar natijalar soni n=12, ya’ni
Amaliyotda son, shu sinov o‘rtacha 4 marta takrorlanganda uch marta ro‘y berishni bildiradi.
2-misol. Imtihon bileti tuzish uchun 60 savol tayyorlangan bo‘lib, 50 ta savolga talaba tayyorlangan. Talaba tomonidan tavakkaliga olingan biletga 2 ta savol kiritilgan bo‘lsa, bu ikkki savolga talaba tayyorlangan bo‘lish ehtimolini topishng. Yechish: A-bilan talaba tavkkaliga tanlangan imtihon bilet, u tayyorlangan savollardan tuzilgan bo‘lish hodisasini belgilaylik.
U tayyorlangan 50 savoldan 2 tadan qilib bilet tuzilsa, ularni soni ta bo‘ladi. 60 ta savoldan esa 2 tadan qilib ta bilet tuzishi mumkin. (1770 bilet ichida 1225 ta u tayyorlagan va 545 ta u umuman tayyorlanmagan va bittasiga tayyorlangan biletlar bor).
R(A)=0,7 amalda talaba tavakkaliga olingan o‘nta biletdan yettitasi u bilgan savollardan tuzilganini bildiradi.
3-masala. Guruxda 17 ta talaba bulib, ulardan 8 ta si kiz bola, 17 ta bilet tavakkaliga tarqatilgan bo‘lsa, qizlardan 4 tasi bilet sohibi bo‘lganlik ehtimolini toping.
Yechish: A-bilan 7 ta biletdan 4 tasi qizlarga tegishli bo‘lganlik hodisasini belgilaylik. Bu vaqtda
Chunki 7 ta biletni 17 ta talabaga ta usul bilan tarqatish mumkin.
A-hodisa ro‘y berishiga qulaylik tug‘diruvchi natijalar soni esa ni S ga ko‘paytmasiga teng, ya’ni

R(A)=0.3 soni o‘rtacha ushbu sinov 10 marta takrorlangandi 3 marta 4 ta qiz bilet soxibi bilishini bildiradi. Nisbiy chastota. Nisbiy chastotaning turg‘unligi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri nisbiy chastota tushunchasidar.Biror A hodisaning ro‘y berishi yoki bermasiligi ustida kuzatishlar yoki sinovlar o‘tkazilsa, uning ro‘y berishi yoki ro‘y bermasligi ma’lum turg‘inlik (barqarorlik) xossasiga ega bo‘lishi aniqlangan. Masalan Xitoyda eramizdan 2265 yil burun o‘g‘il bolalar tug‘ilishi sonining barcha tug‘ulgan bolalar soniga nisbati taqriban 0.5 ga tengligi hisoblab chiqilgan.
Laplas (Pyer Simon Laplas 1749-1827 fransuz matematigi) London, Peterburg va Fransiyada yig‘ilgan juda ko‘p statistik ma’lumotlarga tayanib, tug‘ulgan o‘g‘il bolalar sonining jami tug‘ilgan bolalar soniga nisbati taxminan ga tengligini aniqlangan statistik ma’lumotlar tasdiqlaydi.
Endi tangani tashlash misolini qo‘raylik. Tanga tashlash va sinov natijasida “gerb” tomoni tunishlar soni natijalari quydagi jadvalda keltirilgan.
Sinov o‘tkazganlar
Tanga tashlanganlar soni
Gerbli tomon tushishlar soni
Nisbiy chastota
Jorj Lun Leklerk Byuffon (1707-1788) fransuz tabiatshunos N4040 2048 0.5069
Karl Pirson (1857-1936) ingiliz matematigi
12000
6019
0.5016
Karl Pirson (1857-1936) ingiliz matematigi
24000 12012 0.5006
307, 307 A, V, G-M, 410-06, 411-06, 412-M gruh talabalari labaratoriya ishi bajarish jarayonida (barcha talabalarning natijalari to‘plangan) tanga talash bo‘yicha sinov o‘tkazdilar. Tanga jami n=62.000 marta tashlanib m=31029 marta gerb tushgani aniqlandi.
