Обратная матрица

Обратная матрица 

 

 

Пусть  А  –  квадратная  матрица  порядка  n.  Матрица  В  называется 

обратной  к  А  и  обозначается 

1





A

B

,  если  АВ=ВА=Е.  Элементы  обратной 

матрицы можно вычислить по формуле 

A

A

b

ji

ij

det



, 

где 

ji

A

  –  алгебраическое  дополнение  элемента 

ji

a

.  Матрица  А  обратима, 

если 

0

det



A

, т.е. если матрица А невырождена.  

 

Любую 

невырожденную 

матрицу 

А 

путем 

элементарных 

преобразований  только  строк  (или  только  столбцов)  можно  привести  к 

единичной матрице Е. Применяя туже последовательность преобразований к 

единичной  матрице  Е  получим  обратную  матрицу 

1



A

.  Удобно  совершать 

элементарные  преобразования  над  А  и  Е  одновременно,  записывая  обе 

матрицы рядом через черту. 

 

С вычислением обратной матрицы тесно связано решение  матричных 

уравнений вида 

,

,

B

YA

B

AX





 

где  А,  В  –  данные  и  Х,  Y  –  искомые  матрицы.  Если  А  прямоугольная  или 

вырожденная  матрица,  то  решение  этих  уравнений  сводится  к  решению 

систем линейных уравнений для элементов каждого столбца матрицы  Х или 

каждой  строки  матрицы  Y.  Для  получения  этих  уравнений  надо  приравнять 

элементы  матриц  в  обеих  частях  равенства.  Но  если  А  –  невырожденная 

матрица, то решения даются формулами 

1

1

   

,









BA

Y

B

A

X

. 

 

П р и м е р 1. Найти обратную матрицу для матрицы 

.

1

5

3

1

3

2

5

4

3































A

 

 

Решение.  Так  как 

1

det





A

,  то  существует  матрица  А

-1

.  Найдем 

алгебраические дополнения элементов матрицы А. Имеем: 

 

А

11

=8, А

21

=-29, 

А

31

=11, 

 

А

12

=5, А

22

=-18, 

А

32

=7, 

 

А

13

=-1, 

А

33

=3, А

33

=-1. 

 

Тогда,  согласно  формулы  обратной  матрицы,  разделим  вычисленные 

алгебраические дополнения на (-1) и запишем их в виде матрицы: 

 



































1

3

1

7

18

5

11

29

8

1

А

.■ 

 

П р и  м е р 2. Найти обратную матрицу А

-1

 при помощи элементарных 

преобразований строк 































1

5

3

1

3

2

5

4

3

А

. 

 

Решение. Имеем: 









































































 

































1

3

3

13

2

0

0

3

2

7

1

0

0

1

1

4

1

1

1

0

0

1

5

3

0

1

0

1

3

2

0

1

1

4

1

1

1

0

0

1

5

3

0

1

0

1

3

2

0

0

1

5

4

3

2

1

R

R

 

.

1

3

1

1

0

0

7

18

5

0

1

0

11

29

8

0

0

1

1

3

1

1

0

0

7

18

5

0

1

0

4

11

3

0

1

1

1

3

1

1

0

0

0

3

2

7

1

0

0

1

1

4

1

1

2

3

2

































































































 











R

R

 

 

Таким образом, искомая матрица имеет вид: 



































1

3

1

7

18

5

11

29

8

1

A

.■