O ’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi Samarqand davlat universiteti

Мустақил ўрганиш учун саволлар:
1.Функция деб нимага айтилади?
2. Функция тушунчасини киритишда нималар асосий ўринни эгал-лайди?
3. Мактабда ўрганиладиган асосий элементар функциялар ўрганилиши хусусиятлари ҳақида нималарни биласиз?
4. Функция ўрганилишида қандай асосий тушунчалар ўқувчиларга баён этилади?
5. Чизиқли функцияни ўрганишда қандай усуллар қўлланилади?
6.Квадратик функциянинг қандай хоссалари мавжуд?
7.Тригонометрик функцияларни ўрганиш қандай хусусиятларга эга?
8. Функция графикларини ўрганишда нималарга эътибор бериш лозим?
9. Функция графикларини алмаштиришларнинг қандай усуллари мав-жуд?
15-МАШҒУЛОТ. GEOMETRIYA O‘QITISH USLUBIYATI MASALALARI.GEOMETRIYA O‘QUV PREDMETI SIFATIDA
Режа
1. Геометрия фанини ўқитишнинг мақсадлари.
2.Геометрия фани ва унинг ўқитилиши ҳақида тарихий маълумотлар.
3. Мактабда геометрия ўқитишнинг мазмуни.
4. 5-6-синфларда геометрия элементлари.
5.7-9-синфларда геометрия ўқитишнинг хусусиятлари.
Таянч иборалар: геометрия, геометрия фани тараққиёти, мактабда геометрия, геометрия бўйича бошланғич тушунчалар, систематик геометрия, текисликдаги асосий геометрик шакллар.
Машғулотнинг мазмуни
1. Давлат таълим стандартида геометрия ўқитишга оид вазифалар белгилаб берилган, яъни: планиметриянинг методлари ва асосий фактларни узлаштириш; ўрганилаётган тушунча ва услублари ҳаётда ва табиатда руй бераётган ходисаларни математик моделлаштириш воситаси эканлиги тўғрисидаги тасаввурларни шакллантириш; фазовий жисмларнинг хоссаларини ўрганиш, бу хоссаларни амалиёт масалаларини ечишга тадбиқ этиш кўникмаларини ривожлантириш.
Шу билан бирга геометрик билимлар ўқувчиларга амалий мазмунли масалаларни ечишга; кандайдир реал конструкцияларда геометрик фигураларни кўришга, техник чизмаларда тушуна олишларига ёрдам бериш лозим. Шунингдек, геометрия ўқитишда ўқувчилар мантиқий асослаш кўникмасини эгаллашлари, айрим хусусий ҳолларни қараш орқали топилган боғланишларнинг умумий характерга эга эканлиги ва улар маълум кўринишдаги барча шаклларга тааллуқли бўлиши мумкинлигини ўргатиш талаб этилади.
Математика давлат таълим стандартида қўйилган мақсадлардан бири- ўқувчиларда мантиқий фикрлашни шакллантириб бориш натижасида уларнинг ақл-заковат ривожига, табиат ва жамиятдаги муаммоларни ҳал этишнинг мақбул йўлларини топа олишларига кўмаклашиш ҳам айниқса геометрия ўқитишда амалга ошириш имкониятлари мавжуд.
Тўғри ташкил этилган геометрия ўқитиш ўқувчиларда геометрик билмларни амалда ижодий қўллашни тарбиялаши улардаги келгуси иш фаолиятларида қўллай олишга ўргатиш учун асос бўлади.
2. Геометрия фан сифатида энг қадимга тааллуқли юза ва ҳажмларни ҳисоблаш учун амалий қоидалардан қатъий, мантиқий системали фанга айлангунча узоқ даврни босиб ўтди. Унинг систематик курси Евклид томонидан эрамизгача 3-асрда яратилди.
2 минг йил давомида Евклиднинг “Негизлар” асари мантиқий жиҳатдан ўқув қўлланмаси бўлиб келди. Фақат 19-аср иккинчи ярмидан геометрия асослари чуқур таҳлил қилиниб, бу геометрия фани қатъий мантиқий тузилиши қаноатлантирилиши лозим бўлган талаблар аниқланди. Бунда рус математиги Н.И.Лобачевскийнинг хизматлари катта бўлди. Ҳозирги даврда геометрия фани қатъий дедуктив ҳисобланади. Унинг асосига қандайдир аксиомалар системаси ва маълум сондаги асосий ёки дастлабки тушунчалар қўйилади. Бу тушунчалар мазмуни аксиомаларда очиб берилади, курснинг кейинги барча баёни соф мантиқий йўл билан амалга оширилади: ҳар бир киритилаётган тушунчага таъриф берилади, ҳар бир янги мулоҳаза исботланади, яъни мантиқий равишда аксиомалар, олдинги теоремалар ва таърифлардан мантиқий келтириб чиқарилади. Мактаб геометрия курси Евклиднинг “Негизлар”и таъсири остида шаклланди ва берилаётган мазмун ҳажмига нисбатан ҳам, айрим мавзуларнинг жойлашишига нисбатан ҳам маълум ўзгаришларга учрасада, асосан, уша дедуктив характерини сақлаб қолди.
Ҳозирги даврда ўрта мактаб 5-6- синфларида геометрия элементлари ўрганилиб, систематик геометрия курси 7-9-синфларда ўқитилади.
3. Геометрия ўқитиш мазмуни ўқув дастури ва ДТС талабларидан келиб чиқади. Бунда асосий қуйидаги йўналишларни кўрсатиш мумкин:
1. Асосий тушунчаларнинг киритилиши: нуқта, тўғри чизиқ, текислик ва тўплам.
2. Асосий геометрик шаклларнинг ўрганилиши: кесма, нур, бурчак, учбурчак, туртбурчак ва кўпбурчаклар, фазовий шакллар: кўпёқлар ва айланиш жисмлари, айлана ва доира.
3. Геометрик шаклларнинг хоссалари: учбурчак, тўртбурчак турлари ва уларнинг хоссалари, кўпбурчаклар ва мунтазам кўпбурчаклар хоссалари.
4. Геометрик миқдорларни ўрганиш: узунлик, юза ва ҳажм тушунчалари, учбурчакда метрик муносабатлар.

