Nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham, mahraji ham 0 ga aylanib uni o'zi

funksiya faqat nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham, mahraji ham 0 ga aylanib uni o'zi ko'rinishga ega bo'ladi. Shu funksiyaning dagi limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.
7-teorema. funksiya da 1 ga teng limitga ega.
Isbot. Radiusi 1 ga teng aylana olib AOB markaziy burchakni bilan belgilaymiz va u intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma)
Chizmadan ko'rinib turibdiki,
yuzi sektor yuzi yuzi (2).
Biroq, yuzi (uchburchakning yuzi ikki tomoni va ular orasidagi burchak sinusi ko'paytmasining yarmiga teng). sektor yuzi ,

Shu sababli (2) tengsizliklar ko'rinishni yoki ga qisqartirilgandan so'ng : ko'rinishni oladi. Buning barcha hadlarini ga bo'lamiz . U holda yoki
tengsizliklarga ega bo'lamiz. Bu tengsizliklar deb faraz qilinib chiqarildi. ekanligini étiborga olib, bu tengsizliklar bo'lganda ham to'g'ri degan xulosaga kelamiz. Ammo va .
Demak, funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan oraliqdagi funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya i

funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.