Ta’rif. Hodisaning nisbiy chistatasi deb, hodisa ro‘y bergan sinashlar sonining aslida o‘tkazilgan jami sinashlar soniga nisbatiga aytiladi, A hodisaning nisbiy chastotasi W(A) ko‘rinishida belgilanadi, ya’ni
W(A)= Bu yerda m-hodisaning ro‘y berish soni, n-sinashlarning jami soni.Hodisa ehtimolini va nisbiy chastota ta’rifini solishtirsak, hodisani ehtimolini aniqlashda sinash o‘tkazish talab qilmasligi, nisbiy chastotaning ta’rifi esa sinashlar o‘tkazilishi talab qilinadi.
Yuqoridagi jadvaldan: WByuffon(G)=0.5069, WPirson(G)=0.5016, WPirson(G)=0.5006 va talabalar sinovlarining natijasi
Wtalabalar(G)=
Keltirilgan misollardan ko‘rinadiki, agar bir xil sharoitda tajribalar o‘ztkazilib, ularning xar birida sinashlar soni yetarlicha katta bo‘lsa, u holda nisbiy chastota turg‘unlik hossasiga ega bo‘lar ekan. Bu xossa quyidagidan iborat:
Turli tajribalarda nisbiy chastota juda oz (sinashlar soni qancha katta bo‘lsa, u shuncha kam) o‘zgarib, biror o‘zgarmas son atrofida tebranadi. Bu o‘zgarmas son esa hodisaning ro‘y berish ehtimoli ekanligini payqash qiyin emas. Biz keltirgan misollarda 048<12000<24000<62000 bo‘lsa nisbiy chastotalar 0.5069>0.5016>0.5005 bo‘lar ekan. Shunday qilib, sinov yo‘li bilan xodisaning nisbiy chastotasi aniqlangan bo‘lsa, uni xodisa ehtimolining taqribiy qiymati sifatida amaliyotda qabul qilish mumkin ekan. Keltirilgan misollarda nisbiy chastotalar 0.5 sonidan ozgina, shu bilan birga sinashlar soni qancha katta bo‘lsa, shuncha kam farq qiladi. Tanga tashlashda garb tomon tushishi ehtimoli 0.5 ga tengligini etiborga olsak nisbiy chastota ehtimol atrofida o‘zgarishiga yana bir matra ishonch hosil qilamiz.[2.13bet] o‘quv darsligida 1935 yilda Shved sitatistikasi ma’lumotiga ko‘ra qiz bolalar tug‘ilishining nisbiy chastotasi yanvardan boshlab oylar bo‘yicha 0.486: 0.489: 0.490: 0.471: 0.478: 0.482: 0.462: 0.484: 0.485: 0.491: 0.482: 0.473:
Nisbiy chastotasi esa 0.482 ga teng.
Jizzax viloyati akusherlik kompleksida 2006 yilda oylar bo‘yicha olingan ma’lumotnomada (D.Bobojonova, R.Toliboyeva) o‘g‘il bolalar tug‘ulishi hodisaning nisbiychastotasi: 0.529: 0.571: 0.610: 0.562: 0.555: 0.509: 0.510: 0.497: 0.499: 0.469: 0.610: 0.505 yoki W(O‘)=0.538 Bu sonni Jizzax viloyati o‘g‘il bolalar tug‘ilishi ehtimolining taqribiy qiymati sifatida olish mumkin. “AiF” №21, 2007 yil sonida Rossiya statistika byurosining 10 oyda tug‘ilgan chaqaloqlar tarkibi keltirilgan; 1.182.552 bola tug‘ilgan, shulardan 610.185 o‘g‘il bola va 572.367 qiz bola: W(O‘)=R(O‘)=0.516: W(Q)=R(Q)=0.484 Shundan 7.640 ta ikkita, 97 tasi uchta va ikkitasi to‘rtta tuqqan, Yuriy va Olga Shevchuk oilasi to‘rt farzand ikki o‘g‘il va ikki qiz ko‘ragan Andriy, Polina, Liza, Timafey, “AiF” №21.2007 gazetasining 26 betida “Futbol nazariyasi va amaliyoti” jurnali redaktori Boris Chirvuning bitta statsitik kuzutishi e’lon qilingan.