5. 
   5. Текисликлар ва фазода координаталар усули, векторлар.
   

6. Геометрик масалалар ечиш усулларига ўргатиш: ҳисоблашга, исботлашга ва ясашга доир масалаларни ечиш усулларини таркиб топтириш.
7. Геометрик алмаштиришлар ҳақида маълумотлар бериш ва уларнинг қўлланилишига мисоллар бериш: силжиш, параллел кўчириш, симметрия каби алмаштиришлар ҳақида билимлар бериш.
Айлана ва доира дастлаб унинг асосий элементлари ватар, диаметр, радиус, марказ ҳақида тушунчалар берилади, хоссалари исботланади. Бунда асосий мақсад циркуль ва чизгич ёрдамида содда масалаларни ечиш кўникмаларини шакллантиришдан иборат. Бундан ташқари, айлана ва доира математик усулларнинг ўзаро боғлиқлиги асосида қаралади. Масалан, координаталар усули ёрдамида тўғри чизиқ ва айлана ўзаро жойлашиши ўрганилади, айлана тенгламаси келтирилиб чиқарилади, геометрик алмаштиришлар усули ёрдамида айлананинг кўпгина хосслари асосланади ва ўрнатилади, геометрик ўринлар усули эса айлана тушунчасини турлича баён этишга имкон беради. Айлананинг метрик хоссаларини ўрганиш айланага ташқи ва ички чизилган мунтазам кўпбурчакларни ўрганишга ёрдам беради.
4. 5-6-синфларда геометрия бўйича билимлар беришнинг қуйидаги мақсадлари мавжуд:

• 
  ўқувчиларни асосий геометрик тушунчалар ҳақида маълумотлар билан таништириш;
  
• 
  ўқувчиларни систематик геометрия курсини ўрганишга тайёрлаш;
  
• 
  уларда геометрик ясаш малакаларини шакллантириш.
  

