Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishning sonli usullari

xi

(0) _

= 0,5; x (⁰⁾ = -1

x

l

x

_x
^f2^(x1^{, x}2⁾ = ^x2 +~^ ^-1 =⁰;

x 2 +— = 1;
. ² 2
Yechish:
5 f df2

2

^{a f}1^{( x}l^{(0), x}2⁰⁾⁾

2
= — • x-i

= 1,

0.67,

= xi

dx₁ dx₂
a f₂i x;⁰⁾, x»⁰⁾) dx₁

dx-

dx₁

dx

'2 ³
= 0.5, - f₁(x₁⁽⁰⁾, x (⁰⁾) = -0.67, - f₂(x|⁰⁾, x⁽⁰⁾) = 1.87.

2

.(0) _V(0K_

ya’ni

J
{
1 • (x1 + 2.36) — 1.53 • (x2 — 2.3) — 3.6;x1 — 1.53x2 — —2.28;
{— 2.36 • (x1 + 2.36) +1 • (x2 — 2.3) = —4.2; — 2.36 x1 + x2 = 3.7;
x⁽⁽²⁾ =-1.26, x(²⁾ = 0.67; e_n=₂ = max{(-1.26 + 2.36)²,(0.67-2.3)²} = 2.66.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi ikkita haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dasturidan ko‘rish mumkin:
>folve({x-y^A2/3 = -0.5, x^A2/2+y = 1}, {x,y}); allvalues(%);
{x = 2.895363758, y = -3.191565646} {x = -0.1770315380, y = 0.9843299173}

3. 
   Takomillashtirilgan Nyuton usuli
   

Nyuton hisob jarayoni (3.3) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa
W ¹ (x^(k)) ni hisoblash zarurati noqulaylik tug‘diradi.
Agar W^-1(x) matritsa izlanayotgan x* yechimning atrofida uzluksiz va
boshlang‘ich yaqinlashsh x⁰ izlanayotgan x* yechimga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u holda taqriban ushbu





tenglikni o‘rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni ka- maytirib, quyidagi takomillashtirilgan Nyuton usuli formulasini vujudga keltiradi:





Shuni ta’kidlaymizki, (3.13) va (3.14) jarayonlar uchun dastlabki yaqinlashishlar x⁽¹⁾ va ^⁽¹⁾ o‘zaro mos keladi, ya’ni x⁽¹⁾ = ^⁽¹⁾.
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 3.4-rasmda tas- virlangan):

1. 
   x⁽⁰⁾ - boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.
   
2. 
   W^-1 (x⁽⁰⁾) matritsani hisoblaymiz.
   
3. 
   (3.14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz.
   
4. 
   Agar (3.13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va x^(k+1) (3.1 ) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda 3-qadamga o‘tiladi.
   

Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo‘l bilan hisoblash mumkin bo‘lmasa, u holda Nyuton usulini qo‘llash murakkablashadi.
117