Agar to‘pni egallagan futbolis uni sheriklariga oshirsa, uning raqib darvozasini ishg‘ol qilishning nisbiy chastotasi quydagicha bo‘lar ekan. 7 marta oshira W=0.02, 6-marta oshira W=0.03, 5-marta oshirsa W=0.06, 4-marta oshirsa W=0.08, 3-marta oshirsa W=0.11, 2-marta oshirsa W=0.13, 1-marta oshirsa W=0.17. Qolgan 0.4 ehtimol penaltidan va jarimadan urulgan to‘pga to‘g‘ri kelar ekan. Keltirilgan misollar ehtimollar nazariyasi turmushda keng tatbiq etilayotganiga yorqin misollardir. Ehtimolning klassik ta’rifining cheklanganligi. Ehtimolning “klassik” ta’rifida sinashning elementar natijalar soni chekli deb faraz qilinadi. Amaliyotda esa mumkin bo‘lgan natijalar soni cheksiz ko‘p bo‘lgan sinashlar ko‘p uchraydi. M: Jizzax viloyati bo‘yicha 2007 yilda yetshitirilgan bo‘g‘doy sifatini aniqlash, xsusiy holda bir yuk avtomabilda kelgan bo‘g‘doy sifatini aniqlash talab qilindi. Bunday hollarda ehtimolning klassik ta’rifini qo‘llab bo‘lmaydi. Ushbu keltirilgan misollar ham ehtimolning klassik ta’rfini cheklanganligini ko‘rsatadi.
Ehtimolning klassik ta’rifining yana bir kamchiligi shundaki, ko‘pincha sinash nitijasini elementar hodisalar to‘plami sifatida tasvirlab bo‘lmaydi. Hodisalarni teng imkoniyatli deb asos bo‘ladigan shartlarni ko‘rsatish undan ham qiyin. Amalda elementar natijalarni teng imkoniyatliligi simmetriyaga asoslanib xulosa chiqariladi. Maslan: o‘yin toshi tashlashda shu toshni mantazam ko‘b bo‘lib bir jinsli materildan tayyorlangan deb faraz qilinadi, yoki tanga tashlashni olsak, tanga bukilmagan bo‘lib bir xil qalinlikdagi metaldan tayyorlanadi. Semmetriklik xossasiga asoslash mumkin bo‘lgan masalalar amaliyotda kam uchraydi. M: 10t omborda turgan bo‘g‘doy uchun simmetriya tushunchasini qo‘llab bo‘lmaydi.
Shu sababli ehtimolning klassik ta’rifi bilan bir qatorda amalda hodisaning statistik ehtimoli tushunchasi keng ishlatiladi. Statistik ehtimol.
Tajribalar ko‘rsatadiki, sinovlar soni yetarlicha katta bo‘lganda hodisaning nisbiy chastotasi uning ehtimolidan juda kam farq qiladi. Shu sababli hodisaning ehtimoli sifatida W(A), ya’ni uni nisbiy chastotasi qaraladi va statistik ehtimol deb ataladi. Masala: Omborda katta partiya elektr yoritgichi bor. Tavakkaliga tanlab olingan elektr yoritgichni yaroqli bo‘lish hodisasi ehtimolini toping.
Izoh: elektr yoritgich 1200 soat=50 kun ishlasagina yaroqli hisoblanadi. Yechish: A-bilan tavakkaliga olingan hodisaning yoritgichining yaroqli bo‘lishni belgilaylik. R(A) ni ehtimolining klassik ta’rifi bilan topib bo‘lmaydi, chunki sinash natijalarini hodisalarning elementar to‘plami sifatida tasvirlab bo‘lmaydi. Bu masalan yechish uchun ushbu yoritgichlarni xammasini sinovdan o‘takazilmaydi, aks xolda yoritgichlar omborda qolmaydi. Bunday vaqtda tavakkaliga holis holda; M: 100ta yoritgichni sinovga qo‘yamiz va 50 kun mobaynida kuzatamiz. Misol uchun kuzatuv davrida 7 ta yoritgich yarroqsiz holga kelsa W(A)= bo‘ladi.
Adabiyotlar:

S.X.Sirojiddinov, M.M.Mamatov Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. T.1980 yil.

V.YE.Gmurman- Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. T.1977 yil.
V.YE.Gmurman -Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan masalalar yechishga doir qo‘llanma. T.1980 yil.
B.M.Rudik,- Obshiy kurs visshey matematiki dlya ekonomistov. M.2004 g.
A.I.Karasev, Z.M.Aksyutina, T.I.Savlyeva- Kurs visshey matematiki dlya ekonomicheskix vuzov. M.1982 g.
B.Gnedenko, A.Y.Xinchin- Elementarnoye vvedeniya v teoriyu veroyatnostey M.1976 g.
L.YE.Maystrov- Razvitiye ponyatiya veroyatnostey. M. 1985