Бу синфларда қуйидаги геометрик билимлар берилади: 1-4-синфларда ўрганилган геометрик шакллар ва уларнинг хоссалари ҳақидаги тасаввурлар чуқурлаштирилади; янги геометрик миқдорлар ўрганилади (айлана узунлиги, бурчак катталиги); шакллар орасидаги фарқлар кўрсатилади (кесма узунлиги ва кесма, бурчак ва бурчак катталиги); геометрик ясашлар кўпаяди ва унда қўлланиладиган асбоблар ҳам кўпаяди (чизгич, циркуль, траспортир). Геометрия элементлари асосан индуктив равишда баён этилади. Бунда кўпгина билимлар улчаш ва ясашларни умумлаштириш, моделлаштириш ёрдамида баён этилади.
5-6-синфларда ўқувчиларнинг геометрик билимлар савияси маълум даражада текис бўлишига ҳамда системали билимларга бошланғич қадамлар қўйишга эришилади. Биринчи босқичда, тўғри чизиқ, текислик, кесма, кесма узунлиги, перпендикуляр ва параллел тўғри чизиқлар каралади. Айниқса, бунда атамалар киритилишига эътиборни қаратиш лозим: тўғри чизиқнинг ўз-ўзига параллеллиги, бир тўғри чизиқда ётган кесмалар параллел. Геометрик ясашларни бажаришга ўргатишда ясаш асбобларидан чизгич, циркул, учбурчакли чизгич ва транспортирлардан фойдаланишга ўргатиш мумкин. Циркулни қўллаш чэгараланган бўлиб, айлана ва доирани тасвирлаш учун қўлланилади.
5. 7-9 -синфлар геометрия ўқув дастурида бу фаннинг ҳаёт ва амалий фаолият билан мустаҳкам алоқасини ўрнатиш учун улчаш ва ясашларга доир тушунчаларни шакллантириш, хусусан, конус, шар, сирт юзаларини ҳисоблаш, пирамида ва айланиш жисмлари ҳажмларини ҳисоблаш киритилган. Ўқувчилар фазовий тасаввурларини ривожлантириш ва фазовий конструкцияларда таҳлил қилиш кўникмаларини шакллантириш учун 9-синф геометрия курси тўла шу масалаларини ўрганишга бағишланган.
Мазкур синфларда планиметрия кўпроқ ва стереометрия маълум ҳажмда ўқитилиши кўзда тутилган. Бу курс ўқувчиларга дедуктив исботлашлар ҳақида, геометрик мулоҳазалар орасидаги боғланишлар ҳақида тушунчалар беради. Аввалгидек, 8-синф геометрия курсига тўғри бурчакли учбурчакларда томонлар билан учбурчаклар орасидаги муносабатлар киритилган. Тригонометрик муносабатлар геометрик масалалар ечишнинг янги усулини беради ва амалий кулланишларда катта ахамиятга эга.
Математика ўқув дастури бўйича геометрияда қуйидаги мавзулар ўрганилади:
7-синф
Планиметрия. Бошланғич геометрик маълумотлар - 20 соат
Учбурчаклар – 24 соат
Паралел тўғри чизиқлар – 8 соат
Параллелограмм ва унинг турлари – 5 соат
Фалес теоремаси ва унинг натижалари – 4 соат
Геометрия курсини аксиоматик қуриш – 4 соат
Такрорлаш – 3 соат
8-синф
Юзалар – 8 соат
Пифагор теоремаси – 7 соат
Учбурчакда метрик муносабатлар – 5 соат
Тўғри бурчакли учбурчакда томонлар билан бурчаклар орасидаги муносабатлар – 14 соат
Айлана ва купбурчаклар – 11 соат
Айлана узунлиги ва доира юзи – 8 соат
Векторлар - 8 соат
Ўхшаш шакллар – 5 соат
Такрорлаш – 2 соат
9-синф
Стереометрия аксиомалари ва унинг содда натижалари – 6 соат
Тўғри чизиқлар ва текисликларнинг паралеллиги ва перпендикулярлиги - 8 соат
Кўпёқлар – 10 соат
Айланиш жисмлари – 6 соат
Кўпёқларнинг ён ва тўла сиртлари – 7 соат
Фазовий жисмларнинг ҳажмлари – 11 соат
Такрорлаш – 4 соат
Геометрия ўқитишнинг қуйидаги хусусиятлари мавжуд:
1. Планиметрия ўқитишда қўлланиб келинган кўргазмали геометрия усулларидан воз кечмаслик лозим. Аввалгидек, ўқитувчи кўргазмалиликни кенг қўллаши, ўқувчиларни ўрганилаетган шакллар хоссаларини кузатишга, бу хоссаларни ўзлаштиришга ёрдам берувчи амалий ишларга ўқувчиларни жалб этиши талаб этилади.
2.Шу билан биргаликда ўқувчилар мантиқий фикрлашларини ривожлантириш бўйича иш олиб боришлари зарур. Планиметрия тушунчаларини ўрганиш бунга имкон беради. Сўнгра уларнинг орасидаги ички боғланишларни англашга, бир хоссаларнинг бошқаларга боғлиқлигини билиб олишга имкон беради. Ҳар бир тушунча ва геометрик масалалар ўқувчилар мантиқий фикрлашларини ўстириш учун хизмат қилмоғи керак.
3.Геометрияни ўрганиш амалий мазмунли ва ишлаб чиқариш мазмунли масалалар ечиш билан қўшиб олиб борилиши мақсадга мувофик.
4.Қабул қилиш ва ўзлаштириш онглилигини ошириш учун уларни фанга бўлган қизиқишларини ошириш учун ҳар бир ўқув фаолиятини фаоллаштириш зарур. Бунинг учун барча ўқувчиларни умумий синф ишига, мустақил ишларни ташкил этишга жалб килиш талаб этилади.
Ўқувчиларнинг геометрияни ўқитиш жараёнида фикрлашларини ривожлантиришда қуйидаги икки усул кенг имкониятлар яратади:
а) изланишга оид геометрик масалалар ечиш; б)мақсадга йўналтирилган геометрик масала ва машқлар бажариш. Буни ўқитувчилар иш тажрибаси ва илмий-услубий тадқиқотлар натижалар яққол кўрсатмоқда. Ķуйида 7-9-синфлар геометрия курсининг айрим мавзуларини ўрганишда ўқувчиларни умумлаштиришларга ўргатиш услубларини қўллаш технологияси келтирилади.
7-синфда “Тўғри чизиқлар параллеллик аломатлари” мавзусини ўрганишда изланишга доир қуйидаги масалаларни ечиш орқали ўрганилиши керак бўлган назарий тушунчалар ўқувчиларга баён этилиши мумкин ва улар натижаларни умумлаштирадилар. Бунда қуйидаги саволлар мажмуаси муҳокама этилади.:

