Nuqtaga silliq bog‘liq skalyar kо‘paytma aniqlangan bо‘lsa

Agar har bir T_xM urinma fazoda x nuqtaga silliq bog‘liq skalyar kо‘paytma aniqlangan bо‘lsa, M kо‘pxillikda riman strukturasi berilgan deyiladi, ya’ni M dagi ixtiyoriy X, Y silliq vektor maydonlar uchun M da silliq funksiya bо‘ladi.

Bog‘lanishli silliq M kо‘pxillikda riman strukturasi berilgan bо‘lsa, M riman kо‘pxilligi deyiladi.

lokal koordinatalarda M dagi ixtiyoriy x h(U) nuqta uchun quyidagini hosil qilamiz:

(1) bunda — x nuqtaning (U, h) koordinatalaridagi bazisi, g_ij(x) bilan esa belgilangan. g_ij(x) funksiyaning qiymatlari M riman kо‘pxilligi x nuqtasining (U, h) lokal koordinatalardagi metrik tenzorining koeffitsientlari deyiladi.

Bizga M ko`pxillikda ixtiyoriy X, Y silliq vektor maydonlar berilgan bo`lsin. funksiyaning silliq bо‘lishi barcha g_ij funksiyalarning silliq bо‘lishi uchun zarur va yetarlidir, bu lokal kordinatalardagi funksiya bilan teng kuchlidir.

Bizga M₁, M₂ riman kо‘pxilliklari berilgan bo`lsin, agar ular о‘rtasida ixtiyoriy xM₁ nuqta va ixtiyoriy vektorlar uchun shunday diffeomorfizm : M₁→M₂ о‘rnatish mavjud bо‘lsa: va munosabat bajarilsa M₁, M₂ riman kо‘pxilliklari izometrik deyiladi, akslantirishning о‘zi esa izometriya deyiladi.

Agar — izometriya, (U, h) — M₁ dagi karta, (U, ) — esa M₂ dagi karta bо‘lsa, u holda funksiyaning qiymatlari x¹ , ..., xⁿ lokal koordinatalarda bir xil bо‘ladi.

- riman ko‘pxilliklari bo‘lsin. urinma fazodagi nuqtadagi to‘g‘ri ko‘paytmasi , to‘g‘ri ko‘paytmaga kononik izomorf bo‘ladi. Shuning uchun ixtiyoriy urinma vektorni , ko‘rinishda yozish mumkin, bunda . uchun hisoblasak ;



riman ko‘pxilliklari uchun (5)-tenglikdagi skalyar ko‘paytma ko‘pxilliklarning metrikrikadagi to‘g‘ri ko‘paytmasi deyiladi. Bog‘lanishli topologik fazo va B riman ko‘pxilligi uchun



qoplama berilgan bo‘lsin. Bu p akslantirish botirish bo‘ladi. p uchun X fazoda indutsirlagan riman strukturasi kiritilgan. Bu p akslantirish lokal izometriya bo‘ladi. Bunday qoplama riman qoplamasi deyiladi.