Об одной задаче анализа и управления в системах с распределенными параметрами на примере нефтяных месторождений сувонов О. О

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ АНАЛИЗА И УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ПРИМЕРЕ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ
Сувонов О.О.
Разработку нефтяных и газовых месторождений можно рассматривать как динамическую систему, в которой под действием входных переменных (технологические режимы работы скважин) происходит изменение контролируемых переменных (запасов нефти, газа в продуктивных пластах, пластового давления).
Нефтяные и газовые месторождения, как объекты моделирования и оптимизации, характеризуются значительным количеством взаимосвязанных между собой гидродинамических, технологических и экономических параметров, изменяющихся в процессе управления системой[1,2].
В последнее время возник ряд задач управления неустойчивыми процессами в таких пространственно-распределенных объектах как геофильтрации. В связи с этим потребовалось развитие соответствующей теории, учитывающей те или иные конкретные условия физической и технической реализуемости законов управления, дающей эффективные методы в рациональной разработке месторождений нефти и газа[3,4].
В работе будет показана возможность применения методов для решения некоторых задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными. Пусть для заданного управления состояние системы может быть найдена из решения дифференциального уравнения с частными производными эллиптического типа, применительно к месторождениям нефтедобычи.
Пусть для заданного управления состояние системы может быть найдено из решения дифференциального уравнения с частными производными эллиптического типа
(1)
при условиях
(2)
Состояние (выходные параметры объекта) определяется в виде
(3)
где - ограниченная замкнутая область -мерного пространство ; -граница области ;
- производная функции по конормали к поверхности , - вектор внутренней нормали к .
Ввиду того, что не удается доказать существование решения сформулированных задач оптимального управления в пространстве классических решений дифференциального уравнения (1), будем рассматривать эти задачи в пространстве обобщенных решений.
В соответствии с [5-9], функция называется обобщенным решением дифференциального уравнения (1), если для любой функции выполнятся тождество
(4)
Здесь и далее используются следующие обозначения
- банахово пространство, состоящее из всех измеримых функций, суммируемых по Лебегу в области со степенью , с нормой

;
гильбертово пространство, состоящее из всех элементов , имеющих обобщенные производные до порядка включительно, квадратично суммируемые по с нормой [5]


- множество функций, принадлежащих , равных нулю на ; -подмножестве , состоящее из функций равных нулю на измеримом множество Как известно [8,9], при достаточной гладкости границы и - замкнутые подпространства пространства - пространство непрерывных линейных опператоров из топологического пространства в топологическое пространство .
Область принадлежать классу ¹_, (5)
Относительно параметров объекта будем предполагать выполненными условия (5)
- непрерывных в (6)
функции, . Существует такие, что для любого - мерного вектора выполняется неравенство
(7)
(13)
Пусть - оператор, ставящий в соответствие функции ее след на границу
(14)
Как известно [9,10], при условиях (5) след на границу любой функции является элементом полного нормированного пространства _, принадлежащего Имеет место неравенство Поэтому область значений оператора принадлежит и
С использованием результатов по теории продолжения [10] и усреднения функций [9], можно проверить, что пространство удовлетворяет предположениям системы уравнений, сопряженная (13), (14), следующего вида
(15)
где - операторы, сопряженные
Для заданного функция , удовлетворяющая (15), может быть найдена из решения уравнения

Оператор ставит в соответствии функции ее след. На границу .
Замечание 1,
Решение тождества (4) может быть интерпретировано следующим образом. В силу теоремы из [9] при условиях (5) - (9) функция , удовлетворяющая (4) принадлежит пространству для любой строго внутренней области , а значит, для почти всех эта функция удовлетворяет (1)[8]. Учитывая это, проводя рассуждения, полностью аналогичные приведенным в [9], нетрудно показать, что для любого