1. 
   АВС бурчак 80⁰ га, ВСД бурчак 120⁰ га тенг. АВ ва СД тўғри чизиқлар параллел бўлиши мумкинми? Жавобни тушунтиринг.
   
2. 
   Ҳамма вақт ҳам АВ ва СД тўғри чизиқлар параллел бўладими? Ķайси ҳолларда кўриб чиқиш лозим?
   
3. 
   АВС бурчак 80⁰ га, ВСД бурчак 100⁰ га тенг. АВ ва СД тўғри чизиқлар параллел бўлиши мумкинми?
   
4. 
   Икки а ва в тўғри чизиқлар ва кесувчи с тўғри чизиқ бўлганда ички алмашинувчи бурчаклар ва га тенг. Бу тўғри чизиқлар параллел бўладими?
   
5. 
   Икки а ва в тўғри чизиқлар ва кесувчи с тўғри чизиқ бўлганда ички бир томонли бурчаклар ва га тенг. Бу тўғри чизиқлар параллел бўладими?
   
6. 
   Ҳамма вақт ҳам а ва в тўғри чизиқлар параллел бўладими?
   
7. 
   Агар АВ ва СД тўғри чизиқлар параллел бўлиб, АВС бурчак80⁰ га тенг. ВСД бурчак нимага тенг ?
   
8. 
   Агар АВ ва СД тўғри чизиқлар параллел бўлиб, АВС бурчак га тенг. ВСД бурчак нимага тенг?
   

Бундан кўриниб турибдики, ҳар бир топшириқнинг барча ҳоллари қаралиб, улар учун умумий хулоса чиқарилади, яъни масалалар кетма-кетлиги мантиқан назарий тушунчани умумлаштиришни кўзда тутади.
Геометрия дарсларида мақсадга йўналтирилган геометрик масалалар ёрдамида қандай қилиб ўқувчилар билимларини умумлаштиришга тўхталиб ўтамиз
“Параллелограмм” мавзусини ўрганишда унинг қуйидаги хоссалари мураккаблашган ҳолда масалалар ечиш орқали ўрганилади:

1. 
   Параллелограмм диагонали уни тенг иккита учбурчакка ажратади.
   
2. 
   Параллелограмм диагоналлари кесишиш нуқтасида тенг иккига бўлинади.
   
3. 
   Параллелограммда қарама-қарши бурчаклар ва қарама-қарши томонлар тенг.
   
4. 
   Паралллелограммнинг бир томонига ёпиҳган бурчаклари йиғиндиси 180⁰ га тенг.
   
5. 
   Параллелограммнинг ихтиёрий бурчаги биссектрисаси ундан тенг ёнли учбурчакка ажратади.
   

Бундан ташқари, параллелограмм ички нуқтасидан унинг томонлари ётган тўғри чизиқларгача масофалар йиғиндиси – бу параллелограмм учун ўзгармас миқдор бўлиши, параллелограмм диагоналлари кесишиш нуқтасидан ўтувчи тўғри чизиқ уни иккита тенгдош учбурчакка ажратиши, параллелограммнинг қарама-қарши бурчаклари биссектрисалари параллел, бир томонга ёпишган бурчаклари биссектрисалари ўзаро перпендикуляр, катта бурчак қаршисида катта диагонал ётиши, параллелограммда ўтмас бурчаги учидан туширилган баландликлар орасидаги бурчак параллелограммнинг ўткир бурчагига тенг бўлиши хоссалари мақсадга йўналтирилган машқлар ва масалалар ёрдамида муҳокама этилади.
Параллелограмм аломатларини ҳам мисоллар орқали кўриб чиқиш унинг хоссаларини умумлаштиришда муҳим аҳамиятга эга:

1. 
   Агар тўртбурчакда диагоналлар бир нуқтада кесишиб тенг иккига бўлинса, бу тўртбурчак-параллелограмм.
   
2. 
   Агар тўртбурчакда қарама-қарши томонлар жутф-жуфт тенг ва параллел бўлса, бу тўртбурчак-параллелограмм.
   
3. 
   Агар тўртбурчакда қарама-қарши ётган томонлар тенг бўлса, бу тўртбурчак-параллелограмм.
   
4. 
   Агар тўртбурчакда қарама-қарши бурчаклар тенг бўлса, бу туртбурчак-параллелограмм.
   
5. 
   Агар тўртбурчакда ҳар бир диагонал уни тенг иккита учбурчакка ажратса, бу тўртбурчак –параллелограмм.
   

Буларнинг ҳар бирига доир машқлар ечиш ва уларни исбот қилиш ўқувчиларнинг параллелограмм умумий хоссаларини қўллашлари учун имкон беради. Масалан, 3-аломатни ўзлаштиришга доир қуйидаги масалалар таклиф этилади:
1.АВСД тўртбурчакда АВ=СД, ВС=АД. Бу тўртбурчак параллелограмм бўлишини исботланг.
2.АВСД тўртбурчак- параллелограмм. МА=0,25АВ, ВN=0,25ВС, СР=0,25АД. МNРК тўртбурчак параллелограмм бўлишини исботланг.
3.АВСД тўртбурчак томонларида мос равишда М,N,Р,Q нуқталар шундай қўйилганки, МА=СР,ВN=ДQ,BM=DP,NC=QA. АВСД ва MNPQ тўртбурчаклар параллелограмм бўлишини исботланг.
Ўқувчиларга умумлаштириш кўникмаларини ривожлантиришда комбинаторик мазмунли геометрик масалаларни ечиш муҳим аҳамият касб этади. Бунда қуйидаги машқларни таклиф этиш мумкин:

1. 
   п та тўғри чизиқ кесишиш нуқтари энг катта сонини топинг. Жавоб:(п-1)п/2
   
2. 
   Текисликда 7 та нуқта жойлашган ва уларнинг ҳеч қайсиси бир тўғри чизиқда ётмайди. Берилган ҳар икки нуқта орқали тўғри чизиқлар ўтказилади. Ҳаммаси бўлиб нечта тўғри чизиғ ўтказилган? Жавоб: 21 та.
   