_где - произвольная возрастающая последовательность областей, имеющих достаточно гладкую границу , содержащихся в и стремящихся к _.
Справедливы следующая теорема о свойства уравнений (13), (14).
Теорема 1.
При условиях (5) - (9) для любой функции и измеримого пространства существует точка , удовлетворяющая уравнениям (13), (14) и условиям
(16)
функция может быть найдена из решения уравнения
(17)
П ри этом
Существует единственная функция , удовлетворяющая (17) функции и принадлежат соответственно пространством и .
Доказательство:
Покажем, что функция , удовлетворяющая тождеству (17), существует и единственно.
В силу условий (7) - (8) .
В тоже время, для любого справедливо неравенство [10]
.
Поэтому
, где . (18)
Так как - непрерывная билинейная форма в пространстве а - непрерывный линейный функционал в . (см. (11), (12)), то при условиях (18) существует единственный элемент , удовлетворяющий для любого тождеству (17), (лемма Вишинка, Лакса-Мильгранжа [6]).
Покажем, что удовлетворяет тождеству (4). Согласно теореме из [9], при условиях (5) - (9), для любого подмножества c достаточно гладкой границей , имеющей с общую часть , а следовательно, [10] и удовлетворяет для почти всех уравнению (1) (смотри замечания 3.1). Поэтому для любого выполняется тождество [9]
. (19)
Так как при условиях (5) подпространство функций , представимых в виде , где , плотно в и удовлетворяет (17), (19), то для любого справедливо тождество
,
где
Это тождество доказывает, что точка удовлетворяет (13), (14) и условиям (16).
Теорема 2.
Если точка удовлетворяет уравниниям (13), (14), то
а)
б) для любого
Здесь и далее
Доказательство .
Если точка удовлетворяет уравнениям (13), (14), то Ввиду этого и неравентса (18),

Так как любая функция может быть продолжена внутрь области , так что и , где постоянная не зависит от [8], то используя (11), получим неравенство
,
которое завершает доказательство теорема 2.
Свойство 3.
Пусть точка удовлетворяет уравниниям (13), (14), тогда
а) если , то для почти всех ,
б) если , то для почти всех ,
Здесь измеримое подмножество, принадлежащее .
Доказательство.
а) доказательство проведем, используя метод, предложенный в [9] для таких же теорем.
Пусть точка удовлаетворяет уравниниям (13), (14) и Тогда для любого выполняется тожество .
Поэтому если то
где (20)
Предположим, что
. (21)
Пусть . Так как для почти всех то , ясно, что . Поэтому в (20) можно положить . Тогда, используя (18), (20) , получим неравенство
,
где , которое доказывает, что мера множество равна нулю, что противоречит предположению (21). Ввиду этого , а значит , для почти всех . Так как при условиях (5) функция эквивалента непрерывной в функции, которая однозначно доопределяется по непрерывности для почти всех точек границы [10], то для почти всех .
б) пусть точка удовлетворяет (13), (14) и условиям . Как отмечено в работе [10], при условиях (5) существует последовательность функци , сходяшихся к по норме пространства и удовлетворяющих условиям

где - пространство функций, непрерывных по Гельдеру с показателем в области вместе с производными до порядка включительно.
Возьмем последовательности функций
(22) удовлетворяющих условиям (6) - (9) и сходящихся к по норме .
Найдем функции из решения уравнения
(23)
при граничных условиях
(24)
Согласно теоремы из [9], при условиях, сформулированных выше, существует единственная функция удовлетворяющая (23), (24). Вычислим Отметим, что и для любого справедливо тождество
.
В силу теоремы из [9], при условиях (22)
(25)
Проведя выкладки, польностью аналогичные приведенным в [9], можно показать, что при условиях (22), (25)
.
Так как , то для любого
(26)
Ввиду того что [9], и то достигает минимума в любой точке .
Принимая во внимание, что - производная вдоль внутренного направления к границе , имеем
(27)
Так как множество функции , равных нулю на плотно в _, то из (26), (27) получим для почти всех и теорема доказана.
Приведенное теоретическое исследование об анализе состояний системы в процессе оптимального управления детерминированного объекта регулирования может быть успешно применено в качественном исследовании прикладных задач при разработке нефтяных месторождений.