3. 
   103 та томонга эга бўлган кўпбурчакда нечта диагонал ўтказиш мумкин? Жавоб:(103х100):2=5150 та.
   
4. 
   Агар кўпбурчакнинг диагоналлари сонини томонлари сонига нисбати р га тенг бўлса, у қанча томонга эга бўлади? (Ечиш. п-бурчак диагоналлари сони Ѕ (п-3)п. Демак, р= (п-з):2. Бундан п = 2р+3.
   

Ўқувчиларнинг геометрия ўқитишда умумлаштиришга ўргатишда масалалардаги турли аниқмасликларни пайқай олиш ва шунга мос ҳолларни қараш муҳим аҳамиятга эга. Масалан, қуйидаги масалани ечишда шундай анқмасликлар иккита ҳолни тадқиқ этишни талаб этади.
Масала. Тетраэдрнинг ён ёқлари текисликлари асос текислигига бир хил бурчак остида оғишган, унинг асосида томони а га тенг мунтазам учбурчак ётибди. Тетраэдр ҳажмини топинг.
Бунда икки ҳол мавжуд:

1. 
   Агар тетраэдр учи ички чизилган айлана марказига проекцияланса, у ҳолда
   

2. 
   Агар тетраэдр учи ташқи ички чизилган айлана марказига проекцияланса, у ҳолда
   

Ўқувчилар умумлаштириш кўникмаларини шакллантиришда ана шундай турли ҳолларни ечишга доир яъни аниқмасликларни текширишга ўргатиш муҳим аҳамият касб этади. Баъзи ҳолларда масала шарти турли геометрик вазиятларни қаноатлантиради.Агар буни хисобга олмасака, масала ечими тўлиқ бўлмай қолади. Шунинг учун бундай масалаларни текшириш ва натижаларни жавобда акс эттириш зарур. Бундай иш ўқувчилари билимларини чуқурлаштиришга, олинган натижаларни тадқиқ қилиш асосида умумлаштиришга ўргатади. Текисликдаги масалаларда аниқмасликларни умумлаштириш қуйидаги турдаги масалаларни тадқиқ этишга олиб келиши мумкин.
1. Масала шартида бурчакка боғлиқ равишда учбурчак тури кўрса-тилмаган ҳолда (бурчакларга нисбатан) жавоблар турлича бўлишига олиб келади.
2. Масала шартини қаноатлантирувчи бурчакларни ихтиёрий танла-ганда шарт ва масаланинг ечими бир қийматли бўлмаслигини вужудга келтиради.
3.Масала шарти ёки ечими аниқмаслиги масала шартини қаноатлантриувчи берилганлар ёки нуқталарни ихтиёрий танланиши билан ҳам пайдо бўлиши мумкин.
4.Масала шартини қаноатлантирувчи бир хил исмли чизиқли элементларнинг ихтиёрий танланишида масала шарти ва ечими аникмаслиги пайдо бўлади.
5.Стереометрик масалаларда эса масала шарти ва ечими аниқмаслиги масала шартини қаноатлантирувчи текисликларнинг ихтиёрий танланишидан вужудга келади.
6.Масала ечими аниқмаслиги берилган шакл бир ёки бир нечта нуқтасини бирор текисликка ортогонал проекцияси турли ҳолати билан ҳам вужудга келиши мумкин.
7.Масала шарти ва ечими аниқмаслиги бир ёки бир нечта (айланалар, сфералар ҳақидаги масалаларда) марказлар вазияти, ички ва ташқи уриниш ҳам вужудга келиши мумкин.
Ўқувчиларнинг умумлаштириш кўникмаларини ривожлантиришда оғзаки умумлаштириш мазмунига эга машқлардан фойдаланиш ҳам яхши натижалар беради. Буларга мисоллар келтирамиз:

1. 
   Тескаридан фараз қилиш йўли билан иккита ихтиёрий нуқталар орасидаги масофа уларнинг учинчи нуқтагача бўлган масофалар йиғиндисидан кичик бўлса, учта нуқта бир тўғри чизиқда ётмаслигини исботланг.
   
2. 
   Тескарисидан фараз қилиш йўли билан икки нуқта орасидаги масофа уларнинг учинчи нуқтагача бўлган масофалар йиғиндисига тенг бўлса, уч нуқта бир тўғри чизиқда ётишини исботланг.
   
3. 
   Тенг ёнли учбурчакнинг асоси ён томонидан икки марта катта бўлиши мумкинми?
   
4. 
   Учбурчакнинг икки томони мос равишда 10 см ва 12 см га тенг. Учинчи томони узунлиги х ҳақида нима дейиш мумкин?
   
5. 
   Тўртбурчак томонлари мос равишда 1 см, 2 см , 3 см ва 6 см га тенг бўлиши мумкинми?
   

Шундай қилиб, ўқитувчи ҳар бир мавзуни ўрганишда ўқувчиларга геометрик шакллар хоссаларини умумлаштириш орқали уларнинг фикрлаш кўникмаларини ривожлантир-ишга самарали таъсир кўрсатиши мумкин ва бунда масалалар мажмуаси ва саволларни мавзу хусусиятларига мос равишда танлаб олиши талаб этилади.
Маълумки, ўқувчиларни ҳар томонлама ривожлантириш ва уларни ижодий фаолиятга тайёрлашда масалалар ечишнинг аҳамияти катта. Бунда масалаларнинг имкониятларидан фойдаланиш яхши натижалар беради. Ҳар бир масала ечиш усули мавжуд, унинг бошқа ечиш усулларини излаш ва ечиш натижаларини таҳлил этиш, янги масалалар тузишга ўргатиш, масалаларни умумлаштиришга ўргатиш ва ҳоказо фаолият турлари орқали ўқувчиларда на факат математик қобилиятларини ривожлантириш балки, уларнинг ижодий равишда билимларнии қўллай олишга ўргатиш мумкин.
Масалаларни қайта ишлаб янги масалалар тузишга ўргатиш ҳақида фикр юритамиз. Бунда ўқувчи масалани ечиб, уни турли ўзгартиришлар ёрдамида янги масалалар туза олиши зарур бўлади, яъни масала ғоясини ижодий ривожлантириши талаб этилади.
Ўқувчиларни масалалар тузиш ва унинг ғоясини ривожлантириш, ижодий хулосалар чиқаришга ўргатишда қуйидаги жиҳхатларга эътибор бериш лозим:
1.Масаланинг бир қисм берилганларини унинг шартини ўзгартирмасдан ўзгартириш, бунда ўқувчилар масала тузилишини яхши ўзлаштириб оладилар, берилганлар ўзаро алокадорлигини англайдилар, масала математик моделини тузиш усулини ва унга доир тушунчаларни чуқур ўрганиб олишларига имконият яратилади. Масалан, берилганлари зид бўлган масалани тўғри қўйилган масалага айлантиришни олиш мумкин. Ёки геометрик масалаларни ечишда қуйидагича алмаштиришлар орқали турли масалалар ҳосил қилиш мумкин:
Масала. Тенг ёнли учбурчакни унинг учта баландлиги асослари бўйича тикланг.
а) Тенг ёнли учбурчакни ён томонларига баландиклари асослари ва учбурчак асосидаги нуқта орқали тикланг.
б) Тенг ёнли учбурчакни иккита баландлиги асослари ва учларидан бири бўйича тикланг.(Бунинг ўзида ҳам турли ҳоллар мавжуд).
в) Тенг ёнли учбурчакни баландикларидан бирининг асоси ва иккита учлари орқали тикланг.
г) Тенг ёнли учбурчакни унинг томонлари ўрталари бўйича тикланг.
д) Тенг ёнли учбурчакни биссектрисалари асослари бўйича тикланг.
Бундай масалаларни ечишни муҳокама этиш орқали турли ечиш усулларини ўрганишлари ва уларни умумлаштириш учун имкониятлар яратилади.
2. Берилганларни ёки изланаётганларни умумлаштириш берилган масала ривожланишини охирги натижаларини олиш учун хизмат қилади.Бунда таққослашга доир масалалар ёки тадқиқ этишга доир масалалар алоҳида ўрин тутади. Масалан, текисликдаги геометрик шакллар ҳақидаги маълумотлар фазога ҳам умумлаштирилиши мумкин.
1.Тўгри тўртбурчакнинг юзи ўзгармасга тенг. Унинг периметри энг катта бўлиши учун тўртбурчак қандай бўлиши лозим?
а) Тўғри бурчакли параллелепипед асоси квадрат бўлиб ўзгармас ҳажмга эга. Унинг сирти юзаси энг катта бўлиши учун параллелепипед қандай бўлиши керак?
б) Барча доиравий цилиндрлар орасида энг кичик тўла сиртга эга бўлганини топинг.
в) Тўғри бурчакли параллелепипед ўзгармас ҳажмга эга. Сирти юзи энг кичик бўлиши учун унинг ўлчовлари қандай бўлиши лозим?
3.Масалани махсуслаштириш умумлаштиришга тескари масала бўлиб, ечилган масаланинг бирор махсус ҳолини қараб чиқишни талаб этади. Масалан, юқоридаги ясашга геометрик масала “ Тенг томонли учбурчакни учта баландлиги асослари бўйича тикланг” деб махсуслаштирилиши мумкин.
4. Масаланинг берилганларини сақлаган ҳолда янги хулосалар чиқаришга олиб келувчи масалалар тузишга ўргатишда берилган масалалар натижаси бўлган янги хулосаларни чиқариш орқали янги масалаларга келиш мумкинлигига имкон беради.
Масала. Ҳар қандай трапецияда асослари ўрталари ва трапеция ён томонлари ётувчи тўғри чизиқлар кесишиш нуқтаси бир тўғри чизиқда ётишини исботланг.
а) Ҳар қандай трапецияда асослар ўрталари ва диагоналлари кесишиш нуқтаси бир тўғри чизиқда ётишини исботланг.
б) Ҳар қандай трапецияда асослари ўрталари ва асосларига параллел бўлган ён томонлари орасидан ўтувчи ҳар қандай кесма ўртаси бир тўғри чизиққа тегишли бўлишини исботланг.
Буни яна давом эттириб, трапеция асослари ўрталаридан ўтувчи тўғри чизиқ баъзи хоссалари ҳақида суҳбат ўтказиш мумкин.
5. Масалани тескарилаш, яъни берилганлар ва номаълумлар ўрнини алмаштириш ўқувчиларга математик масалалар тузилишини тушуниш-ларига, тескари теоремаларни баён этиш ва исботлашга ўргатишга ёрдам беради. Шунингдек, ўқувчиларнинг зарур ва етарли шартларни ўрганишларига имкон беради.
Масала. Параллелограммда қарама-қарши томонлар тенг.
а) Агар қавариқ тўртбурчакда қарама-қарши томонлар жуфт-жуфт тенг бўлса, бундай тўртбурчак параллелограмм.
Бу ерда параллелограмм хоссалари ва белгилари ҳақида суҳбат ўтказиб, параллелограмм га турлича таърифлар бериш мумкинлигини айтиб ўтиш мумкин. Ҳар бир белгини параллелограмм учун таъриф сифатида қабул қилиш мумкинлигини таъкидлаш лозим. Масалани тескарисини ифодалашда ўқувчилар билимлари чэгарасидан чиқиб кетмасликка алоҳида эътибор қаратилиши лозим.
Шундай қилиб, масалалар билан ишлашда кўрсатилган ҳар бир усулларни ўз ўрнида қўллаш ўқувчиларнинг масалалар устида ижодий ишлашларига ижодий таъсир кўрсатади.